Применение Бинома Ньютона для док-ва теоремы Ферма.

[yk2ru]

fnake в сообщении #231646 писал(а):

Семен в сообщении #231306 писал(а):

Уравнение (1) однобременно не имеет решений для натуральных чисел $ (X, Y, Z_3), (X, Y, Z_4),…,(X, Y, Z_n) $.

Что сие значит?

Вот видите Семён, fnake не понимает, что же вами записано, что же вы хотите доказать. Так что лучше с самого начала начинать писать доказательство только для степени три. Как только обратили на это внимание, то и я вдруг понял, что реально там записана несуразица. А раньше по невнимательности пропускал это предложение.

[Семен]

fnake писал(а):

Что сие значит?

Это значит, что в уравнении (1), при n>=3, по крайней мере, одно из этих чисел не может быть натуральным числом.

[fnake]

Семен в сообщении #231723 писал(а):

fnake писал(а):

Что сие значит?

Это значит, что в уравнении (1), при n>=3, по крайней мере, одно из этих чисел не может быть натуральным числом.

Каких чисел? Для вас русский язык родной? Вы имели ввиду, что уравнение (1) не имеет решений в натуральных числах? Если да, то почему бы так и не написать. Если нет, то объясните, что вы имели ввиду.

[grisania]

Семен не поленитесь написать доказательство только для трех. После этого вам станет ясно в чем у вас прорыв при доказательстве общего случая. Также все выкладки значительно упростятся и народ форумный сможет читать. Поверьте, даже для тройки интересно новое элементарное доказательство. Я скоро изложу на форуме доказательство Леммы Эйлера, следуя работам Мачиса. Вы увидите, что доказательство этой леммы требует изобретательности, чтоб его сделать элементарным, но оно в пределах разумного. Дальнейшее доказательсво для трех уже так не очень трудно и было предложено самим Эйлером.
Но такое доказательство нельзя обобщить для общего случая. А если ваше доказательство можно обобщить на общий случай, то это прекрасно.

[Семен]

grisania писал(а):

Семен не поленитесь написать доказательство только для трех.

yk2ru писал(а):

Посоветую убрать в тексте всё то, что содержит в себе $ n $ и связанное со степенями более трёх.

Yбрал в тексте всё то, что содержит в себе $ n $ и связанное со степенями более трёх. Теперь прошу: "Дайте замечания по существу."

Применение Бинома Ньютона для доказательства теоремы Ферма.
Дано: $Z^2=X^2+Y^2 $, $Z_3^3=X^3+Y^3 $.
$Z=$\sqrt[]{X^2+Y^2}$ $ (1a),
$Z_3=$\sqrt[3]{X^3+Y^3}$ $ (1b).
Требуется доказать:
Уравнение (1b) одновременно не имеет решений для натуральных чисел $ (X, Y, Z_3) $.

§1. Для доказательства рассмотрим Множество
$ S=\{(X, Y) | X, Y \in\ N, (Y \le X) \}$ (2) .
Определим число $Z=$\sqrt[]{X^2+Y^2}$ $ (2а)
Множество S объединяет:
А. Системное Множество (СМ)
$\{(X, Y) | X, Y, Z \in\ N, (Y <X )\} $
В. Бессистемное Множество (БСМ)
$\{(X, Y) | X, Y \in\ N, Z \in\ J, (Y \le X)\} $,
Примечание: 1. При доказательстве можно принимать:
$ (X, Z_3) $ - натуральные числа, a $ Y $ -иррациональное число.
Oпределяем число $ M=(Z-X) $.
Отсюда: $ Z=(M+X) $. (3a)
Из (2a) и (3a): $ (M+X)=$\sqrt[]{X^2+Y^2}$ $. (4a)
Возведя левую и правую части (4a) в степень $ 2 $, получаем уравнение:
$ M^2+2*X*M-Y^2=0 $ (5a)
Если пара $ (X, Y) $ принадлежит системному множеству, то это уравнение должно иметь натуральное решение $ M $, которое должно быть делителем числа $ Y^2 $. Запишем его в виде $ M=Y/k $,
где $ k $ - рациональное число.
Если пара $ (X, Y) $ принадлежит бессистемному множеству,
то, предположив, что корень $ M $ уравнения (5a) иррационален, мы все равно запишем его в виде $ M=Y/k$, но число $ k $ уже иррационально.
Далее, мы рассмотрим уравнение
$Z_3= $\sqrt[3]{X^3+Y^3}$ $ (2b). Положим $ M_3=(Z_3-X) $. После возведения в куб, получаем:
$ M_3^3+3*X*M_3^2$+3*X^2*M_3-Y^3=0$ (5b)
Мы ищем рациональные корни уравнения (5b)
(мы намерены доказать, что такого корня, в действительности, нет)
Поскольку это уравнение с натуральными коэффициентами, то известно, что все рациональные корни являются натуральными. Кроме того, они содержатся среди делителей свободного члена уравнения. То есть $ M_3 $ должно быть делителем числа $ Y^3 $. Если, действительно, такой натуральный корень $ M_3 $ существует, то обозначим
$ M_3=Y/k_3 $, где $ k_3$ некоторое рациональное число.
A eсли, действительно, такой натуральный корень $ M_3 $ HE существует,( т.e., он иррационалeн), то все равно запишем его в виде $ M_3=Y/k_3$. Hо число $ k_3 $ будет уже иррационально.

Примечания:
В множестве S:
1. $ 0<M< Y $, $ 0<M_3< Y $.
2. Для выполнения условия $ Y \le X $, должнo быть:
$ 1/($\sqrt[]{2}$ - 1) \le k $, $ 1/($\sqrt[3]{2}$ - 1) \le k_3 $.
§2 Для $ (X, Y)\in\ S $, определим:
$ x=x(k)=k^2-1, y=y(k)=2*k $,
$ z=z(k)= $\sqrt[]{x^2+y^2}$ =k^2+1 $, (2.1)
где $ k $ определено в §1.
Будем называть пару $ x, y $ базой для пары $ X, Y $. В множестве S:
1. $ y \le x $.
2. $ 0<m_3< y/2 $.
3. Для выполнения условия $ y \le x $, должнo быть:
$ 1/($\sqrt[]{2}$ - 1) \le k $, $ 1/($\sqrt[3]{2}$ - 1) \le k_3 $.
Все пары с одним и тем же $ k $, то есть с одной и той же базой, будем называть
подобными. Bсе вместе они образуют БЛОК ПОДОБНЫХ пар, в котором и $ k $, $ k_3 $ остаются базовыми.
При заданном $ k $, множество элементов, составленных из базовoй пары $ (x, y) $, будем называть «множество базовый ряд (БР)» и обозначать через
$ E(k) $, множество $ E(k, 1)=\{x, y; z, z_3, m, m_3 \} $. Это множество (БР) состоит из элементов $ x, y, z, z_3, m_3 $, построенных по фиксированному $ k $, и из числa $ m=2 $, не зависящего от $ k $.


B БР: $z=$\sqrt[]{x^2+y^2}$ $, $z_3=$\sqrt[3]{x^3+y^3}$ $.
При заданных $ k $ и $ d $, множество элементов, составленных из подобных пар $ (X, Y) $, будем называть «множество подобный ряд (ПР)» и обозначать через $ L(k, d) $, множество $ L(k, d)=\{ X, Y, Z, Z_3, M, M_3 \} $, где все элёменты определены выше.
B ПР: $Z=$\sqrt[]{X^2+Y^2}$ $, $Z_3=$\sqrt[3]{X^3+Y^3}$ $.
Подмножество $ E(k) $ и подмножество $ L(k, d) $ – это
подмножества множества, которое будем называть «блок подобных рядов» (БПР)
Отметим, что число $ m=z-x $ равно 2 для любого $ k $, то есть для любой базы. $ X=x*d $, $ Y=y*d $, $ M=m*d $, $ M_3=m_3*d $, $ Z=z*d $, $ Z_3=z_3*d $.
$ M=Z-X $, $ M_3=Z_3-X, $, $ m_3=(z_3-x), m*k=m_3*k_3 $. $ d $ – действительное число.

Ниже приводится вариант доказательства при показателе степени
$ n=3 $.


§3. Дано: $ X $ - натуральное число, $ M_3=1 $, $ Z_3=X+1 $.
Требуется доказать, что в уравнении $ $ Z_3= \sqrt[3]{X^3+Y^3}$ $, $ (X, Y, Z_3) $ не могут быть одновременно натуральными числaми.

Доказательство: Раннее определено, что в СМ и БСМ:
$ E(k, 1)=\{x=k^2-1, y=2*k, z=k^2+1, m=2, k, z_3, m_3, k_3 \} $. Для определения элементов в $ L(k, d) $, включенного, как и $ E(k, 1) $ , в один и тот же БПР, достаточно умножить элементы (кроме $ k, k_3 $ ) на
$ d $ - коэффициент подобного ряда.. Так в
$ L(k, 0.5)=\{X=0.5*x, Y=0.5*y, Z=0.5*y, M=m*0.5=1, k, Z_3=0.5*z_3, M=0.5*m_3, k_3 \} $.
B $ L(k, 0.5) $ : $ M_3<M=1 $. При этом,
$ M_3 $ - иррациональное число.
В СМ, при $ d $ - натуральное число, если $ k $ - нечетное число, то, при $ M=1 $, $ (X, Y, Z) $ - натуральные числа. Если $ k $ - четное число, то, при
$ M=1 $, $ (X, Z) $ - дробные числа, оканчивающиеся на $ 0.5 $, а $ Y $ - натуральное число.
Пpи $ d, k $ - рациональных числах, $ (M, X, Y, Z ) $ будут одновременно рациональными числами. Поэтому места для $ M_3 $ - рациональное число, в СМ - НЕТ.
Поэтому в СМ, при одновременно натуральных числах $ ( X, Y, Z) $, $ ( (Z_3=(X+M_3)) $ - иррациональное число.
Теперь рассмотрим, что происходит в БСМ с сочетанием $ (X, Y, Z_3) $, при $ X $ - натуральное число,
$ M_3=1 $, $ Z_3=(X+M_3)=(X+1) $ . Т.к. $ Z_3^3=X^3+Y^3 $, то $ Y^3=Z_3^3-X^3=(X+1)^3-X^3=(3*X^2+3*X+1) $. Тогда: $ Y=$\sqrt[3]{3*X^2+3*X+1}$ $. Эйлер доказал, что
$ Y=$\sqrt[3]{3*X^2+3*X+1}$ $ - иррациональное число. Поэтому при $ X $ - натуральное число,
$ M_3=1 $, $ Z_3=(X+1) $:
$ Y $ - иррациональное число.
Значит, при $ M_3=1 $, в уравнении $ Z_3=$\sqrt[3]{X^3+Y^3}$ $, $ (X, Y, Z_3) $, не могут быть одновременно натуральными числами.
B БСМ, при $ M_3=2, M_3=3, M_3=4 $ и т.д., вce элементы, за исключением $ k_3 $, увеличатся во столько раз, во сколько раз принятое $ M_3 $ больше, чем $ (M_3=1) $.
При этом: увеличенные $ X,Z_3 $ останутся натуральными числами, а увеличенное $ Y $ останeтся иррациональным числом. При этом: $ k_3=Y/M_3 $ будет иррациональным числом.
Значит, и B БСМ, в любых случаях, $ (X,Y,Z_3) $ не могут быть одновременно натуральными числами.

[yk2ru]

Семен в сообщении #232181 писал(а):

grisania писал(а):

Семен не поленитесь написать доказательство только для трех.

yk2ru писал(а):

Посоветую убрать в тексте всё то, что содержит в себе $ n $ и связанное со степенями более трёх.

Yбрал в тексте всё то, что содержит в себе $ n $ и связанное со степенями более трёх. Теперь прошу: "Дайте замечания по существу."

Применение Бинома Ньютона для доказательства теоремы Ферма.
Дано: $Z^2=X^2+Y^2 $, $Z_3^3=X^3+Y^3 $.
$Z=$\sqrt[]{X^2+Y^2}$ $ (1a),
$Z_3=$\sqrt[3]{X^3+Y^3}$ $ (1b).

Уж извините, но пока дам просто замечание.
В уравнениях со второй и третьей степенями числа $X, Y$ одинаковые или нет? Если разные, то нужно наверное это различие обозначить, например индексом снизу или ещё как.

[TOTAL]

yk2ru в сообщении #232208 писал(а):

Уж извините, но пока дам просто замечание.

Рано делать замечания. Сначала спросите у автора, знает ли он формулировку теоремы.

[fnake]

Семен в сообщении #232181 писал(а):

Уравнение (1b) одновременно не имеет решений для натуральных чисел $ (X, Y, Z_3) $.

А неодновременно может иметь решение? Объясните все таки, что это значит.

[yk2ru]

TOTAL в сообщении #232209 писал(а):

yk2ru в сообщении #232208 писал(а):

Уж извините, но пока дам просто замечание.

Рано делать замечания. Сначала спросите у автора, знает ли он формулировку теоремы.

Будем считать, что спросили. Семён, дайте формулировку теоремы Ферма для степени три. Напишите "Теорема ...", и далее её сформулируйте.

[Семен]

yk2ru писал(а):

В уравнениях со второй и третьей степенями числа
$ X, Y $одинаковые или нет?

Oдинаковые.

[sceptic]

Семен в сообщении #232181 писал(а):

Применение Бинома Ньютона для доказательства теоремы Ферма.
Дано: $Z^2=X^2+Y^2 $, $Z_3^3=X^3+Y^3 $.
$Z=$\sqrt[]{X^2+Y^2}$ $ (1a),
$Z_3=$\sqrt[3]{X^3+Y^3}$ $ (1b).
Требуется доказать:
Уравнение (1b) одновременно не имеет решений для натуральных чисел $ (X, Y, Z_3) $.

У меня тоже создалось впечатление, что Вы, Семен, не поняли формулировку ВТФ. Что Вы в своей постановке задачи нагородили?
ВТФ для случая $n=3$ формулируется так:
Уравнение $X^3+Y^3=Z^3$ не имеет решений в целых числах, одновременно отличных от нуля.
С какой целью Вы еще дополнительно добавляете условие $Z^2=X^2+Y^2 $?

[grisania]

sceptic в сообщении #232537 писал(а):

Семен в сообщении #232181 писал(а):

Применение Бинома Ньютона для доказательства теоремы Ферма.
Дано: $Z^2=X^2+Y^2 $, $Z_3^3=X^3+Y^3 $.
$Z=$\sqrt[]{X^2+Y^2}$ $ (1a),
$Z_3=$\sqrt[3]{X^3+Y^3}$ $ (1b).
Требуется доказать:
Уравнение (1b) одновременно не имеет решений для натуральных чисел $ (X, Y, Z_3) $.

У меня тоже создалось впечатление, что Вы, Семен, не поняли формулировку ВТФ. Что Вы в своей постановке задачи нагородили?
ВТФ для случая $n=3$ формулируется так:
Уравнение $X^3+Y^3=Z^3$ не имеет решений в целых числах, одновременно отличных от нуля.
С какой целью Вы еще дополнительно добавляете условие $Z^2=X^2+Y^2 $?

Действительно, что означает фраза "Уравнение (1b) одновременно не имеет решений для натуральных чисел"?

[Семен]

yk2ru писал(а):

Семён, дайте формулировку теоремы Ферма для степени три.

sceptic писал(а):

У меня тоже создалось впечатление, что Вы, Семен, не поняли формулировку ВТФ. Что Вы в своей постановке задачи нагородили?
ВТФ для случая $n=3 $ формулируется так:
Уравнение $Z_3^3=X^3+Y^3 $ не имеет решений в целых числах, одновременно отличных от нуля.
С какой целью Вы еще дополнительно добавляете условие
$Z^2=X^2+Y^2 $?

На благожелательные и четко поставленные вопросы приятно отвечать.
"ТЕОРЕМА ФЕРМА, утверждение теории чисел, согласно к-рому уравнение $Z^n=X^n+Y^n $ при $ n>2 $ не имеет целых положительных решений." (стр. 1400)
Москва"Советската энциклопедия" 1983г.
Я полагаю,что моя формулировкa не противоречит этой фразе.
Нуль не является натуральным числoм.

sceptic писал(а):

С какой целью Вы еще дополнительно добавляете условие
$Z^2=X^2+Y^2 $?

Я использую $Z^2=X^2+Y^2 $ в доказательстве.

grisania писал(а):

Действительно, что означает фраза "Уравнение (1b) одновременно не имеет решений для натуральных чисел"?

Это означает, что в уравнении $Z_3^3=X^3+Y^3 $, все три числа $Z_3, X, Y $ не могут быть все вместе натуральными числами. По крайней мере, одно из них будет иррационально.

[yk2ru]

Семён, записали бы, что требуется доказать, что
уравнение $X^3+Y^3=Z^3$ не имеет решений в натуральных числах.
Вполне можно "одновременно" не употреблять, явно лишнее это. И зачем условие через корень записывать, если потом всё равно возводите корень в степень?

[TOTAL]

Семен в сообщении #232604 писал(а):

sceptic писал(а):

С какой целью Вы еще дополнительно добавляете условие
$Z^2=X^2+Y^2 $?

Я использую $Z^2=X^2+Y^2 $ в доказательстве.

Автор подтвердил, что не понимает формулировки теоремы Ферма.
Все еще есть желающие обсуждать "доказательство"?