2-ой постулат, мир Минковского и Логунов

[Munin]

igorelki в сообщении #235946 писал(а):

А если пространство не евклидово и нет скалярного произведения?

Тогда в нём нет и сохранения интервала.

igorelki в сообщении #235946 писал(а):

И весь мир для чего-то рассматривает сохранение интервала при преобразованиях координат

Не расписывайтесь за весь мир. Весь мир как раз пользуется ковариантными и контравариантными компонентами векторов и тензоров в косоугольных системах координат в псевдоевклидовых пространствах, и метрическим тензором для выражения сохранения интервала.

-- 17.08.2009 23:06:51 --

igorelki в сообщении #235950 писал(а):

Не знаю окуда Вы передирали формулы

Ниоткуда не передирал. Я их с нуля сформулировал. Такое бывает, если знаешь предмет и умеешь с ним обращаться. Вам, возможно, это неведомо.

igorelki в сообщении #235950 писал(а):

но Вы даже не позаботились вести запись координат в одном порядке.

И не должен был заботиться.

igorelki в сообщении #235950 писал(а):

Так как $y$ и $z$ не принимают участие, то можно рассматривать двухмерный вариант.

Можно, но мне нетрудно было их приписать.

igorelki в сообщении #235950 писал(а):

Я не смотрел все остальное (пока времени нет)

Уже смешно: нет времени посмотреть две строчки.

igorelki в сообщении #235950 писал(а):

но компоненты метрического тензора расчитаны не верно (или Вы опять перепутали местами координаты).

А интервал-то сохраняется. Значит, рассчитаны верно.

[PapaKarlo]

igorelki в сообщении #235946 писал(а):

А если пространство не евклидово и нет скалярного произведения?

Скалярное произведение можно определить не только в (псевдо)евклидовом пространстве. Метрический тензор для этой цели вполне подходит. Нет?

[Munin]

Если есть скалярное произведение, то есть и (псевдо)метрическая структура, потому что от всякого вектора можно взять скалярный квадрат. По крайней мере, в конечномерных пространствах. А вот обратное неверно: если нет скалярного произведения, то метрика всё равно может быть. Правда, если метрика позволяет упорядочить точки, как в евклидовом пространстве, можно доопределить скалярное произведение по теореме косинусов.

[nestoklon]

PapaKarlo в сообщении #235952 писал(а):

Скалярное произведение можно определить не только в (псевдо)евклидовом пространстве. Метрический тензор для этой цели вполне подходит. Нет?

У него совсем в другом месте логическая ошибка. Он почему-то думает, что для существования скаляра нужно скалярное произведение. С одной стороны, в самом деле, в пространстве без скалярного произведения будет сложно определить поворот, и соответственно, будет сложно рассуждать о тензорах. С другой, молодой человек явно не понял, что ему пытались вдолбить -- а именно, что такие понятия как тензор (вектор и скаляр) не обязаны своим происхождением координатам и могут быть сформулированы без привлечения записи преобразований в координатной форме.

[Munin]

nestoklon в сообщении #235962 писал(а):

Он почему-то думает, что для существования скаляра нужно скалярное произведение.

Правда??? Где он сказал такое?

nestoklon в сообщении #235962 писал(а):

С одной стороны, в самом деле, в пространстве без скалярного произведения будет сложно определить поворот, и соответственно, будет сложно рассуждать о тензорах.

О них рассуждают совершенно спокойно. Разделяя ко- и контравариантные объекты как непереводимые друг в друга, но могущие быть умножены друг на друга. В частности, объект, на который может быть умножен вектор, называют функционалом, 1-формой или ковектором. Правда, тензоры при этом теряют смысл "величины, преобразующейся при поворотах по заданному закону", и остаются просто линейными величинами того же типа, что и (внешние) произведения векторов и ковекторов.

nestoklon в сообщении #235962 писал(а):

С другой, молодой человек явно не понял, что ему пытались вдолбить -- а именно, что такие понятия как тензор (вектор и скаляр) не обязаны своим происхождением координатам и могут быть сформулированы без привлечения записи преобразований в координатной форме.

Чтобы такое "вдолбить", нужно дать в руки инструмент, как этим пользоваться. Иначе ни понимания, ни доверия всё равно не будет. А инструмент надо читать в учебнике, который он читать не хочет.

[Someone]

Mark1 в сообщении #235939 писал(а):

В этой теме я вопрос о корректности вывода инвариантности интервала не поднимал. Я его затронул в теме «Геометрический подход». При этом основным вопросом у меня было обсуждение утверждения Логунова из другой книги (Лекции по СТО. 2002г) о том, что вывод инвариантности интервала, как он сделал у Паули и перекочевал в ЛЛ, некорректен. Ясности на такой конкретной вопрос я не получил. В том, что можно корректно получить инвариантность из постулатов Эйнштейна, как они обычно излагаются в учебниках, сомнительны.

Mark1, Вы решили игнорировать мои напоминания? Мы ведь с Вами этот вопрос подробно обсуждали, и я дал Вам подробный ответ в теме "Академик А.А. Логунов против постулатов А.Эйнштейна".

Вы заявляли вслед за Логуновым,

Mark1 в сообщении #94432 писал(а):

- что вывод ПЛ, базирующийся на постулате 2, означает лишь его применимость на световом конусе;
- что доказательства инвариантности пространственно-временного интервала на базе этого постулата-2 не состоятельны.

Mark1 в сообщении #94692 писал(а):

Из ПЛ следуют три инварианта: инвариант интервала для координат х и t, а также инварианты для y и z. Хотя это и означает, что имеет силу (ПОДСТАНОВКОЙ) инвариант интервала для (t, x, y, z), но успехом имеет силу и ЛЮБОЙ инвариант от суммы инварианта для (x, t) и произвольной функции от (y, t). Т.е. подход, при котором сначала вводят определение интервала (КОТОРОЕ НЕИЗВЕСТНО ОТКУДА СВАЛИЛОСЬ), а потом проверяют, что в рамках ПЛ он сохраняется, но подход в целом неправомочен:
$c^2(t_2-t_1)^2-(x_2-x_1)^2-\Phi(y, z)=inv$, где Ф(y, z) - люая функция.

В сообщении http://dxdy.ru/post95572.html#p95572 всё подробно объяснено. Что Вам там непонятно?

Что значит "НЕИЗВЕСТНО ОТКУДА СВАЛИЛОСЬ"? Какая разница, откуда оно свалилось? Это выражение получается из уравнения светового конуса. Почему бы не рассмотреть его и вне светового конуса? Его инвариантность во всём пространстве-времени проверяется простой подстановкой преобразований Лоренца. Те величины, которые Вы объявляете инвариантами, в действительности инвариантами не являются, что также проверяется подстановкой преобразований Лоренца с другим направлением скорости относительно осей координат (хотя бы вдоль осей $Oy$ и $Oz$). Сколько Вы можете повторять эти идиотизмы?

[nestoklon]

Munin в сообщении #235966 писал(а):

Правда??? Где он сказал такое?

Ну вот смотрите:

igorelki в сообщении #235946 писал(а):

Жесть в сообщении #235887 писал(а):

Ваше невежество и тотальная безграмотность просто поражают. Компоненты тензора просто по определению преобразуется именно так, чтобы скаляры оставались скалярами (интервал как-раз скаляр), вектора векторами и т.д. Читайте любой учебник геометрии. Могу посоветовать хороший - Новиков и соавторы "Современная геометрия. Методы и приложения". Там это объяснено на первых 10-15 страницах.

Из какого дурдома Вас выпустили без охраны? А если пространство не евклидово и нет скалярного произведения? И весь мир для чего-то рассматривает сохранение интервала при преобразованиях координат, а в дурдоме, видимо это не надо.

Человеку объясняют, что тензор потому и называется тензором, что преобразуется как надо, а он отвечает что дескать если пространство неевклидово, то это всё не будет работать.

Munin в сообщении #235966 писал(а):

О них рассуждают совершенно спокойно.

Не могу с вами согласиться. Для приведённых рассуждений всё равно понадобится понятие "вектор". Причём не как столбца чисел, а как геометрической сущности. При стандартных рассуждениях повороты ой как нужны. Без них конечно можно, но не просто.

[Munin]

nestoklon в сообщении #236004 писал(а):

Не могу с вами согласиться. Для приведённых рассуждений всё равно понадобится понятие "вектор". Причём не как столбца чисел, а как геометрической сущности. При стандартных рассуждениях повороты ой как нужны. Без них конечно можно, но не просто.

Верно. Вектор. Как геометрическая сущность. Но и снова самодостаточная без поворотов, в аффинном или векторном пространстве. Без поворотов просто, только непривычно. Но математикам дают сразу аффинный подход, например. И привычки изменить очень просто: достаточно запретить себе переводить индексы сверху вниз и обратно, и убедиться, что большая часть вычислений ничуть не страдает. Разумеется, не будет метрического тензора и символа Леви-Чивиты.

[nestoklon]

Munin в сообщении #236036 писал(а):

Но математикам дают сразу аффинный подход, например.

Давать-то дают, и не только математикам, только смысла в нём если мы хотим завести скаляры, векторы и тензоры?
Чем тогда индексы верхние от нижних будут отличаться? Обычно они отличаются тем, что при поворотах одни преобразуются как координаты, а другие как базисные вектора. Если их отличать только тем, что одни "нижние", а другие "верхние" -- смысла не будет.
И как тогда понимать скаляр? Если поворот есть -- я понимаю, что это число на которое с какой стороны ни посмотри -- оно число. А если поворота нет? Просто число? Дык компонента вектора тоже число. А физический смысл у неё другой.
Я могу придумать конструкцию, когда мы вместо SO(3) (ну или SU(2), SO(3,1) или что там ещё стандартно бывает ) берём какую-нибудь другую группу преобразований и начинаем классифицировать по её представлениям. Но так чтобы совсем без "поворотов" -- это я с ходу не понимаю, как.

[ewert]

nestoklon в сообщении #236052 писал(а):

Обычно они отличаются тем, что при поворотах одни преобразуются как координаты, а другие как базисные вектора. Если их отличать только тем, что одни "нижние", а другие "верхние" -- смысла не будет.

Так вот ровно этим "верхние" индексы от "нижних" и отличаются -- правилами преобразования, и ничем больше.

nestoklon в сообщении #236052 писал(а):

Если поворот есть -- я понимаю, что это число на которое с какой стороны ни посмотри -- оно число. А если поворота нет? Просто число? Дык компонента вектора тоже число.

Не тоже. Компонента вектора преобразуется, а просто число нет. Просто по определению "просто числа".

[CowboyHugges]

nestoklon в сообщении #236052 писал(а):

И как тогда понимать скаляр? Если поворот есть -- я понимаю, что это число на которое с какой стороны ни посмотри -- оно число. А если поворота нет? Просто число?

Ну для математиков скаляр - это нечто что не меняется при переходе к другой системе координат. А как это переход осуществляется, будь это поворот, или переход к другой карте на многообразии, не суть. Cкаляр-то может быть и двумерным и n-мерным,а не "просто число".

nestoklon в сообщении #236052 писал(а):

Обычно они отличаются тем, что при поворотах одни преобразуются как координаты, а другие как базисные вектора. Если их отличать только тем, что одни "нижние", а другие "верхние" -- смысла не будет.

Ну по сути так оно и есть В итоге всё различие в преобразованиях. И для того чтобы одни соответствовали векторам, а другие 1-формам, не обязательно вводить повороты. Всё равно в итоге нужны только эти правила для "поднятия\опускания" индекса, для вычисления компонентов тензора и т.д. А как к ним прийти, ИМХО, не суть.

[Munin]

nestoklon в сообщении #236052 писал(а):

Давать-то дают, и не только математикам, только смысла в нём если мы хотим завести скаляры, векторы и тензоры?
Чем тогда индексы верхние от нижних будут отличаться? Обычно они отличаются тем, что при поворотах одни преобразуются как координаты, а другие как базисные вектора. Если их отличать только тем, что одни "нижние", а другие "верхние" -- смысла не будет.

Они отличаются тем, что вообще относятся не к исходному векторному пространству, а к его партнёру - сопряжённому пространству, которое, если не ошибаюсь (я вообще этот подход плохо знаю) обозначается со звёздочкой. Основной, если не единственный его смысл - это именно давать скаляр при применении к вектору из исходного пространства.

nestoklon в сообщении #236052 писал(а):

И как тогда понимать скаляр? Если поворот есть -- я понимаю, что это число на которое с какой стороны ни посмотри -- оно число. А если поворота нет? Просто число? Дык компонента вектора тоже число.

Ну произвольные преобразования координат всё равно остаются, и компоненты векторов от них меняются, а скаляры - нет.

Я не могу вам рассказать этот подход, поскольку изучал "поворотный". И книгу назвать не могу - забыл название. Но поищу.

[nestoklon]

CowboyHugges в сообщении #236071 писал(а):

А как это переход осуществляется, будь это поворот, или переход к другой карте на многообразии, не суть.

О! А это мысль. Видимо, моя ошибка в том, что мне было тяжело представить физически осмысленные преобразования, не являющиеся каким-нибудь хитрым вариантом поворота.

Munin в сообщении #236081 писал(а):

Они отличаются тем, что вообще относятся не к исходному векторному пространству, а к его партнёру - сопряжённому пространству, которое, если не ошибаюсь (я вообще этот подход плохо знаю) обозначается со звёздочкой. Основной, если не единственный его смысл - это именно давать скаляр при применении к вектору из исходного пространства.

Ну да. Это всё мне известно. Мне не придумать физически осмысленного примера в которых в качестве вектора фигурировал бы объект из пространства без скалярного произведения, а только с векторами и ковекторами. Все эти примеры с многообразиями не в счёт -- они все локально $\mathbb{R}^n$. То есть мы взяли поворот (скалярное произведение, etc), испортили его и сказали: "а теперь забудем, с чего мы начинали". А вот нет ли примера, где сразу и неизбежно всё плохо?..

[Munin]

nestoklon в сообщении #236098 писал(а):

Мне не придумать физически осмысленного примера в которых в качестве вектора фигурировал бы объект из пространства без скалярного произведения, а только с векторами и ковекторами.

Ну, например, вектор скорости в фазовом пространстве - чем плох?

-- 18.08.2009 15:19:06 --

Munin в сообщении #236081 писал(а):

Я не могу вам рассказать этот подход, поскольку изучал "поворотный". И книгу назвать не могу - забыл название. Но поищу.

Далеко не ходя, Кострикин "Введение в алгебру. Ч. 2. Линейная алгебра" - на с. 30 вводится двойственное (сопряжённое, дуальное) пространство, на с. 260 - понятие тензора, как объекта из пространства
$V^p\times (V^{*})^{q}=\underbrace{V\times\ldots\times V}_{p}\times\underbrace{V^{*}\times\ldots\times V^{*}}_{q}.$
Но это не та книга, в которую мне ткнули пальцем...

[nestoklon]

Munin в сообщении #236102 писал(а):

Далеко не ходя,

Да-да-да, это всё понятно. У нас лектор по линейке отмороженный был, так что была возможность это всё в деталях изучить. Меня волнует как сделать "плохое" пространство $V$, так чтобы это не было математической игрушкой.
Про фазовое пространство идея хорошая. Надо подумать.