Полное решение континуум-проблемы

[Инт]

Someone в сообщении #234258 писал(а):

В § 5 у Вас никакого доказательства нет, но подробное объяснение этого требует много времени. Если когда-нибудь у меня будет такое желание и много свободного времени, постараюсь Вам это растолковать. Пока же ограничусь следующим.

Это Someone Вы снова врёте. Переход на личности, вместо обсуждения существа вопроса, характер Ваших приёмов "ниже пояса" в дискуссии хорошо известен и впечатления уже не производит. Ещё для примера:

Someone в сообщении #234258 писал(а):

Инт в сообщении #233256 писал(а):

Хорошая теория проходит две стадии (по Пуанкаре) первая стадия: теория нелепа и абсурдна, вторая стадия: теория тривиальна. Неужели переходим ко второй?

Не надейтесь. Ваша "теория" навсегда останется на этапе безграмотного графоманского сочинения.

При том, что от Вас пока я не увидел ни одного сколько-нибудь серьёзного, профессионального математического возражения против моих доводов, по существу вопроса. Не исключено, что §5 Вы никогда не разберёте, хотя эта часть текста достаточно проста.

Someone в сообщении #234258 писал(а):

Аксиома. Существует хаусдорфово бикомпактное расширение натурального ряда, не являющееся расширением волмэновского типа.

Я то просил придумать Вашу гипотезу, уточняю - не эквивалент известной. Таких аксиом, эквивалентных отрицанию континуум-гипотезы, т.е. неконструктивных утверждений, сводящих одно незнание к другому можно, действительно, придумать сколько угодно много. А вот аксиомы, несущие новую информацию, придумать трудно. Моя аксиома из таких, трудных аксиом. И что замечательно, она очевидна. А вот неконструктивное отрицание континуум-гипотезы - не очевидно.

Someone в сообщении #234258 писал(а):

Доказательства нет. Напротив, из упомянутых выше давних результатов Хехлера следует, что такое доказательство невозможно..

Ну значит, полетели результаты Хехлера, неверны.

Someone в сообщении #234258 писал(а):

Эти трансформации - просто гомеоморфизмы...

Говорите очевидные вещи, которые даже не требуют обсуждения.

Someone в сообщении #234258 писал(а):

Ваши "трансформации" в § 5 не определены (и уже поэтому доказательства нет), только описано (достаточно невнятно), чего Вы от них хотите. Нетрудно также показать (хотя и довольно длинно), что последовательность трансформаций $\Omega_{\nu}$, $\nu<\omega_1$, никакого предела иметь не будет....

Противоречите сами себе. Мои трансформации $\Omega_{\nu}$ определены как обычные отображения евклидового пространства в себя. Затем, я указываю трансформацию $\Omega$, которая является интуиционистским пределом для $\Omega_{\nu}$. Про этот предел я пояснял ещё раньше, что он не может рассматриваться как обычный предел для классических деформаций, т.е. я отмечал, что такой предел не существует как отображение евклидовой плоскости в себя. С другой стороны, он содержательно оправдан своей очевидностью, и это есть основание его рассматривать, что есть некоторая содержательная трактовка. Чтобы закрепить это основание строго, я точно выражаю указанный предел, как канонический объект канонической же теории множеств. Именно, трансформация $\Omega$ может интерпретироваться как отображение в пространство-произведение: плоскость $\Omega$Э расположена в бесконечнмерном пространстве, размерности $\aleph_1$, $\Omega_{\nu}$Э есть $\nu$-ая проекция области $\Omega$Э. Замечу, что можно не прибегать к указанной интерпретации в бесконечно-мерном пространстве. Когда говорится о пределе $\Omega$, то это всего лишь способ говорить, чтобы яснее выразить ситуацию, и поэтому, можно не прибегать и к содержательной трактовке, о которой я говорил. Для этого, достаточно расматривать просто последовательность трансформаций, т.е. последовательность классических отображений, и делать выводы относительно этой последовательности.


P.S. То, что моё доказательство пробъётся через предубеждения и будет понято большинством математиков я не сомневаюсь.

[Xaositect]

Инт в сообщении #234315 писал(а):

Ну значит, полетели результаты Хехлера, неверны.

Вы лучше найдите в них ошибку, а то вдруг полетела теория множеств, противоречива.

[Инт]

В каком-то смысле это так. Поскольку, утверждение о возможности вполнеупорядочить каждое множество оказывается неверным. А ошибку у себя, т.е. в вашей команде, ищите сами.

-- Вт авг 11, 2009 14:57:40 --

P.S. Доказательство абсолютно или это не доказательство.

[Droog_Andrey]

Инт, Вы, наверное, не заметили вопрос на предыдущей странице по поводу выбора.

[AD]

Инт в сообщении #234318 писал(а):

А ошибку у себя, т.е. в вашей команде, ищите сами.

А, ну вот и ладушки. Ваши результаты противоречат нашим, наши результаты противоречат вашим. Каждый ищет ошибку сам. На этом и закончим, да?

[Инт]

AD в сообщении #234336 писал(а):

А, ну вот и ладушки. Ваши результаты противоречат нашим, наши результаты противоречат вашим. Каждый ищет ошибку сам. На этом и закончим, да?

Тему то обсуждаем мою. В противном случае, уедем далеко.

-- Вт авг 11, 2009 19:36:09 --

Droog_Andrey в сообщении #234254 писал(а):

Инт в сообщении #233873 писал(а):

$2^{\aleph_1} = 2^{\aleph_0}$

Если я правильно понял, этот результат получен Вами в предположении о справедливости аксиомы ограниченного (мощностью континуума) выбора, верно?

Точно. Не заметил. Верно говорите, с помощью какой-то такой аксиомы выбора.

-- Вт авг 11, 2009 19:39:05 --

Той аксиомы выбора, которая позволяет построить линию в соответствующее сечение гипреконтинуума.

-- Вт авг 11, 2009 19:49:39 --

Тут ещё Someone мне в грубой форме предъявлял, что аксиомы мои очевидны, и я, якобы, обманываясь их очевидностью, делаю неверные выводы. Как всегда, он умышленно передёргивает. Дело в том, что очевидность аксиом есть только лишь повод их рассматривать как вероятные теоремы теории множеств, но не более. В окончательных доказательствах на очевидность я не ссылаюсь. Хотя, если бы даже аксиомы оказались логически независимыми от обычной теории множеств, то их та конкретная очевидность, которую я предъявил, есть очень тонкий, но самый основательный аргумент их истинности.

[AD]

Инт в сообщении #234391 писал(а):

Тему то обсуждаем мою. В противном случае, уедем далеко.

Вопрос не о теме, а об уровне аргументации.

[Инт]

Вот и предъявите уровень. Я свои доказательства привёл. Найдите в них ошибку, попробуйте.

[Droog_Andrey]

Инт в сообщении #234391 писал(а):

Droog_Andrey в сообщении #234254 писал(а):

Инт в сообщении #233873 писал(а):

$2^{\aleph_1} = 2^{\aleph_0}$

Если я правильно понял, этот результат получен Вами в предположении о справедливости аксиомы ограниченного (мощностью континуума) выбора, верно?

Точно. Не заметил. Верно говорите, с помощью какой-то такой аксиомы выбора.

Той аксиомы выбора, которая позволяет построить линию в соответствующее сечение гипреконтинуума.

Но при этом континуум уже не является вполнеупорядочиваемым, несмотря на то, что на нём всё ещё действует "Ваша" аксиома выбора, т.е. теорема Цермело идёт лесом?

[Виктор Викторов]

Инт в сообщении #234391 писал(а):

Droog_Andrey в сообщении #234254 писал(а):

Инт в сообщении #233873 писал(а):

$2^{\aleph_1} = 2^{\aleph_0}$

Если я правильно понял, этот результат получен Вами в предположении о справедливости аксиомы ограниченного (мощностью континуума) выбора, верно?

Точно. Не заметил. Верно говорите, с помощью какой-то такой аксиомы выбора.

Инт в сообщении #234318 писал(а):

утверждение о возможности вполнеупорядочить каждое множество оказывается неверным.

Теорема о вполне упорядочении каждого множества эквивалентна аксиоме выбора. Укажите, пожалуйста, где с Вашей точки зрения ошибки в доказательстве теоремы о вполне упорядочении.

[AD]

Инт в сообщении #234410 писал(а):

Вот и предъявите уровень. Я свои доказательства привёл. Найдите в них ошибку, попробуйте.

Вот и предъявите уровень. Цермело свои доказательства привёл. Найдите в них ошибку, попробуйте.
Оно ведь гораздо проще, чем эти Ваши "многабукав".
Только не так, как Вы тут и тут ошибку искали, а как следует.

[shwedka]

рекомендую обратить внимание и на тему dxdy.ru/topic23837.html
Подобно обсуждаемой, Инт был поначалу щедр на высказывания типа
'очевидно', 'элементарно', 'легко доказывается' и тп. В конце оказалось, что 'очевидное' неверно.

Учитывая такую репутацию Инт, считаю бесполезным рассмотрение его текста, пока все 'очевидно' не будут заменены детальными объяснениями.

Присоединяюсь к вопросу Виктор Викторов, AD.

Цитата:

Теорема о вполне упорядочении каждого множества эквивалентна аксиоме выбора. Укажите, пожалуйста, где с Вашей точки зрения ошибки в доказательстве теоремы о вполне упорядочении.

Напоминаю правило ФОРУМА

Цитата:

3.2. Публикуя свои взгляды на форуме, автор принимает на себя обязательства вежливо, четко и по существу отвечать на вопросы, заданные участниками обсуждения вежливо, четко и по существу. Безусловно обязательны ответы на вопросы, заданные несколькими участниками, представителями администрации или участниками форума, имеющими статус "Заслуженный".

[Someone]

Инт в сообщении #234315 писал(а):

Someone в сообщении #234258 писал(а):

В § 5 у Вас никакого доказательства нет, но подробное объяснение этого требует много времени. Если когда-нибудь у меня будет такое желание и много свободного времени, постараюсь Вам это растолковать. Пока же ограничусь следующим.

Это Someone Вы снова врёте. Переход на личности, вместо обсуждения существа вопроса, характер Ваших приёмов "ниже пояса" в дискуссии хорошо известен и впечатления уже не производит. Ещё для примера:

Someone в сообщении #234258 писал(а):

Инт в сообщении #233256 писал(а):

Хорошая теория проходит две стадии (по Пуанкаре) первая стадия: теория нелепа и абсурдна, вторая стадия: теория тривиальна. Неужели переходим ко второй?

Не надейтесь. Ваша "теория" навсегда останется на этапе безграмотного графоманского сочинения.

Перехода на личности с моей стороны не было на в первом случае, ни во втором. Поскольку в обоих случаях я характеризую не Вашу личность, а Ваше сочинение. И обе характеристики являются правильными.

Инт в сообщении #234315 писал(а):

При том, что от Вас пока я не увидел ни одного сколько-нибудь серьёзного, профессионального математического возражения против моих доводов, по существу вопроса. Не исключено, что §5 Вы никогда не разберёте, хотя эта часть текста достаточно проста.

Не разберу, Вы совершенно правы. Ибо там нет ничего, кроме благих пожеланий по поводу того, какими должны быть трансформации и что должно получиться, сами же они никак не построены и не доказано, что в результате получится именно то, что Вы хотите.

Инт в сообщении #234315 писал(а):

Someone в сообщении #234258 писал(а):

Аксиома. Существует хаусдорфово бикомпактное расширение натурального ряда, не являющееся расширением волмэновского типа.

Я то просил придумать Вашу гипотезу, уточняю - не эквивалент известной. Таких аксиом, эквивалентных отрицанию континуум-гипотезы, т.е. неконструктивных утверждений, сводящих одно незнание к другому можно, действительно, придумать сколько угодно много.

У нас с Вами шёл разговор об аксиоме, из которой следует отрицание континуум-гипотезы.

Инт в сообщении #233256 писал(а):

Someone в сообщении #233215 писал(а):

Из этой аксиомы, если её добавить к ZFC, действительно следует отрицание континуум-гипотезы. Ну и что? Таких аксиом можно придумать воз и маленькую тележку.

Уважаемый Someone насчёт "воза и тележки" это шапкозакидательство. Придумайте хотя бы одну аксиому, только Вашу, оригинальную, а не взятую от кого-нибудь.

Я требуемое утверждение привёл. Из него действительно следует отрицание континуум-гипотезы. Ваша оценка математической значимости этого утверждения никого не интересует, поскольку Вы в данном случае заведомо не понимаете, о чём идёт речь.

Инт в сообщении #234315 писал(а):

А вот аксиомы, несущие новую информацию, придумать трудно. Моя аксиома из таких, трудных аксиом. И что замечательно, она очевидна. А вот неконструктивное отрицание континуум-гипотезы - не очевидно.

Во-первых, как я уже писал, не принято называть аксиомой утверждение, которое доказывается с помощью общепринятых аксиом ZFC, а Вы утверждаете, что такое доказательство существует. Во-вторых, насчёт "конструктивности" Вы загнули. Ну давайте Вы продемонстрируете нам эту конструктивность. Заодно и доказательство продемонстрируете. Напоминаю Вашу аксиому.

INT в сообщении #218474 писал(а):

Аксиома. Пусть А и Б – подмножества $HC$, мощность которых меньше или равна $\aleph_1$, все элементы объединения этих множеств сравнимы между собой, и каждая линия из А заканчивается левее каждой линии из Б. Тогда, существует линия $k$, которая заканчивается правее каждой линии множества А и левее каждой линии множества Б.

Пусть семейство Б состоит из одной линии $m$, заданной уравнением $\varphi=\frac{\pi}4$, а семейство А состоит из линий $l_{\alpha}$, задаваемых уравнениями $\varphi=f_{\alpha}(r)$, $\alpha<\omega_1$, причём, если $\alpha<\beta<\omega_1$, то $\lim\limits_{r\to 1^-}f_{\alpha}(r)=\lim\limits_{r\to 1^-}f_{\beta}(r)=\frac{\pi}4$ и $l_{\alpha}-<l_{\beta}-<m$. Предъявите, пожалуйста, линию $k$. К пятому параграфу своего трактата не отсылайте, продемонстрируйте построение здесь. Постарайтесь изложить попроще. Например, непонятно, зачем нужно использовать трёхмерное пространство, если все линии расположены на куске плоскости. Это только запутывает построение.

Инт в сообщении #234315 писал(а):

Ну значит, полетели результаты Хехлера, неверны.

Не волнуйтесь, ничего с ними не случится.

Инт в сообщении #234315 писал(а):

Someone в сообщении #234258 писал(а):

Эти трансформации - просто гомеоморфизмы...

Говорите очевидные вещи, которые даже не требуют обсуждения.

Someone в сообщении #234258 писал(а):

Ваши "трансформации" в § 5 не определены (и уже поэтому доказательства нет), только описано (достаточно невнятно), чего Вы от них хотите. Нетрудно также показать (хотя и довольно длинно), что последовательность трансформаций $\Omega_{\nu}$, $\nu<\omega_1$, никакого предела иметь не будет....

Противоречите сами себе. Мои трансформации $\Omega_{\nu}$ определены как обычные отображения евклидового пространства в себя.

Да, они, согласно Вашему утверждению, являются обычными отображениями. Однако они не построены. И именно в этом смысле не определены.

Инт в сообщении #234315 писал(а):

Затем, я указываю трансформацию $\Omega$, которая является интуиционистским пределом для $\Omega_{\nu}$. Про этот предел я пояснял ещё раньше, что он не может рассматриваться как обычный предел для классических деформаций, т.е. я отмечал, что такой предел не существует как отображение евклидовой плоскости в себя.

Зачем говорить о пределе, если он не существует? И что такое "интуиционистский предел"? Где его определение?

Инт в сообщении #234315 писал(а):

С другой стороны, он содержательно оправдан своей очевидностью, и это есть основание его рассматривать, что есть некоторая содержательная трактовка.

Ссылки на очевидность в нашей команде доказательством не считаются.

Инт в сообщении #234315 писал(а):

Чтобы закрепить это основание строго, я точно выражаю указанный предел, как канонический объект канонической же теории множеств. Именно, трансформация $\Omega$ может интерпретироваться как отображение в пространство-произведение: плоскость $\Omega$Э расположена в бесконечнмерном пространстве, размерности $\aleph_1$, $\Omega_{\nu}$Э есть $\nu$-ая проекция области $\Omega$Э.

Рассматривать произведение можно, но здесь всё равно есть проблемы, от которых просто так не избавиться. В частности, из-за "деформаций" то, что Вы называете "плоскостью", в произведении "выглядит" как беспорядочно смятый лист бумаги. Найти на нём линию $k$ очень сложно, даже если она действительно есть (а её может и не быть). И нелепо называть это пределом трансформаций. Есть стандартный термин (диагональное произведение отображений).

Я вернусь к параграфу третьему Вашего трактата. Конкретно, меня интересует

Инт писал(а):

Аксиома I. Существует трансформация $\Omega$, проводимая вдоль дуг $r=const<1$ над областью $D$, в результате которой, концы каждых двух линий $l$ и $m$, взятых в множестве $HQ$, разводятся на дуге $C$. При этом, если $l-<m$, то после трансформации (деформации) оказывается: $\text{деф}l-<\text{деф}m$ и $L<M$ ($L$ - конец линии $l$, $M$ - конец линии $m$); трансформированная область $D$ оказывается гомеоморфной открытой евклидовой области.

Доказательство у Вас, разумеется, отсутствует. Построить деформацию, "разводящую" конечное множество линий, несложно. Повозившись, можно справиться и со счётным множеством. При "доказательстве" Теоремы 7 Вы пытаетесь справиться с множеством мощности $\aleph_1$, вполне упорядоченным отношением $-<$. При доказательстве "Аксиомы" I Вы должны иметь дело с множеством мощности $\mathfrak c=2^{\aleph_0}$, причём, Вы хотите доказать, что $\mathfrak c>\aleph_1$; кроме того, это множество не является вполне упорядоченным. Более того, оно является плотным, то есть, между любыми двумя его элементами имеются другие его элементы (в количестве $\mathfrak c$). Вам же нужно построить "деформацию", "разводящую" все линии. Обратите внимание на следующую проблему: если Вы "разводите" некоторое множество линий, не совпадающее со всем $HQ$, то никто не гарантирует, что линии из $HQ$, расположенные между "разводимыми" линиями, могут превратиться в линии, не имеющие определённых "концов" на дуге $C$.



Вот на этом рисунке (это Ваш Рисунок 1), когда Вы "разводите" линии $l_{\lambda}$ и $m_{\lambda}$, линии $l_{\lambda+1}$ и $m_{\lambda+1}$ уже не обязаны стремиться к определённым точкам дуги $C$, а могут совершать бесконечно много колебаний влево-вправо между линиями $l_{\lambda}$ и $m_{\lambda}$, заметая часть дуги $L_{\lambda}M_{\lambda}$ (или даже её всю), поскольку при построении деформации $\Omega_{\lambda}$ информация о линиях $l_{\lambda+1}$ и $m_{\lambda+1}$ никак не используется. Если такая ситуация на каком-то шаге возникла, исправить её при дальнейшем построении будет нельзя. Эта проблема существует и в Вашем "доказательстве" Теоремы 7.

Инт в сообщении #234391 писал(а):

Тут ещё Someone мне в грубой форме предъявлял

Предъявите цитату с моей грубостью.
Я, конечно, понимаю, что Вам хочется избавиться от неудобного оппонента.

Инт в сообщении #234391 писал(а):

что аксиомы мои очевидны, и я, якобы, обманываясь их очевидностью, делаю неверные выводы.

Ан неправда. Я говорил о том, что Вы обманываетесь геометрической очевидностью. А об "аксиомах" я говорил нечто совсем другое.

shwedka в сообщении #234439 писал(а):

Присоединяюсь к вопросу Виктор Викторов, AD.

Цитата:

Теорема о вполне упорядочении каждого множества эквивалентна аксиоме выбора. Укажите, пожалуйста, где с Вашей точки зрения ошибки в доказательстве теоремы о вполне упорядочении.

Также присоединяюсь к этому вопросу. Кроме того, Вы утверждаете, что континуум невозможно вполне упорядочить.

Инт писал(а):

Теорема 5. Мощность действительной прямой превышает мощность любого вполне упорядоченного множества.

Если Вы предполагаете доказывать Аксиому I таким же способом, как Теорему 7, то Вам придётся этот злосчастный континуум вполне упорядочить. В результате возникнет внутреннее противоречие в Ваших рассуждениях.

P.S. Как напомнила shwedka в предыдущем сообщении, согласно пункту 3.2 Правил форума, Вы обязаны отвечать на мои вопросы по существу и без ссылок на очевидность.

[Droog_Andrey]

Someone в сообщении #234468 писал(а):

Если Вы предполагаете доказывать Аксиому I таким же способом, как Теорему 7, то Вам придётся этот злосчастный континуум вполне упорядочить. В результате возникнет внутреннее противоречие в Ваших рассуждениях.

ИМХО, с самого начала следовало об этом спрашивать: post234411.html#p234411

А то как-то много страниц получилось, а толку...

[Инт]

Вот молодцы. Навалились как надо. Есть теперь шанс разобрать доказательство полностью. Замечу ещё, что я отвечаю всегда по существу, если по существу задан вопрос. Это именно по поводу:

Someone в сообщении #234468 писал(а):

Я, конечно, понимаю, что Вам хочется избавиться от неудобного оппонента.

Наоборот Someone, Вы стали задавать наконец вопросы уже технические, которые я и хотел, чтобы мне задавали, это не смотря на Ваши эмоции. По поводу вопроса о вполнеупорядочении, который мне задают и остальные участники обсуждения, это отдельный разговор, и конечно же важный вопрос. Я предлагал, его обсудить отдельно. Но придётся, видимо, обсуждать здесь.

Someone в сообщении #234468 писал(а):

Инт в сообщении #234315 писал(а):

При том, что от Вас пока я не увидел ни одного сколько-нибудь серьёзного, профессионального математического возражения против моих доводов, по существу вопроса. Не исключено, что §5 Вы никогда не разберёте, хотя эта часть текста достаточно проста.

Не разберу, Вы совершенно правы. Ибо там нет ничего, кроме благих пожеланий по поводу того, какими должны быть трансформации и что должно получиться, сами же они никак не построены и не доказано, что в результате получится именно то, что Вы хотите.

На самом деле, в http://dxdy.ru/post220877.html#p220877 указаны полностью математические условия, которым должны удовлетворять деформации. Этими условиями, деформации определены полностью. Сами условия легко выполнимы, а потому, указанные деформации существуют. Если Вы считаете, что это не так, то укажите, какое условие не выполнимо. Напомню:

Инт в сообщении #220877 писал(а):

Пусть $\nu$ принадлежит множеству конечных и счётных ординалов. Трансфинитную последовательность канонических деформаций $\Omega_{\nu}$ всегда можно определить шаг за шагом по трансфинитной индукции так, чтобы деформации удовлетворяли следующим условиям:

(I) $\Omega_{\nu}$ – непрерывное всюду кроме точки $Z$ отображение пространства Э в себя, переводящее разные точки в разные, и такое, что $\Omega_{\nu}C_{r} = C_{r}$, $\Omega_{\nu}C_{rh} = C_{rh}$, за исключением случая, когда значение параметров $h$ и $r$ таково, что $h = 0$ и $r = 1$.

(II) Область $\Omega_{\nu}E_{h}$ сжимается в точку $Z$, когда $h$ стремится к нулю.

(III) Для любых $\lambda$ и $\mu$ $\in J$ если $\lambda < \mu < \nu +1$, то $\Omega_{\nu}a_{\lambda}$ —< $\Omega_{\nu}a_{\mu}$ —< $\Omega_{\nu}b_{\mu}$ —< $\Omega_{\nu}b_{\lambda}$. Линии $\Omega_{\nu}a_{\lambda}$ и $\Omega_{\nu}b_{\lambda}$ заканчиваются в точках, именуемых соответственно $A_{\lambda}$ и $B_{\lambda}$, и находящихся на дуге $\Omega_{\nu}C$, и при $\lambda < \mu < \nu + 1$, $ A_{\lambda} < A_{\mu} < Z < B_{\mu} < B_{\lambda}$. При $\eta \ge \nu + 1$ линии $\Omega_{\nu}a_{\eta}$ и $\Omega_{\nu}b_{\eta}$ заканчиваются в точке $Z$, т.е. тогда $A_{\eta}$ и $B_{\eta}$ совпадают с $Z$.

(IV) Пусть (на $\eta$-ом шаге определения, где $\eta$ – ординал): $\lambda < \mu < \eta + 1 < \nu + 1$; и все точки из замыкания $\Omega_{\eta}$Э имеют имена. Пусть последовательности геометрических точек $P’_{n}$ и $P_{n}$, нумерованные натуральными числами, таковы, что $\Omega_{\eta}P’_{n}$ и $\Omega_{\eta}P_{n}$ имеют один предел $P \neq Z$ или на дуге $A_{\lambda}A_{\mu}$, или на дуге $A_{\eta}Z = A_{\eta}A_{\eta + 1}$, или на дуге $B_{\mu}B_{\lambda}$, или на дуге $ZB_{\eta} = B_{\eta + 1}B_{\eta}$, как частях дуги $\Omega_{\eta}C$, или в оставшейся области пространства $\Omega_{\eta}$Э, исключающей указанные дуги как замкнутые множества. Тогда (на $\nu$-ом шаге определения), пределы последовательностей $\Omega_{\nu}P’_{n}$ и $\Omega_{\nu}P_{n}$ совпадают соответственно или на дуге $A_{\lambda}A_{\mu}$ или на дуге $A_{\eta}A_{\eta + 1}$, или на дуге $B_{\mu}B_{\lambda}$, или на дуге $B_{\eta + 1}B_{\eta}$, как частях дуги $\Omega_{\nu}C$, или в оставшейся области пространства $\Omega_{\nu}$Э в точке $\neq Z$, именуемой так же, как и $P$ (геометрические точки $A_{\eta}$, $A_{\eta + 1}$, $B_{\eta + 1}$, $B_{\eta}$ различаются в $\Omega_{\nu}$Э, силу условия III). Если, пределы последовательностей $\Omega_{\eta}P’_{n}$ и $\Omega_{\eta}P_{n}$ различны, то такие пределы (считаем, по определению предыдущих шагов) имеют разные имена. Тогда, пределы $\Omega_{\nu}P’_{n}$ и $\Omega_{\nu}P_{n}$ различны, и имеют разные имена. При любом $\nu$ дугу $\Omega_{\nu}C$ считаем состоянием (вообще говоря, одной и той же) дуги $C$. Дуги $A_{\lambda}A_{\mu}$, $A_{\nu}Z$, $B_{\mu}B_{\lambda}$, $ZB_{\nu}$ изоморфны отрезку обычной действительной прямой.

- это точно сформулированные математические условия, которые, например, можно критиковать.

Someone в сообщении #234468 писал(а):

Во-первых, как я уже писал, не принято называть аксиомой утверждение, которое доказывается с помощью общепринятых аксиом ZFC, а Вы утверждаете, что такое доказательство существует. Во-вторых, насчёт "конструктивности" Вы загнули. Ну давайте Вы продемонстрируете нам эту конструктивность. Заодно и доказательство продемонстрируете. Напоминаю Вашу аксиому.

INT в сообщении #218474 писал(а):

Аксиома. Пусть А и Б – подмножества $HC$, мощность которых меньше или равна $\aleph_1$, все элементы объединения этих множеств сравнимы между собой, и каждая линия из А заканчивается левее каждой линии из Б. Тогда, существует линия $k$, которая заканчивается правее каждой линии множества А и левее каждой линии множества Б.

Пусть семейство Б состоит из одной линии $m$, заданной уравнением $\varphi=\frac{\pi}4$, а семейство А состоит из линий $l_{\alpha}$, задаваемых уравнениями $\varphi=f_{\alpha}(r)$, $\alpha<\omega_1$, причём, если $\alpha<\beta<\omega_1$, то $\lim\limits_{r\to 1^-}f_{\alpha}(r)=\lim\limits_{r\to 1^-}f_{\beta}(r)=\frac{\pi}4$ и $l_{\alpha}-<l_{\beta}-<m$. Предъявите, пожалуйста, линию $k$. К пятому параграфу своего трактата не отсылайте, продемонстрируйте построение здесь. Постарайтесь изложить попроще. Например, непонятно, зачем нужно использовать трёхмерное пространство, если все линии расположены на куске плоскости. Это только запутывает построение.

Условие не отсылать к пятому параграфу равносильно просьбе изложить моё доказательство не излагая его. Т.е. это условие бессмысленно. Другое дело, что я могу пояснить доказательство §5, которое и доказывает мою аксиому уже как теорему теории множеств, и в частности доказывает существование указанной Вами линии.

Поясняю некоторые моменты, относительно вопроса "зачем". Трёхмерное пространство используется просто в силу специфики доказательства. Т.е. я нашёл именно такое доказательство, а не иное. На самом деле доказательство простое. Дело в том, что надо устремить к своим пределам, вообще говоря, несчётное количество линий, заодно, в некотором смысле заранее, обеспечив существование линии $k$. Для этого поступаем так: Рассматриваем несчётное количество линий $a_{\lambda}$ и $b_{\lambda}$. Первая трансфинитная последовательность линий строго возрастает, вторая - строго убывает в порядке на линиях. Каждая линия первой последовательности заканчивается левее каждой линии второй последовательности. В сечении, определённом этими последовательностями, должна находиться искомая линия $k$. Если считать, что все линии второй последовательности равны между собой, то выполняется требуемый Someone случай. Растягиваем сектор $D$ классической деформацией-отображением $\Omega_{\nu}$ так, чтобы концы деформированных линий $a_{\lambda}$ и $b_{\lambda}$, т.е. концы линий $\Omega_{\nu}a_{\lambda}$ и $\Omega_{\nu}b_{\lambda}$ при $\lambda < \nu$ различались на дуге $C$. Концы остальных линий, пусть совпадают в точке $Z$. Далее: устремляем к растянутому сектору $D$, т.е. к сектору $\Omega_{\nu}D$ непрерывную плёнку. Точнее - некоторый дубликат сектора, обозначаемый $D_h$. На этом дубликате, независимо друг от друга пусть непрерывно движутся линии $a'_{\lambda}$ и $b'_{\lambda}$ так, чтобы линии $\Omega_{\nu}a'_{\lambda}$ и $\Omega_{\nu}b'_{\lambda}$, каждая по своему индивидуальному закону, стремились к линиям $\Omega_{\nu}a_{\lambda}$ и $\Omega_{\nu}b_{\lambda}$ соответственно. Это при всех $\lambda < \nu$. При этом, говорится, чтобы сократить обозначения, что линии $a'_{\lambda}$ и $b'_{\lambda}$ стремятся к линиям $a_{\lambda}$ и $b_{\lambda}$ с $\nu$-ой точки зрения. Далее, всё новые и новые линии, движущиеся по дубликату можно рисовать на этом дубликате так, что они будут сходиться к своим предельным положениям с каждой точки зрения, когда $\nu$ увеличивается неограниченно, пробегая по всем счётным ординалам. Область $E_h$ определяется такой, что со всех точек зрения она сжимается в геометрическую точку $Z$. Если рассматривать ситуацию в качестве наблюдателя, который считает себя покоищимся на дубликате, и если рассматривать ситуацию со всех точек зрения (или эквивалентная формулировка: в пространстве-произведении), то происходит следующее: линии $a'_{\lambda}$ и $b'_{\lambda}$ уже при всевозможных $\lambda < \omega_1$ непрерывно движутся по дубликату (кстати так же рассматриваемому с разных точек зрения) и в конце пути, в момент времени = 1, оказываются распределёнными по своим "стационарным местам". Геометрическая точка, перемещающаяся всегда в этом процессе внутри области $E_h$, тогда прочерчивает по дубликату искомую линию $k$. Точнее, $k$ строится как предел движения так же некоторых линий, как предел движения линий, движущихся по дубликату так, чтобы всегда совпадать с некими лучами, указанными мною в §5.

Someone в сообщении #234468 писал(а):

Инт в сообщении #234315 писал(а):

Ну значит, полетели результаты Хехлера, неверны.

Не волнуйтесь, ничего с ними не случится.

Уже случилось.

Someone в сообщении #234468 писал(а):

Да, они, согласно Вашему утверждению, являются обычными отображениями. Однако они не построены. И именно в этом смысле не определены.

Определены, не означает предъявлена конкретная деформация. Главное, что трансфинитная последовательность деформаций существует.

Someone в сообщении #234468 писал(а):

[

Инт в сообщении #234315 писал(а):

Затем, я указываю трансформацию $\Omega$, которая является интуиционистским пределом для $\Omega_{\nu}$. Про этот предел я пояснял ещё раньше, что он не может рассматриваться как обычный предел для классических деформаций, т.е. я отмечал, что такой предел не существует как отображение евклидовой плоскости в себя.

Зачем говорить о пределе, если он не существует? И что такое "интуиционистский предел"? Где его определение?

А это только для пояснения и наглядности. Очевидно, что можно раздвигать концы линий один за другим так, что интуитивный предел в состоянии сектора существует, причём этот сектор не сомнётся, как вы указываете. Его состояние будет только обозначать, что замыкание сектора не отобразимо разнозначным непрерывным отображением на евклидову плоскость. Но мало того, я уже указывал, что такой предел существует как положение сектора в бесконечномерном пространстве.

Someone в сообщении #234468 писал(а):

Инт в сообщении #234315 писал(а):

С другой стороны, он содержательно оправдан своей очевидностью, и это есть основание его рассматривать, что есть некоторая содержательная трактовка.

Ссылки на очевидность в нашей команде доказательством не считаются.

Вы привели цитату не полностью. Т.е. это прямое умышленное передёргивание того, что я сказал. А я говорил, там, что очевидность ещё не является доказательством, но является основанием к тому, чтобы рассматривать некоторое математическое положение хотя бы как аксиому. А доказательства окончательно приведены в §5.

Someone в сообщении #234468 писал(а):

Инт писал(а):

Аксиома I. Существует трансформация $\Omega$, проводимая вдоль дуг $r=const<1$ над областью $D$, в результате которой, концы каждых двух линий $l$ и $m$, взятых в множестве $HQ$, разводятся на дуге $C$. При этом, если $l-<m$, то после трансформации (деформации) оказывается: $\text{деф}l-<\text{деф}m$ и $L<M$ ($L$ - конец линии $l$, $M$ - конец линии $m$); трансформированная область $D$ оказывается гомеоморфной открытой евклидовой области.

Доказательство у Вас, разумеется, отсутствует. Построить деформацию, "разводящую" конечное множество линий, несложно. Повозившись, можно справиться и со счётным множеством. При "доказательстве" Теоремы 7 Вы пытаетесь справиться с множеством мощности $\aleph_1$, вполне упорядоченным отношением $-<$. При доказательстве "Аксиомы" I Вы должны иметь дело с множеством мощности $\mathfrak c=2^{\aleph_0}$, причём, Вы хотите доказать, что $\mathfrak c>\aleph_1$; кроме того, это множество не является вполне упорядоченным. Более того, оно является плотным, то есть, между любыми двумя его элементами имеются другие его элементы (в количестве $\mathfrak c$). Вам же нужно построить "деформацию", "разводящую" все линии. Обратите внимание на следующую проблему: если Вы "разводите" некоторое множество линий, не совпадающее со всем $HQ$, то никто не гарантирует, что линии из $HQ$, расположенные между "разводимыми" линиями, могут превратиться в линии, не имеющие определённых "концов" на дуге $C$.

Во первых, можно расматривать цитированную Вами аксиому как аксиому. Во вторых, указанную деформацию, состояние сектора можно выразить в канонической теории множеств как состояние в пространстве произведении. Именно, прозведём разведение концов какой-нибудь пары линий. Выстроим множество таких классических деформаций: проиведём разведение концов для каждой такой пары как классическую деформацию. Т.е. в результате каждой такой деформации будут разведены концы конкретной пары, другие пары не затрагиваем, если это не необходимо. Затем делаем такой трюк: Рассматриваем каждое состояние сектора, полученное в результате указанной классической деформации (зависящей от пары линий) как проекцию трансформированного (по аксиоме) сектора. Точки дуги, и точки сектора, по определению, будут различаться, если различаются хотя бы в одной проекции. Точки совпадают, если они совпадают в каждой проекции. Пробегаемся по всем парам множества $HQ$. Каждая пара представляет "одну размерность" бесконечномерного пространства. Вполнеупорядочения не надо. Вот и всё.

Someone в сообщении #234468 писал(а):

Вот на этом рисунке (это Ваш Рисунок 1), когда Вы "разводите" линии $l_{\lambda}$ и $m_{\lambda}$, линии $l_{\lambda+1}$ и $m_{\lambda+1}$ уже не обязаны стремиться к определённым точкам дуги $C$, а могут совершать бесконечно много колебаний влево-вправо между линиями $l_{\lambda}$ и $m_{\lambda}$, заметая часть дуги $L_{\lambda}M_{\lambda}$ (или даже её всю), поскольку при построении деформации $\Omega_{\lambda}$ информация о линиях $l_{\lambda+1}$ и $m_{\lambda+1}$ никак не используется. Если такая ситуация на каком-то шаге возникла, исправить её при дальнейшем построении будет нельзя. Эта проблема существует и в Вашем "доказательстве" Теоремы 7.

Не существует такой проблемы. Поскольку условия теоремы подразумевают сравнимость линий. То, что можно выстраивать трансфинитные последовательности сравнимых линий мы проверили с rishelie, не говоря уже о том, что теоремой теории множеств (никак не завязанной на континуум-гипотезу) является существование существенно более сложного множества HQ, все линии которого сравнимы.

Ответы остальным скоро дам.

-- Ср авг 12, 2009 14:48:13 --

Ответ Droog_Andrey и Виктор Викторов

Droog_Andrey в сообщении #234411 писал(а):

Но при этом континуум уже не является вполнеупорядочиваемым, несмотря на то, что на нём всё ещё действует "Ваша" аксиома выбора, т.е. теорема Цермело идёт лесом?

Ну да, типа того. См. все пояснения ниже.

Виктор Викторов в сообщении #234412 писал(а):

Теорема о вполне упорядочении каждого множества эквивалентна аксиоме выбора. Укажите, пожалуйста, где с Вашей точки зрения ошибки в доказательстве теоремы о вполне упорядочении.

Посмотрите http://dxdy.ru/post224743.html#p224743. Там высказаны некоторые общие соображения по этому поводу.

Вопрос о связи аксиомы выбора и вполнеупорядочении не считаю однозначно разрешённым. Во всяком случае, если такая однозначная связь есть, то ZFC, оказывается противоречивой, а не мои выводы. С другой стороны, можно жёстко встать на позиции ZFC и рассуждать в ней, предполагая, например, возможность вполнеупорядочения континуумов. Тогда выводим, из построения линии $k$, что существует вложение $2^{\aleph_1}$ в $2^{\aleph_0}$. Тогда, гипотеза Кантора оказывается очевидно неверной, это вне зависимости от установления или не установления равенства $2^{\aleph_1} = 2^{\aleph_0}$. Затем, аналогично, вкладываем $2^{\aleph_{\nu}}$ в $2^{\aleph_0}$ при каждом $\nu$. Таким образом, опровергается вполнеупорядочение континуума по любому порядковому типу вполнеупорядочения. Если не предполагать вполнеупорядочения, и если множество $P$ разнозначно вкладывается в множество $Q$, и наоборот $Q$ разнозначно вклыдывается в $P$, то можно установить равенство мощностей этих множеств не использя аксиому выбора. Я не отрицаю, что могут существоать ньюансы в этой схеме, свзязанные с огромной мощностью континуума. Например, что считать функцией в этих условиях? Однако, ясно, что содержательно равенство имеет место. В окончательной формальной теории можно использовать, если не всё в порядке оказывается с аксиомой выбора, какие-то более слабые аксиомы, но достаточные для вывода равенства. Например, предполагаем, что $\aleph_1$ элементов из континуума при помощи схемы выбора можно извлечь.

Да, ещё, думаю, что никакой формализацией здесь вопрос не решить, необходимо разбираться по существу.

-- Ср авг 12, 2009 14:54:40 --

Для AD. Вы когда-нибудь по существу будете возражать? Ошибку я нашёл правильно. Просто возражать было уже лень Вам, так как по Вашему стилю я понял, что Вы суть вопроса не разбираете. А если Вы хотите обсуждать Вашу тему, то и обсуждайте её в соответствующем разделе.

-- Ср авг 12, 2009 15:03:16 --

Someone в сообщении #234468 писал(а):

Если Вы предполагаете доказывать Аксиому I таким же способом, как Теорему 7, то Вам придётся этот злосчастный континуум вполне упорядочить. В результате возникнет внутреннее противоречие в Ваших рассуждениях.

Не надо континуум вполнеупорядочивать для этой аксиомы. Достаточно пространства-произведения. И даже не надо и такого пространства, если определить концы линий, как различающиеся условно. От этого, например, сечения в множестве линий останутся теми же.