P.S. Конечно, возможно, всё дело в том, что я не определил формально систему оперирования с "бесконечными числами", полагая механическое перенесение свойств с обычных чисел, -- а отстутствие явно заданной системы вполне можно счесть "ерундой". Правда, для данного конкретного случая, никак не внутренне противоречивой...
Может быть, Вы краем уха слышали о нестандартном анализе? Там есть бесконечно большие и бесконечно малые числа разного порядка, при этом сохраняются все основные свойства арифметических операций. Однако деление на ноль всё равно невозможно.
Вообще, мне непонятно это стремление делить на ноль. В конце концов, если очень хочется, определите деление на ноль так, как Вам хочется, и делите себе. Только будьте готовы у тому, что будут нарушаться обычные свойства операций.
Предположим, что на множестве

заданы две бинарные операции, которые будем называть
сложением (обозначаем

) и
умножением (обозначаем

). Об этих операциях предполагаем следующее:
1)

(коммутативность сложения);
2)

(ассоциативность сложения);
3) существует такой элемент

, что

для любого

(

-
нулевой элемент);
4) для каждого

существует такой

, что

(
противоположный элемент);
5)

и

(дистрибутивность умножения относительно сложения; предполагается стандартное соглашение о порядке выполнения операций).
Множество

с такими операциями называется
кольцом.
Здесь последовательно доказываем ряд утверждений.
I. Нулевой элемент единственен.
Доказательство. Пусть

и

- два нулевых элемента. Тогда

.
II. Противоположный элемент единственен.
Доказательство. Пусть

и

- два противоположных элемента для

. Тогда

.
Поскольку элемент, противоположный заданному элементу

, единственен, целесообразно ввести для него специальное обозначение:

. Таким образом,

. Поскольку в силу коммутативности

, то

.
III. Уравнение
имеет решение, и это решение единственно.
Доказательство. Существование решения. Проверим, что

является решением. Подставляя его в уравнение, получим

,

,

,

,

,

- верное равенство.
Единственность решения. Пусть

и

- два решения, то есть,

и

. Тогда

. Прибавляя к обеим частям равенства

слева, получим

,

,

,

,

,

.
Решение уравнения

называется
разностью элементов

и

и обозначается

. Как мы видели,

. В частности,

.
IV. Законы дистрибутивности выполняются и для разности:
и
.
Доказательство. По определению разности,

. Умножая обе части равенства слева на

, получим

,

,
откуда, опять по определению разности,

. Аналогично доказывается второе равенство.
V. 
для любого элемента

.
Доказательство. Пусть

. Тогда

.
Аналогично доказывается, что

.
По аналогии с вычитанием определяется и деление. Если рассматривать произвольные кольца, для которых выполняются только перечисленные выше пять аксиом, можно определить только деление слева и деление справа как решение уравнений

и

при условии, что соответствующее решение существует и единственно (мы же хотим, чтобы операция деления - пусть их даже две - давала определённый результат).
Однако, если кольцо

имеет больше одного элемента, то мы столкнёмся с тем, что уравнения

и

при

вообще не могут иметь решений, а при

имеют более одного решения. Поэтому деление на ноль оказывается невозможным, если мы хотим, чтобы оно было однозначным.