Великая теорема Ферма. Классическое доказательство

[bot]

victor_sorokin в сообщении #238171 писал(а):

2) Число 561 НЕ простое

Вот именно, а

victor_sorokin в сообщении #238037 писал(а):

Малая теорема действительна лишь для ПРОСТОГО $n$

Аккуратнее надо выражаться, про числа Кармайкла слышали?

Далее

victor_sorokin в сообщении #238345 писал(а):

В-третьих, общеизвестно, что в случае простого каждый внутренний коэффициент бинома Ньютона содержит сомножитель , после вынесения которого за скобки и получаются первые две строки доказательства.

Первая получается, а со второй похуже

victor_sorokin в сообщении #237959 писал(а):

2) $3^n=(2+1)^n=2+Qn+1=3+Qn$, откуда $3^n-3$ кратно $n$.

Откуда сие? Если уж по биному, то должно быть $3^n=(2+1)^n=2^n+Qn+1$, откуда $3^n-3=2^n-2+Qn$ кратно $n$ вследствие

victor_sorokin в сообщении #237959 писал(а):

1) $2^n=(1+1)^n=1+Pn+1=2+Pn$, откуда $2^n-2$ кратно $n$.

Поэтому

bot в сообщении #238043 писал(а):

Возможно Вы имели ввиду индукцию

[victor_sorokin]

bot в сообщении #238372 писал(а):

Возможно Вы имели ввиду индукцию

Если строго формально, то именно так.

[victor_sorokin]

Ку-ку!

Элементарное доказательство ВТФ

Обозначения чисел, участвующих в доказательстве, становятся понятными из следующих соотношений после устранения общих сомножителей
0°) – допустим, что это возможно, –
в числах $A^n, B^n, C^n$ (для начала $AB$ не кратно $n$):

1°) $A^n+B^n=C^n$,
2°) $A^n=C^n-B^n=(C-B)P=a^np^n=(ap)^n$,
3°) $B^n=C^n-A^n=(C-A)Q=b^nq^n=(bq)^n$,
4°) $C^n=A^n+B^n=(A+B)R$,
5°) $A+B-C=U=(A+B)-C=A+(B-C)=B+(A-C)=$
$=ap-a^n=bq-b^n=uabc^*$,
где $c^*$ – наибольший общий делитель чисел $C$ и $A+B$ (очевидно, больший 1), откуда
6°) $C=A+B-uabc^*$.

7a°) Очевидно, что числа $A^n+B^n, C^n-B^n, C^n-A^n, A^n-B^n, C^n+B^n, C^n+A^n$ являются попарно взаимнопростыми.
7°) Очевидно также, что взаимнопростыми являются и числа $A+B, C-B, C-A, A-B, C+B, C+A$.

Доказательство

Рассмотрим два числа: $C-A$ и $C+A$, или, с учетом 6°,
8°) $C-A=B-uabc^*$ и $C+A=2A+B-uabc^*$.

И теперь легко видеть, что сумма $2A+2B-2uabc^*$, или $2(A+B-uabc^*)$, и [ЗДЕСЬ ОШИБКА!] разность $2A$ чисел $C-A$ и $C+A$ ДЕЛЯТСЯ на $c^*$ (см. 6° и 5°), что противоречит 7°, 7a°, и 0°.

В случае, если не кратно $n$ число $CB$, доказательство совершенно аналогично.

ВТФ доказана.

===========
Итак, Пьер Ферма был человеком чести!

[shwedka]

victor_sorokin в сообщении #238522 писал(а):

И теперь легко видеть, что сумма $2A+2B-2uabc^*$, или $2(A+B-uabc^*)$, и разность $2A$ чисел $C-A$ и $C+A$ ДЕЛЯТСЯ на $c^*$

про разность поподробнее. обман получается.

victor_sorokin в сообщении #238522 писал(а):

Итак, Пьер Ферма был человеком чести!

в отличие от нашего бородатого современника

[victor_sorokin]

shwedka в сообщении #238536 писал(а):

victor_sorokin в сообщении #238522 писал(а):

И теперь легко видеть, что сумма $2A+2B-2uabc^*$, или $2(A+B-uabc^*)$, и разность $2A$ чисел $C-A$ и $C+A$ ДЕЛЯТСЯ на $c^*$

1) про разность поподробнее. обман получается.

victor_sorokin в сообщении #238522 писал(а):

Итак, Пьер Ферма был человеком чести!

2) в отличие от нашего бородатого современника

1) Плохо, когда обман получается. Верьте своим глазам:
из
8°) $C-A=B-uabc^*$ и $C+A=2A+B-uabc^*$ имеем:
9°) $C-A=B-uabc^*$ и $(C+A)-(C-A)=(2A+B-uabc^*)-(B-uabc^*)=2A$.
2. Правильно, с бородатыми не якшайтесь - они Вам не пара!

[venco]

victor_sorokin в сообщении #238540 писал(а):

shwedka в сообщении #238536 писал(а):

victor_sorokin в сообщении #238522 писал(а):

И теперь легко видеть, что сумма $2A+2B-2uabc^*$, или $2(A+B-uabc^*)$, и разность $2A$ чисел $C-A$ и $C+A$ ДЕЛЯТСЯ на $c^*$

про разность поподробнее. обман получается.

Плохо, когда обман получается. Верьте своим глазам:
из
8°) $C-A=B-uabc^*$ и $C+A=2A+B-uabc^*$ имеем:
9°) $C-A=B-uabc^*$ и $(C+A)-(C-A)=(2A+B-uabc^*)-(B-uabc^*)=2A$.

И где тут делимость на $c^*$?

И вообще, везде, где у вас встречается слово "очевидно", замените его соответствующим обоснованием.

[victor_sorokin]

venco в сообщении #238591 писал(а):

victor_sorokin в сообщении #238522 писал(а):

Плохо, когда обман получается. Верьте своим глазам:
из
8°) $C-A=B-uabc^*$ и $C+A=2A+B-uabc^*$ имеем:
9°) $C-A=B-uabc^*$ и $(C+A)-(C-A)=(2A+B-uabc^*)-(B-uabc^*)=2A$.

1) И где тут делимость на $c^*$?

2) И вообще, везде, где у вас встречается слово "очевидно", замените его соответствующим обоснованием.

1) Число $2A$ делится на $A$,
Число $A$ делится на $a+b$,
Число $a+b$ делится на $c^*$, следовательно,
Число $2A$ делится на $c^*$.

2) Сначала попытайтесь понять сами (это полезно!). Не получится - я изложу подробнее.

[venco]

victor_sorokin в сообщении #238598 писал(а):

Число $A$ делится на $a+b$,

Почему?

Цитата:

Сначала попытайтесь понять сами (это полезно!).

Тогда вас должно устроить такое доказательство:
Очевидно, что уравнение $a^{n+2} + b^{n+2} = c^{n+2}$ не имеет решения в положительных целых числах, значит теорема Ферма верна.

[victor_sorokin]

venco в сообщении #238601 писал(а):

victor_sorokin в сообщении #238598 писал(а):

Число $A$ делится на $a+b$,

Почему?

- Ошибка.
Правильно:
Число $2A$ есть удвоенный корень $n$-й степени из $C^n-B^n=(C-B)P$, где, как хорошо известно, числа $C-B$ и $P$ являются взаимнопростыми (если $A$ не кратно $n$) и в то же время $n$-ми степенями, и тогда $A=ap$. Откуда $2A$ делится на $a$.

Короче, в конце я перепутал $a$ с $c^*$.
Исправляю. Спасибо за указание.

[victor_sorokin]

victor_sorokin в сообщении #238606 писал(а):

Ошибка.
Исправляю. Спасибо за указание.

Ошибка не исправима, но она не отвергает интересности факта: два тождественно равных числа $2C^n-B^n$ и $2A^n+B^n$ вряд ли имеют общие делители.

Игра продожается...

-- Пт авг 28, 2009 08:13:19 --

При разночетных основаниях равенства, как будто, НЕТ!

[victor_sorokin]

Великая теорема Ферма

При простом $n>2$ и взаимнопростых $a, b, c$ уравнение

1°) $a^n+b^n=c^n$ целых решений не имеет.

Доказательство основано на Теореме (простое доказательство которой – с помощью малой теоремы Ферма – будет представлено позже):
При простом $n>2$ и взаимнопростых $a$ и $b$ множество простых сомножителей вида $m=kn+1$ числа $M=2a^n+b^n$ не выходит за пределы множества таковых в числе $2^n-1$.

Доказательство Великой теоремы Ферма

В числе $c^n+b^n=(c+b)R$ [либо в числе $c^n+a^n=(c+a)R’$] из 1° число $R$, состоящее, как известно, только из сомножителей вида $m=kn+1$, намного больше числа $2^n$.

С другой стороны, $c^n+b^n=2a^n+b^n$ [либо $c^n+a^n=a^n+2b^n$], и потому – согласно Теореме – произведение всех его сомножителей вида $m=kn+1$ не превышает числа $2^n-1$.

И мы пришли к противоречию. ВТФ доказана.

(29.08.2009)

(P.S. Мне достаточно не ошибиться только один раз...)

[venco]

victor_sorokin в сообщении #238940 писал(а):

Доказательство основано на Теореме (простое доказательство которой – с помощью малой теоремы Ферма – будет представлено позже):

Подождём...

[grisania]

victor_sorokin спуститесь на землю и докажите вашим методом ВТФ для тройки.
Очень полезное занятие, я вас уверяю. Моментально увидите свои ошибки. Даже элементарное доказательство ВТФ для тройки будет оценено мат. сообществом.
Краткое, но не совсем элементарное на данный момент, доказательство неразрешимости уравнения ВТФ для тройки можно получить с использованием леммы Эйлера.
Такое доказательство излагается во многих монографиях, посвященных Последней Теореме Ферма, например, [Постников], [Рибенбойм] и [Эдвардс]. Однако при её доказательстве сам Эйлер ошибся. Предложенные исправленные доказательства опираются на факториальность алгебраических колец или на теорию квадратичных вычетов (например, Sierpinski W. Elementary Theory of Numbers 1987), что не есть элементарно. После того как Мачис предложил элементарное её доказательство, можно считать что таким образом исправленное доказательство Эйлера самое элементарное.
Конечно, Эйлер великий математик - он предложил оригинальный спуск для доказательства ВТФ для тройки.

Дерзайте для для тройки, мой совет

[victor_sorokin]

grisania в сообщении #238952 писал(а):

victor_sorokin спуститесь на землю и докажите вашим методом ВТФ для тройки.
Очень полезное занятие, я вас уверяю. Моментально увидите свои ошибки. Даже элементарное доказательство ВТФ для тройки будет оценено мат. сообществом.
Краткое, но не совсем элементарное на данный момент, доказательство неразрешимости уравнения ВТФ для тройки можно получить с использованием леммы Эйлера.
Такое доказательство излагается во многих монографиях, посвященных Последней Теореме Ферма, например, [Постников], [Рибенбойм] и [Эдвардс]. Однако при её доказательстве сам Эйлер ошибся. Предложенные исправленные доказательства опираются на факториальность алгебраических колец или на теорию квадратичных вычетов (например, Sierpinski W. Elementary Theory of Numbers 1987), что не есть элементарно. После того как Мачис предложил элементарное её доказательство, можно считать что таким образом исправленное доказательство Эйлера самое элементарное.
Конечно, Эйлер великий математик - он предложил оригинальный спуск для доказательства ВТФ для тройки.

Дерзайте для тройки, мой совет

+++++

Прежде всего, большое спасибо за мудрый (без сарказма!) совет – я и сам всем знакомым ферматистам советую: не ходите дети в Африку гулять!, а если серьезно – то относиться к проблеме ВТФ не более как к хорошему досугу. Так что в нравственном отношении я вполне разделяю Вашу позицию.

А вот в научном – нет. В научном мире для меня существуют лишь три авторитета, которым я готов поверить на слово в ОЧЕНЬ большой мере – П.Ферма, Н.Тесла и Б.Бруцкус. Но первый утверждает, что доказал ВТФ, а двое других математикой, к сожалению, не занимались. А больше я НЕ ВЕРЮ никому.

Потом, ссылка на авторитет напоминает мне опровержение одним физиком в ж. «Наука и жизнь» моей модели вечного двигателя второго рода: этого не может быть, потому что это противоречит второму закону термодинамики! Неглупые люди эту логику переиначили так: этого не может быть, потому что этого не может быть никогда!

Но помимо нравственности и интеллекта существует еще Дух. И «если я чего решил – то выпью обязательно!». Настырным я оказался, с десяти лет… А горбатого, как известно, только могила исправит…

И, наконец, я не вижу больше смысла продолжать дальнейшие поиски доказательства ВТФ – я вижу ход доказательства Леммы-теоремы и в любом случае ее справедливость (так что в случае чего ее докажут другие).

Думаю, что при допущении доказанности Леммы-теоремы само доказательство ВТФ у Вас вопросов не вызывает. Поэтому дальнейшее исследование переносится в тему об общих делителях полиномов: post238890.html#p238890.

[victor_sorokin]

Если решение уравнения Ферма существует, то число
$D=(a^2+b^2)c^4+b^5(c+a)+a^5(c+b)$ делится на любое простое число вида $m=2kn+1$ из их бесконечного множества.
Простое доказательство этого утверждения – без лемм и анализа каких бы то ни было соотношений между числами равенства Ферма (что скорее всего малоперспективно) - будет представлено при первой же свободной минуте.