На выходные предлагаю "трисектристам"

подумать над таким решением (сам в эти дни буду отсутствовать).
1. Вокруг данного угла АОВ описываем окружность.
2. Проведём хорду АВ.
3. Продолжим одну из его сторон до пересечения с окружностью, например, сторону АО, обозначив точку пересечения А’
4. Разделим (по Фалесу) хорду АВ на три равных отрезка, обозначив один из них АА₁
5. Отложим от точки А’ хорду, равную АА₁, обозначив её конец через В’
6. Соединим точку В’ с точкой В, обозначив точку пересечения О₁
Получим два подобных сектора А’О₁В’ и АО₁В, площади которых относятся как 1/9, а дуга А’В’ равна 1/3 дуги АВ.

Извините, что не могу сделать соответствующий чертёж.