Трисекция угла

[iig]

Вот у меня возникло подозрение, что, может быть, проблема трисекции имеет отношение к теореме Ферма для кубов - неразрешима циркулем и Галуа?
С другой стороны, на четверых вроде можно поделить без проблем.

P.S. Извиняюсь, это, кажется, больше относится к удвоению куба.

[Виктор Ширшов]

venco в сообщении #228557 писал(а):

Виктор Ширшов, трисекция угла - это задача точного деления угла на три равных части. Я думаю, с тем, что угол можно приблизительно поделить на три части, спорить никто не будет.

В идеале это так. Но если такое возможно.
Очевидно, и задача о квадратуре круга - задача о построении такого квадрата, площадь которого в точности соответствовала бы площади данного круга. Но разве, возможно построить этот самый квадрат, если площадь самого круга определяется при помощи трансцендентного числа "пи".

[venco]

Нет, квадратура круга, также как и трисекция угла, невозможна.

[Виктор Ширшов]

venco в сообщении #229221 писал(а):

Появился: 04/05/09
Сообщения: 181 Нет, квадратура круга, также как и трисекция угла, невозможна.

А я утверждаю, что невозможное возможно.
Пусть дан некоторый угол, который требуется разделить на три равные части.
1. Откладываем на обеих сторонах угла два отрезка одной длины, предварительно разделив одну из сторон на три равные части способом, указанным в topic21409.html. Обозначим стороны угла через ОА и ОВ
2.Построим на продолжении сторон угла, пересекающихся в точке О, другой угол со сторонами, равными 1/3 ОА или ОВ. Обозначим концы "нового" угла соответственно А₁ и В₁
3. Найдём точку, равноудалённую от А, В, А₁ и В₁, которую обозначим О₁
4. Проведём окружность радиуса О₁ А₁
Из подобия тругольников ОАВ и ОА₁В₁ приходим к выводу, что хорды А₁ В₁ и АВ относятся как 1/3. Соответственно и стягиваемые ими дуги А₁ В₁ и АВ относятся таким же образом.

[12d3]

Виктор Ширшов в сообщении #232162 писал(а):

хорды А₁ В₁ и АВ относятся как 1/3. Соответственно и стягиваемые ими дуги А₁ В₁ и АВ относятся таким же образом.

Вы честно думаете, что длина хорды пропорциональна дуге, которую она стягивает?

[Виктор Ширшов]

12d3 в сообщении #232164 писал(а):

Вы честно думаете, что длина хорды пропорциональна дуге, которую она стягивает?

Честное пионерское, думал именно так.Но Вы посеяли сомнение. Логически я прав, найдя такой путь решения трисекции угла, но исходный пункт доказательства, судя по-всему, неправильный. Наверное, оно лежит в подобии "секториальных" фигур,образованных окружностью и пересекающимися прямыми АА₁ и ВВ₁, и в отношении их площадей друг к другу.

[Профессор Снэйп]

Виктор Ширшов в сообщении #232175 писал(а):

12d3 в сообщении #232164 писал(а):

Вы честно думаете, что длина хорды пропорциональна дуге, которую она стягивает?

Честное пионерское, думал именно так.

То есть Вы всерьёз думали, что $\sin(\alpha x) = \alpha \sin x$?

Мне ещё в школе случайно попала в руки работа некоего триссектриста. У него как раз на этом всё было основано.

[Виктор Ширшов]

Профессор Снэйп в сообщении #232222 писал(а):

Виктор Ширшов в сообщении #232175 писал(а):
12d3 в сообщении #232164 писал(а):
Вы честно думаете, что длина хорды пропорциональна дуге, которую она стягивает?

Честное пионерское, думал именно так.

Теперь думаю по-другому.
1. От вершины данного угла на его сторонах отладываем равные отрезки.Обозначаем вершину угла через О, а концы его сторон А и В
2. Соединим А и В прямой и проведём биссектрису угла
3. На биссектриссе от точек А и В разводом циркуля, равным трём ОА, отметим точку, обозначив её О₁
4. Соединим точки А и В с О₁
5. Проведём две окружности радиусом ОА и О₁А.
Полученные секторы имеют общую хорду. Архимед нашёл, что площадь кругового сектора вычисляется по формуле S= πR^2α/360$. Из неё устанавливается: если радиус окружности увеличить в три раза площадь сектора увеличивается в 9 раз. У нас же площади секторов АОВ и АО₁В находятся в отношении 3/1 (основание: общая хорда). В приведённой формуле другая переменная величина - угол α. Из чего можно вывести, что угол АО₁В третья часть угла АОВ.
6. Наконец, на окружности радиусом О₁А от точек А и В откладываем ещё два отрезка, равные АВ.
Чем не трисекция?

[jetyb]

Виктор Ширшов в сообщении #232257 писал(а):

У нас же площади треугольников АО₁´В и АОВ (или секторов, если вокруг них описать окружности), находятся в отношении 3/1.

Отношение площадей секторов(кстати, не указан радиус окружностей) отсюда не следует.
Вы путаете формулу площади равнобедренного треугольника с углом при вершине $\alpha \quad\quad S=\frac{1}{2}R^2\sin\alpha $с формулой площади сектора S= πR^2α/360.

[Виктор Ширшов]

jetyb в сообщении #232261 писал(а):

Вы путаете формулу площади равнобедренного треугольника с углом при вершине

Где Вы нашли эту формулу? Ну да ладно. Тем более, что я отредактировал схему построения, где треугольников нет.

[jetyb]

Виктор Ширшов в сообщении #232257 писал(а):

У нас же площади секторов АОВ и АО₁В находятся в отношении 3/1 (основание: общая хорда).

Если два сектора имеют одинаковые хорды, то это не значит, что их площади находятся в каком-то отношении.

[Профессор Снэйп]

Виктор Ширшов в сообщении #232257 писал(а):

У нас же площади секторов АОВ и АО₁В находятся в отношении 3/1 (основание: общая хорда).

Это неверно. Наличие "общей хорды", как Вы выражаетесь, не является основанием к чему бы то ни было

У Вас есть два равнобедренных треугольника $AOB$ и $AO_1B$ с общим основанием $AB$, причём длина боковой стороны второго треугольника в три раза больше длины боковой стороны первого. Если обозначить $\angle AOB = \alpha$ и $\angle AO_1B = \beta$, то

$$ \frac{|AB|}{2} = |AO| \cdot \sin \frac{\alpha}{2} = |AO_1| \cdot \sin \frac{\beta}{2}, $$

откуда

$$ 1 : 3 = |AO| : |AO_1| = \sin \frac{\beta}{2} : \sin \frac{\alpha}{2}. $$

Вам же надо добиться соотношения

$$ 1 : 3 = \beta : \alpha = \frac{\beta}{2} : \frac{\alpha}{2}, $$

которого, очевидно, нет. Вы опять отношение синусов с отношением углов перепутали! Вот если бы синус углы был пропорционален углу, как Вы ошибочно полагали ранее, то тогда да, конечно, угол $\beta$ был бы в три раза меньше угла $\alpha$. Но Вы же вроде как сами согласились с ошибочностью мнения о пропорциональности синуса углу!

P. S. Не пытаётесь доказать недоказуемое. Лучше займитесь чем-нибудь полезным, или, на худой конец, приятным

[Виктор Ширшов]

Профессор Снэйп. Я прошу меня извинить, но пока Вы писали свой комментарий, я изменил схему построения трисекции, там треугольников нет.

[Профессор Снэйп]

Виктор Ширшов в сообщении #232280 писал(а):

Профессор Снэйп. Я прошу меня извинить, но пока Вы писали свой комментарий, я изменил схему построения трисекции, там треугольников нет.

Треугольники есть, независимо от Вашего желания Даже если Вы нигде не пишите слово "треугольник", а всего лишь упоминаете некоторые три точки в своём изложении, я могу рассмотреть треугольник с вершинами в этих трёх точках, и никто мне этого не запретит

[Виктор Ширшов]

Профессор Снэйп в сообщении #232278 писал(а):

Это неверно. Наличие "общей хорды", как Вы выражаетесь, не является основанием к чему бы то ни было

У Вас есть два равнобедренных треугольника и с общим основанием , причём длина боковой стороны второго треугольника в три раза больше длины боковой стороны первого.

Интересно знать, а как вы учитываете угловой масштаб. Ведь при утроении радиуса окружности, всегда равного 206265 секунд дуги, в три раза увеличивается только линейная мера, а угловая мера остаётся неизменной.Разве не очевидно, что центральные углы окружностей разного радиуса, стягиваемая хордой одной линейной меры, разные.