Великая теорема Ферма. Классическое доказательство

[Someone]

victor_sorokin в сообщении #237706 писал(а):

Вот пусть и неверная ("бред"!), но красивая идея доказательства ВТФ:
Если совокупность трех чисел a+b, c-b, c-a рассматривать как независимую систему векторов, то, согласно теореме о линейно независимой системе векторов, их линейная комбинация (a+b)R-(c-b)P-(c-a)Q может быть равной нулю лишь в одном случае: R=P=Q=0...

Безусловно, бред. Без кавычек. На числовой прямой любые два (и, тем более, три) вектора линейно зависимы. И даже если ограничиваться только целыми числами (в том числе, и коэффициенты должны быть целыми), всё равно двух линейно независимых векторов найти нельзя.

Неисправимы Вы... Только какая-то мысль мелькнула - тут же её поскорее обнародовать, пока не сбежала.

[age]

victor_sorokin
Основанное на биноме Ньютона? Смотря что вы имеете в виду. В оригинальном доказательстве (данном самим Ферма) тоже присутствует бином Ньютона, но его роль там весьма посредственна. Я даже поначалу когда прочитал ваш пост не обратил на него внимание. Главная же идея принадлежит методу бесконечного спуска. Вот что поразительно, а не бином Ньютона.
По-простому его можно формализовать так: если бы заданное число $a^{n-1}-1$, не делилось на $n$, то нашлось бы меньшее число, которое бы также не делилось на $n$ и так далее, пока мы не добрались бы до числа $0$. Но $0$ делится на любое число, в том числе и на $n$. А поэтому и заданное число $a^{n-1}-1$ делится на $n$.

[anwior]

age
В срочном порядке удали из своего поста на этой (5-ой) странице
свое трактование метода бесконечного спуска (по Ферма).

Сам П. Ферма назвал бы эту трактовку профонацией, а читатели
данной темы тебя просто засмеют.

[victor_sorokin]

age в сообщении #237768 писал(а):

victor_sorokin
Основанное на биноме Ньютона? Смотря что вы имеете в виду. В оригинальном доказательстве (данном самим Ферма) тоже присутствует бином Ньютона, но его роль там весьма посредственна. Я даже поначалу когда прочитал ваш пост не обратил на него внимание. Главная же идея принадлежит методу бесконечного спуска. Вот что поразительно, а не бином Ньютона.

Доказательство малой теоремы Ферма

1) $2^n=(1+1)^n=1+Pn+1=2+Pn$, откуда $2^n-2$ кратно $n$.
2) $3^n=(2+1)^n=2+Qn+1=3+Qn$, откуда $3^n-3$ кратно $n$.

и т.д. для всех значащих цифр в простой базе $n$ до $n-1$ включительно.

[shwedka]

victor_sorokin в сообщении #237959 писал(а):

Доказательство малой теоремы Ферма

1) $2^n=(1+1)^n=1+Pn+1=2+Pn$, откуда $2^n-2$ кратно $n$.
2) $3^n=(2+1)^n=2+Qn+1=3+Qn$, откуда $3^n-3$ кратно $n$.

и т.д. для всех значащих цифр в простой базе $n$ до $n-1$ включительно.

гениально!!!
А где здесь используется, что $n$ - простое?
Наш коллега, без сомнения держит рекорд. За 70 лет жизни ни одного правильного доказательства, даже простых теорем!!

[victor_sorokin]

shwedka в сообщении #237961 писал(а):

victor_sorokin в сообщении #237959 писал(а):

Доказательство малой теоремы Ферма

1) $2^n=(1+1)^n=1+Pn+1=2+Pn$, откуда $2^n-2$ кратно $n$.
2) $3^n=(2+1)^n=2+Qn+1=3+Qn$, откуда $3^n-3$ кратно $n$.

и т.д. для всех значащих цифр в простой базе $n$ до $n-1$ включительно.

гениально!!!
А где здесь используется, что $n$ - простое?
Наш коллега, без сомнения держит рекорд. За 70 лет жизни ни одного правильного доказательства, даже простых теорем!!

А бином Ньютона знать не мешало бы - глядь, и прыти было бы поменьше...

[age]

victor_sorokin в сообщении #237706 писал(а):

Этих доказательств как-будто восемь. Я доходил до всего сам. И моё (разумеется, "велосипед") было основано на биноме Ньютона. Оно весьма примитивно.
Я мало встречал красивых доказательств...

Ну почему же? Ваше доказательство довольно неплохо. Но я позволю себе привести доказательство самого Ферма, и вы оцените, какое красивее.
Итак!
Пусть имеется некоторое число $n$ - простое, и число $a$, взаимнопростое с $n$. Докажем, что $a^{n-1}-1\div n$.
Пусть существует такое $a$, взаимно простое с $n$, что $a^{n-1}-1$ не делится на $n$.
Умножим $a^{n-1}-1$ на $a$. Получим $a^n-a$.
Сделаем замену переменной $a=b+1$. Тогда:
$a^n-a=(b+1)^n-(b+1)=b^n+Pn+1-b-1=b^n+Pn-b$ не делится на $n$. Или
$b^n-b$ не делится на $n$.
Мы получили число, которое меньше заданного и также не делится на $n$. Но т.к. бесконечного количества убывающих чисел не существует, то в конце концов мы придем к тому, что $1^n-1$ не делится на $n$. Но ноль делится нацело на любое число. Следовательно, и исходное $a^{n-1}-1$ также делится на $n$.
Скажите, вы видели хоть раз нечто более восхитительное?

[bot]

victor_sorokin в сообщении #237983 писал(а):

shwedka в сообщении #237961 писал(а):

victor_sorokin в сообщении #237959 писал(а):

Доказательство малой теоремы Ферма

1) $2^n=(1+1)^n=1+Pn+1=2+Pn$, откуда $2^n-2$ кратно $n$.
2) $3^n=(2+1)^n=2+Qn+1=3+Qn$, откуда $3^n-3$ кратно $n$.

и т.д. для всех значащих цифр в простой базе $n$ до $n-1$ включительно.

гениально!!!
А где здесь используется, что $n$ - простое?
Наш коллега, без сомнения держит рекорд. За 70 лет жизни ни одного правильного доказательства, даже простых теорем!!

А бином Ньютона знать не мешало бы - глядь, и прыти было бы поменьше...

Бином знать безусловно нужно, только это Вы кому адресуете? Протестируйте-ка Ваше утверждение хотя бы для $n=4$.

[victor_sorokin]

bot в сообщении #238022 писал(а):

Бином знать безусловно нужно, только это Вы кому адресуете? Протестируйте-ка Ваше утверждение хотя бы для $n=4$.

Малая теорема действительна лишь для ПРОСТОГО $n$.

[bot]

victor_sorokin в сообщении #238037 писал(а):

Малая теорема действительна лишь для ПРОСТОГО $n$.

Спасибо за напоминание, но

во-первых, у Вас в доказательстве этого требования нет, как уже отмечала shwedka,

а во-вторых, Вы перебираете с "лишь", протестируйте, к примеру, $x^{561} - x$.

Возможно Вы имели ввиду индукцию по $x$:

$(x+1)^p - (x+1)=x^p-x+\sum\limits_{k=1}^{p-1} \binom{p}{k}x^k\ \ $

с учётом делимости биномиальных коэффициентов на $p$ при простом $p$, но из Ваших двух строчек это никак не угадывается.

[victor_sorokin]

bot в сообщении #238043 писал(а):

victor_sorokin в сообщении #238037 писал(а):

Малая теорема действительна лишь для ПРОСТОГО $n$.

Спасибо за напоминание, но

1) во-первых, у Вас в доказательстве этого требования нет, как уже отмечала shwedka,

2) а во-вторых, Вы перебираете с "лишь", протестируйте, к примеру, $x^{561} - x$.

1) Не верьте shwedka - читайте доказательство, особенно последнюю строку:

victor_sorokin в сообщении #237959 писал(а):

Доказательство малой теоремы Ферма

1) $2^n=(1+1)^n=1+Pn+1=2+Pn$, откуда $2^n-2$ кратно $n$.
2) $3^n=(2+1)^n=2+Qn+1=3+Qn$, откуда $3^n-3$ кратно $n$.

и т.д. для всех значащих цифр в простой базе $n$ до $n-1$ включительно.

2) Число 561 НЕ простое.

[Someone]

victor_sorokin в сообщении #238171 писал(а):

Не верьте shwedka - читайте доказательство, особенно последнюю строку:

victor_sorokin в сообщении #237959 писал(а):

Доказательство малой теоремы Ферма

1) $2^n=(1+1)^n=1+Pn+1=2+Pn$, откуда $2^n-2$ кратно $n$.
2) $3^n=(2+1)^n=2+Qn+1=3+Qn$, откуда $3^n-3$ кратно $n$.

и т.д. для всех значащих цифр в простой базе $n$ до $n-1$ включительно.

Как я понял, претензия состоит не в том, что в последней строке что-то написано или не написано, а в том, что в доказательстве, которое предшествует последней строке, невозможно увидеть место, где используется простота $n$.

[victor_sorokin]

Someone в сообщении #238182 писал(а):

Как я понял, претензия состоит не в том, что в последней строке что-то написано или не написано, а в том, что в доказательстве, которое предшествует последней строке, невозможно увидеть место, где используется простота $n$.

Мое Вам почтение!

Во-первых, во всех текстах в данной теме $n$ всюду простое и больше 2.
Во-вторых, из третьей строки, где простота $n$ акцентирована, нетрудно вернуться к первым двум.
В-третьих, общеизвестно, что в случае простого $n$ каждый внутренний коэффициент бинома Ньютона содержит сомножитель $n$, после вынесения которого за скобки и получаются первые две строки доказательства.
Очевидно, приписывание цифр старших разрядов к цифрам, фигурирующим в доказательстве, изменить положение не могут. На случае $n=2$ не останавливаюсь.
В-четвертых, в вольной беседе не обязательно разжевывать все - нужно дать собеседнику возможность поразмышлять.

С уважением,

В.С.

[Someone]

victor_sorokin в сообщении #238345 писал(а):

общеизвестно, что в случае простого $n$ каждый внутренний коэффициент бинома Ньютона содержит сомножитель $n$

Думаю, что это от Вас и хотели услышать.

victor_sorokin в сообщении #238345 писал(а):

в вольной беседе не обязательно разжевывать все - нужно дать собеседнику возможность поразмышлять

Все уже привыкли к тому, что Вы каждую свою идею без малейших размышлений вываливаете на форум и заявляете, что она даёт безусловно правильное доказательство теоремы. И все очень хотели бы, чтобы Вы сначала сами искали ошибки в своих идеях, и только потом уже сообщали о них на форуме.

[victor_sorokin]

Someone в сообщении #238347 писал(а):

Все уже привыкли к тому, что Вы каждую свою идею без малейших размышлений вываливаете на форум и заявляете, что она даёт безусловно правильное доказательство теоремы. И все очень хотели бы, чтобы Вы сначала сами искали ошибки в своих идеях, и только потом уже сообщали о них на форуме.

Хорошо бы, но автор находится под психологическим давлением своей идеи, и для него форум - спасение.