Ноль

[Vallav]

ewert в сообщении #242963 писал(а):

Vallav в сообщении #242958 писал(а):

2. У элемента 0 нет обратного элемента относительноумножения.

Это не аксиома, а следствие из аксиом.

Из каких?
Из:
у любого элемента, кроме нуля, есть обратный
элемент относительно умножения?

Или из каких то других?

[Профессор Снэйп]

Vallav в сообщении #242976 писал(а):

Из каких?

Из аксиомы $0 \neq 1$ и... Кстати, как выводится равенство $x \cdot 0 = 0$? Это же не аксиома. Откуда оно следует?

-- Вс сен 13, 2009 18:25:58 --

А, понял!!!

$x \cdot x = x \cdot (x + 0) = x \cdot x + x \cdot 0$, откуда $x \cdot 0 = 0$. Привлекаются аксиома дистрибутивности и список аксиом, утверждающий, что кольцо является абелевой группой по сложению с нейтральным элементом $0$.

[Mathusic]

Профессор Снэйп в сообщении #242979 писал(а):

Vallav в сообщении #242976 писал(а):

Из каких?

Из аксиомы $0 \neq 1$ и... Кстати, как выводится равенство $x \cdot 0 = 0$? Это же не аксиома. Откуда оно следует?

-- Вс сен 13, 2009 18:25:58 --

А, понял!!!

$x \cdot x = x \cdot (x + 0) = x \cdot x + x \cdot 0$, откуда $x \cdot 0 = 0$. Привлекаются аксиома дистрибутивности и список аксиом, утверждающий, что кольцо является абелевой группой по сложению с нейтральным элементом $0$.

Можно и так доказать.
$\forall x \in \mathbb{F}$
$x \cdot 0 = x \cdot (a-a)=x \cdot a - x \cdot a=0.$
$Q.E.D.$

[Vallav]

Профессор Снэйп в сообщении #242979 писал(а):

Vallav в сообщении #242976 писал(а):

Из каких?

Из аксиомы $0 \neq 1$ и...

И что?
Как из этого вывести, что ноль - единственный элемент,
у которого нет обратного элемента относительно умножения?

Может все же проще использовать приведенную мной аксиому?

Или Вы полагаете, что система аксиом алгебраического поля избыточна?

[Профессор Снэйп]

Vallav в сообщении #243001 писал(а):

И что?
Как из этого вывести, что ноль - единственный элемент,
у которого нет обратного элемента относительно умножения?

А Вы подумайте, я всё достаточно подробно расписал

То, что ко всем элементам, кроме $0$, есть обратный по умножению --- это одна из аксиом поля. Нужно лишь доказать, что к нулю нет обратного. Так как $x \cdot 0 = 0$ для любого $x$, то $1 = 0^{-1} \cdot 0 = 0 \neq 1$

-- Вс сен 13, 2009 19:00:52 --

Mathusic в сообщении #242985 писал(а):

Можно и так доказать.
$\forall x \in \mathbb{F}$
$x \cdot 0 = x \cdot (a-a)=x \cdot a - x \cdot a=0.$
$Q.E.D.$

Пардон, не понял. С чего Вы взяли, что $x \cdot (y - z) = x \cdot y - x \cdot z$? Это ведь не аксиома!

[Vallav]

Профессор Снэйп в сообщении #243006 писал(а):

Vallav в сообщении #243001 писал(а):

И что?
Как из этого вывести, что ноль - единственный элемент,
у которого нет обратного элемента относительно умножения?

А Вы подумайте, я всё достаточно подробно расписал

То, что ко всем элементам, кроме $0$, есть обратный по умножению --- это одна из аксиом поля. Нужно лишь доказать, что к нулю нет обратного. Так как $x \cdot 0 = 0$ для любого $x$, то $1 = 0^{-1} \cdot 0 = 0 \neq 1$

Согласен, что нет обратного, доказывается.
Но то, что он такой - единственный - все таки - аксиома.

Профессор Снэйп в сообщении #243006 писал(а):

Пардон, не понял. С чего Вы взяли, что $x \cdot (y - z) = x \cdot y - x \cdot z$? Это ведь не аксиома!

Перепешите
$x \cdot (y +(- z)) = x \cdot y + x \cdot (- z)$
Получится аксиома.

[Профессор Снэйп]

Vallav в сообщении #243063 писал(а):

Перепешите
$x \cdot (y +(- z)) = x \cdot y + x \cdot (- z)$
Получится аксиома.

Пардон. Равенство $x \cdot (-z) = -x \cdot z$ откуда брать будете?

-- Вс сен 13, 2009 21:48:09 --

Vallav в сообщении #243063 писал(а):

Но то, что он такой - единственный - все таки - аксиома.

Аксиома --- то, что его не более одного. То, что единственный, надо доказывать.

[arseniiv]

Единственность нуля (и единицы) же легко доказуема. Предположим, что нуля два...

-- Вс сен 13, 2009 21:53:49 --

Профессор Снэйп в сообщении #243070 писал(а):

не более одного

М.б., не менее?

[Профессор Снэйп]

Нет, именно не более. Не более одного означает $\leqslant 1$.

-- Вс сен 13, 2009 22:18:42 --

arseniiv в сообщении #243092 писал(а):

Единственность нуля (и единицы) же легко доказуема. Предположим, что нуля два...

А вот то, что ноль отличен от единицы, приходится задавать отдельной аксиомой

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #243108 писал(а):

Нет, именно не более.

Нет, именно не менее. То, что не более -- это уже не аксиома, а следствие коммутативности сложения (или хотя бы того, что ноль -- и правый, и левый).

Профессор Снэйп в сообщении #243108 писал(а):

А вот то, что ноль отличен от единицы, приходится задавать отдельной аксиомой

Нет, не приходится. Если бы единичка совпадала с нулём, то всё множество состояло бы только из нуля. Что, конечно, не запрещено, но.

[Someone]

Someone писал(а):

Предположим, что на множестве $R$ заданы две бинарные операции, которые будем называть сложением (обозначаем $a+b$) и умножением (обозначаем $ab$). Об этих операциях предполагаем следующее:
1) $a+b=b+a$ (коммутативность сложения);
2) $(a+b)+c=a+(b+c)$ (ассоциативность сложения);
3) существует такой элемент $0\in R$, что $a+0=a$ для любого $a\in R$ ($0$ - нулевой элемент);
4) для каждого $a\in R$ существует такой $b\in R$, что $a+b=0$ (противоположный элемент);
5) $a(b+c)=ab+ac$ и $(a+b)c=ac+bc$ (дистрибутивность умножения относительно сложения; предполагается стандартное соглашение о порядке выполнения операций).

Множество $R$ с такими операциями называется кольцом.
Здесь последовательно доказываем ряд утверждений.

I. Нулевой элемент единственен.
Доказательство. Пусть $0'$ и $0''$ - два нулевых элемента. Тогда
$0'=0'+0''=0''+0'=0''$.\qed

II. Противоположный элемент единственен.
Доказательство. Пусть $b'$ и $b''$ - два противоположных элемента для $a$. Тогда
$b'=b'+0=b'+(a+b'')=(b'+a)+b''=(a+b')+b''=0+b''=b''+0=b''$.\qed

Поскольку элемент, противоположный заданному элементу $a\in R$, единственен, целесообразно ввести для него специальное обозначение: $-a$. Таким образом, $a+(-a)=0$. Поскольку в силу коммутативности $(-a)+a=a+(-a)=0$, то $-(-a)=a$.

III. Уравнение $a+x=b$ имеет решение, и это решение единственно.
Доказательство. Существование решения. Проверим, что $x=b+(-a)$ является решением. Подставляя его в уравнение, получим
$a+(b+(-a))=b$,
$a+((-a)+b)=b$,
$(a+(-a))+b=b$,
$0+b=b$,
$b+0=b$,
$b=b$ - верное равенство.
Единственность решения. Пусть $x_1$ и $x_2$ - два решения, то есть, $a+x_1=b$ и $a+x_2=b$. Тогда $a+x_1=a+x_2$. Прибавляя к обеим частям равенства $-a$ слева, получим
$(-a)+(a+x_1)=(-a)+(a+x_2)$,
$((-a)+a)+x_1=((-a)+a)+x_2$,
$(a+(-a))+x_1=(a+(-a))+x_2$,
$0+x_1=0+x_2$,
$x_1+0=x_2+0$,
$x_1=x_2$.\qed

Решение уравнения $a+x=b$ называется разностью элементов $b$ и $a$ и обозначается $b-a$. Как мы видели, $b-a=b+(-a)$. В частности, $a-a=a+(-a)=0$.

IV. Законы дистрибутивности выполняются и для разности: $a(b-c)=ab-ac$ и $(a-b)c=ac-bc$.
Доказательство. По определению разности, $c+(b-c)=b$. Умножая обе части равенства слева на $a$, получим
$a(c+(b-c))=ab$,
$ac+a(b-c)=ab$,
откуда, опять по определению разности, $a(b-c)=ab-ac$. Аналогично доказывается второе равенство.\qed

V. $0a=a0=0$ для любого элемента $a\in R$.
Доказательство. Пусть $b\in R$. Тогда
$0a=(b-b)a=ba-ba=0$.
Аналогично доказывается, что $a0=0$.\qed

По аналогии с вычитанием определяется и деление. Если рассматривать произвольные кольца, для которых выполняются только перечисленные выше пять аксиом, можно определить только деление слева и деление справа как решение уравнений $ax=b$ и $ya=b$ при условии, что соответствующее решение существует и единственно (мы же хотим, чтобы операция деления - пусть их даже две - давала определённый результат).

Однако, если кольцо $R$ имеет больше одного элемента, то мы столкнёмся с тем, что уравнения $0x=b$ и $y0=b$ при $b\neq 0$ вообще не могут иметь решений, а при $b=0$ имеют более одного решения. Поэтому деление на ноль оказывается невозможным, если мы хотим, чтобы оно было однозначным.

VI. Выполняются равенства $(-a)b=a(-b)=-(ab)$ и $(-a)(-b)=ab$.
Доказательство. $ab+(-a)b=(a+(-a))b=0b=0$, поэтому $(-a)b=-(ab)$. Аналогично и $a(-b)=-(ab)$. Наконец, $(-a)(-b)=-(a(-b))=-(-(ab))=ab$.

Элемент $1_{\text{л}}$ (соответственно, $1_{\text{п}}$) кольца $R$ называется левой единицей (соответственно, правой единицей), если $1_{\text{л}}a=a$ (соответственно, $a1_{\text{п}}=a$) для любого элемента $a\in R$.

По аксиоме 3), кольцо обязано содержать элемент $0$. Других элементов оно может и не содержать.

VII. Если кольцо содержит больше одного элемента и имеет левую (правую) единицу, то эта единица не совпадает с нулём.
Доказательство. Пусть $a\neq 0$ (такой элемент существует по условию), $1_{\text{л}}$ - левая единица. Тогда $1_{\text{л}}a=a\neq 0=0a$, то есть, $1_{\text{л}}a\neq 0a$, откуда $1_{\text{л}}\neq 0$. Аналогично - для правой единицы.\qed

VIII. Если в кольце есть и левая, и правая единицы, то они совпадают.
Доказательство. Пусть $1_{\text{л}}$ - левая, а $1_{\text{п}}$ - правая единица. Тогда
$1_{\text{л}}=1_{\text{л}}1_{\text{п}}=1_{\text{п}}$.\qed

Заметим, что в этом доказательстве $1_{\text{л}}$ - любая левая, а $1_{\text{п}}$ - любая правая единица. Поэтому предыдущее утверждение означает, что любая левая единица совпадает с любой правой (если они существуют). Однако в кольце может быть несколько левых единиц и ни одной правой, или наоборот.

Элемент кольца называется единицей, если он является и левой, и правой единицей.

IX. В кольце с единицей единица единственна.
Доказательство. Это утверждение сразу следует из предыдущего замечания, но можно доказать и непосредственно. Пусть $1'$ и $1''$ - две единицы. Тогда
$1'=1'1''=1''$.\qed

Тело, в дополнение к перечисленным выше аксиомам кольца, имеет ещё следующие аксиомы:

6) $(ab)c=a(bc)$ (ассоциативность умножения);
7) существует такой элемент $1\in R$, $1\neq 0$, что $1a=a$ и $a1=a$ для любого $a\in R$ ( $1$ - единичный элемент);
8) для каждого $a\in R$, $a\neq 0$, существует такой $b\in R$, что $ab=1$ (обратный элемент).

Пусть $R$ - тело.

X. Если элемент $b$ является обратным элементу $a$, то элемент $a$ является обратным элементу $b$.
Доказательство. Нам нужно доказать, что $ba=1$.
Так как $ab=1\neq 0$, то $b\neq 0$, поэтому по аксиоме 8) элемент $b$ имеет обратный элемент $c$. Тогда
$ba=(ba)1=(ba)(bc)=((b}a)b)c=(b(ab))c=(b1)c=bc=1$.\qed

XI. Обратный элемент является единственным.
Доказательство. Пусть некоторый элемент $a$ имеет два обратных - $b'$ и $b''$. Тогда
$b'=b'1=b'(ab'')=(b'a)b''=1b''=b''$.\qed

Поскольку для заданного элемента $a\neq 0$ обратный элемент является единственным, имеет смысл ввести для него специальное обозначение: $a^{-1}$. Таким образом, $aa^{-1}=1$; как только что доказано, $a^{-1}a=1$ и $(a^{-1})^{-1}=a$.

XII. Если $a\neq 0$, то уравнения $ax=b$ и $ya=b$ имеют решения, причём, эти решения единственны.
Доказательство. Рассмотрим уравнение $ax=b$.
Существование решения. Проверим, что $x=a^{-1}b$ является решением. Подставляя его в уравнение, получим
$a(a^{-1}b)=b$,
$(aa^{-1})b=b$,
$1b=b$,
$b=b$ - верное равенство.
Единственность решения. Пусть $x_1$ и $x_2$ - два решения, то есть, $ax_1=b$ и $ax_2=b$, то $ax_1=ax_2$. Умножая обе части этого равенства слева на $a^{-1}$, получим
$a^{-1}(ax_1)=a^{-1}(ax_2)$,
$(a^{-1}a)x_1=(a^{-1}a)x_2$,
$1x_1=1x_2$,
$x_1=x_2$.
Аналогично существование и единственность решения доказываются для уравнения $ya=b$. Для него получается $y=ba^{-1}$.\qed

Как видим из доказательства, решения уравнений $ax=b$ и $ya=b$ при $a\neq 0$ даются формулами $x=a^{-1}b$ и $y=ba^{-1}$. Это даёт для тела две операции деления на элементы, не равные $0$: деление слева $x=a^{-1}b$ и деление справа $y=ba^{-1}$.

Наконец, поле имеет ещё одну аксиому:
9) $ab=ba$ (коммутативность умножения).

Из этой аксиомы следует, что приведённые выше решения уравнений $ax=b$ и $ya=b$ совпадают: $x=a^{-1}b=ba^{-1}=y$. Это позволяет ввести для поля операцию деления на элементы, не равные $0$.

Кольцо может состоять из одного нулевого элемента, тогда он же будет и единичным. В теле и поле по аксиоме 7) $1\neq 0$. Это требование формулируется для того, чтобы не считать полем кольцо, состоящее из одного элемента. Можно было бы потребовать, чтобы тело (поле) содержало больше одного элемента, тогда неравенство $1\neq 0$ было бы доказуемым.

[STilda]

Существование нейтрально элемента можно не постулировать а доказать. Для этого возьмем следующие базовые аксиомы. Мы ими пользуемся часто но не всегда говорим про них явно.

А1. Есть набор различающихся элементов $A,B,C,...$.
А2. Эти элементы могут взаимодействовать по операции умножения $*$. Каждой паре взаимодействующих обязательно соответствует некий один элемент из этого набора.
А3. Взаимодействие $*$ коммутативно. $A*B=B*A$
А4. Если умножить левую и правую часть равенства на один и тотже элемент, то равенство сохранится. Тоесть из $X=Y$ следует $X*Z=Y*Z$. (обратное не постулируем). (Эта аксиома обычно явно не проговаривается но используется)
А5. Можно подставлять вместо комплекса взаимодействующих элементов равный ему. Например, если $X=A*B$, то $X*Y=A*B*Y$. Если $X=Y*Z$ и $Z=A*B$, то $X=Y*A*B$. (Это тоже обычно не постулируется но используется)

Теперь, имея только эти аксиомы попробуем построить конкретные системы.
1. Если только один элемент в наборе $A$ то получим единственны вариант $A*A=A$. $A$ - нейтральный элемент. Он может быть как нулем так и единицей.
2. Если только два элемента в наборе $A,B$ то что получим? Попробуем построить те системы, которые при использовании аксиом А1-А5 не дадут противоречия. Противоречие может быть в том, что в результате манипуляций мы получим $A=B$. Итак неизвестные у нас будут три взаимодействия $A*B=?, A*A=?, B*B=?$. Вместо каждого $?$ можно поставить один из двух вариантов: $A$ или $B$. Итого 8 табличек умножения. Если вы их выпишите все и поиграетесь по правилам А1-А5 (советую это проделать чтоб прочувтсвовать), то обнаружите что 4 из них приведут к противоречию $A=B$ и 4 не приведут. Из четырех не противоречивых будут две пары изоморфных друг другу. Итого имеем две непротиворечивые системы. Угадайте какие .
Первая: $A*A=A, A*B=B, B*B=A$ - по поведению $A$ видно, что это "сохраняющий" элемент. Это нейтральный элемент, единица, которую мы обычно постулируем. Сей час мы ее не постулировали а получили. В этой системе каждый элемент имеет обратный. И это не постулировано а просто видно из системы. Также эта система - правила умножения положительных и отрицательных чисел: $A$ это $+1$, $B$ это $-1$
Вторая: $A*A=A, A*B=A, B*B=A$ - по поведению $A$ видно, что это "поглощающий" элемент. Это ноль. По поведению его видно что он ноль.
3. Можно построить для любого количества элементов. Критерий будет один - манипуляция по правилам А1-А5.

Замечу, что если мы захотим А4 расширить и в обратную сторону то система Вторая будет противоречивая. Тогда аксиомы А1-А5 дадут нам все нам известные группы. (Ну эта модификация хорошо согласуется с теорией групп, так что все сходится )

Это пример для групп. По похожим аксиомам можно работать для получения алгебр.

[Someone]

STilda, Ваши A4 и A5 - это аксиомы равенства, а не аксиомы алгебраической системы. Их обычно включают в число логических аксиом. Изучаются и используются на практике разнообразные некоммутативные алгебраические системы, поэтому ограничение коммутативными операциями не является удачным. Наконец, я не проверял, но подозреваю, что Вы в своих выводах используете ассоциативность операции, не формулируя её явно. Кроме того, по крайней мере в одном случае Вы ошибаетесь: если взять двухэлементную алгебраическую структуру с операцией $A*A=A*B=B*A=B*B=A$, то будет и коммутативность, и ассоциативность, и никаких противоречий не возникнет, но нейтрального элемента нет.

STilda в сообщении #243222 писал(а):

Вторая: $A*A=A, A*B=A, B*B=A$ - по поведению $A$ видно, что это "поглощающий" элемент. Это ноль. По поведению его видно что он ноль.

Называйте его как хотите, но нейтральным элементом он не является. Нейтральный элемент - это такой элемент, "взаимодействие" с которым не изменяет никакого элемента, с которым этот нейтральный элемент "взаимодействует". То есть, $A$ нейтральный, если $A*B=B*A=B$ для любого элемента $B$.

STilda в сообщении #243222 писал(а):

Тогда аксиомы А1-А5 дадут нам все нам известные группы.

Ну неправда. Некоммутативные группы Вы успешно запретили своей аксиомой A3:

STilda в сообщении #243222 писал(а):

А3. Взаимодействие $*$ коммутативно. $A*B=B*A$

[Профессор Снэйп]

ewert в сообщении #243115 писал(а):

Нет, именно не менее.

В каждом поле существует не более одного элемента, для которого нет обратного, я это имел в виду. Вы, вероятно, что-то другое.

ewert в сообщении #243115 писал(а):

Нет, не приходится. Если бы единичка совпадала с нулём, то всё множество состояло бы только из нуля. Что, конечно, не запрещено, но.

Если бы единица совпадала с нулём, то к нулю существовал бы обратный (сам ноль). А речь ведь идёт о том, что ноль --- единственный элемент, к которому в поле нет обратного, я правильно понял?

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #243251 писал(а):

Вы, вероятно, что-то другое.

Я имел в виду вот что:

Профессор Снэйп в сообщении #243070 писал(а):

Аксиома --- то, что его не более одного. То, что единственный, надо доказывать.

arseniiv в сообщении #243092 писал(а):

М.б., не менее?

Дело в том, что те две Ваших фразы противоречили друг дружке. "Единственный" и "не более одного" -- это одно и то же. А "надо доказывать" и "аксиома" -- наоборот.

Профессор Снэйп в сообщении #243251 писал(а):

Если бы единица совпадала с нулём, то к нулю существовал бы обратный (сам ноль). А речь ведь идёт о том, что ноль --- единственный элемент, к которому в поле нет обратного,

И тем не менее -- никаких противоречий. В аксиоматике нет утверждения о том, что ноль не имеет обратного по умножению. Есть лишь снисходительное разрешение ему не иметь. Если есть ещё хоть один элемент, кроме ноля, то ноль этим разрешением пользуется. Ну а если он в одиночестве -- то и не пользуется.

(Да-а, тяжёлая это штука -- матлогика...)