0,(9)=1

[Виктор Викторов]

arqady в сообщении #229836 писал(а):

Понимаю, что это жуткий оффтоп, но уж очень хочется...
shwedka, может быть имеется на русском "Доказательства из книги" в электронном варианте? Спасибо!

Уважаемый arqady!
Во-первых, на этом форуме принято выделять имена жирным шрифтом. Во-вторых, вставьте название Вашей книги в Google. Я мог бы послать ссылку, но учитесь работать с компьютером сами. Обе книги (и Френкель и "Доказательства из книги") добываются из сети за две минуты.

[shwedka]

arqady
У shwedkи есть всë. См. ЛС.

[ewert]

http://depositfiles.com/files/4132582

[AGu]

ewert в сообщении #229839 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #229828 писал(а):

смотрите на «2/3» и «4/6» как на два различных имени одного и того же.

Не хочу. Меня интересуют объекты, а не их имена.

Ау, модераторы, у нас опять активизировался клон «ewert»!
Мы ведь знаем, что настоящий ewert придерживается
прямо противоположного (sic!) мнения:

ewert в сообщении #229488 писал(а):

А вот как раз и нет. Дроби 2/3 и 4/6 изначально вовсе не равны, а эквивалентны. И рациональное число -- это вовсе не дробь, а класс эквивалентных дробей. Это -- логический пируэт. А вот следующий пируэт -- уже не логический, а чисто семантический: используется общепринятая договорённость, согласно которой каждый из классов, участвующих в данном выражении, обозначается каким-либо его представителем. Это -- всего лишь сокращение обозначений, вполне безобидное, т.к. не влечёт за собой никаких противоречий.

[Pripyat]

Я не так хорошо (верней, так нехорошо) знаю аксиоматику рациональных чисел, что, извиняюсь, не могу понять связи этой дискуссии с равенством 0,(9)=1.

[AGu]

Pripyat в сообщении #229917 писал(а):

Я не так хорошо (верней, так нехорошо) знаю аксиоматику рациональных чисел, что, извиняюсь, не могу понять связи этой дискуссии с равенством 0,(9)=1.

Эта связь была утеряна незадолго (впрочем, даже задолго) до того, как созданная Вами тема "0,(9)=1" была перенесена (видимо, модератором) в раздел "Дискуссионные темы," вынужденно сохранив свое название.

[LetsGOX]

Виктор Викторов в сообщении #229828 писал(а):

Прочитаете, хотя бы указанные страницы, а потом мы это обсудим

Да я попробовал понять сию чудо, но часть как была понятна так и осталась понятной, а то что было непонятно - так и осталось непонятным
* Множество $Z_0^*$ можно представить как множество всех неотрицательных чисел (* Свойства указанных явно членов $Z_0$ явно не выразимы в языке теории)
* Члены $Z_0$ фактически суть конечные порядковые числа в теории Фон неймона (А что это вообще за теория?)
Ладно что $Z_0$ - бесконечное упорядоченное множество, и оно сопоставимо с натуральными числами, но кто придумал конкретное отожествление

PS Спасибо за книжку и ссылку

[Виктор Викторов]

LetsGOX в сообщении #229782 писал(а):

В какойто из аксиом ZFC, утверджается существование пустого $\varnothing$ и бесконечного множества, причем бесконечное множество чтото типа $\varnothing, \ \ \varnothing \cup \{\varnothing\}, \ \ \varnothing \cup \{\varnothing\} \cup \{\varnothing \cup \{\varnothing\}\} \ ... $ или както так
А потом я слышал что сие множество, является множество натуральных чисел !!!
Как это моет быть вообще связано?

LetsGOX в сообщении #229939 писал(а):

Да я попробовал понять сию чудо, но часть как была понятна так и осталась понятной, а то что было непонятно - так и осталось непонятным
* Множество $Z_0^*$ можно представить как множество всех неотрицательных чисел (* Свойства указанных явно членов $Z_0$ явно не выразимы в языке теории)
* Члены $Z_0$ фактически суть конечные порядковые числа в теории Фон неймона (А что это вообще за теория?)
Ладно что $Z_0$ - бесконечное упорядоченное множество, и оно сопоставимо с натуральными числами, но кто придумал конкретное отожествление

Итак, книга Френкеля «Основания теории множеств» страница 108.
Аксиома бесконечности VII*. Существует, по крайней мере, одно множество $Z^*$, обладающее следующими свойствами:
$a^*$) $O\in Z^*$,
$b^*$) если $x\in Z^*$, то также $(x\cup \{x\})\in Z^*$.

Во-первых, следуя примечанию 1 на странице 106, не будем предполагать, что $O$ пустое множество, а выведём это из аксиом. Рассмотрим для множества $Z^*$ предикат $’x\ne x’$. По аксиоме выделения такое множество существует, а членов оно не содержит. Оно единственно на основании аксиомы (ZFC) экстенсиональности. [Два множества, содержащие одни и те же члены, равны]. Если предположить, что пустых множеств два, то каждое из них подмножество другого.
Теперь пусть $\varnothing \in Z^*$, но тогда по аксиоме VII* и $(\varnothing \cup \{\varnothing \})\in Z^*$. Но $\varnothing \cup \{\varnothing \} = \{\varnothing \}$ по определению дизъюнкции. Теперь повторим тот же самое для множества $\{\varnothing \}$. Проделав те же шаги счётное множество раз мы убедимся, что множество $Z^*$ содержит нужные нам члены. Вторая половина страницы 108 и страница 109 описывают как из этого множества выделить множество, содержащее только нужные нам члены. И уже его «можно представить как множество всех неотрицательных чисел». Если где наврал, то жду упрёков. А кто придумал конкретное отожествление я не знаю.

[AGu]

Виктор Викторов в сообщении #230050 писал(а):

Если где наврал, то жду упрёков.

Да, у меня есть некий «упрек».

Виктор Викторов писал(а):

Аксиома бесконечности VII*. Существует, по крайней мере, одно множество $Z^*$, обладающее следующими свойствами:
$a^*$) $O\in Z^*$,
$b^*$) если $x\in Z^*$, то также $(x\cup \{x\})\in Z^*$.

Во-первых, следуя примечанию 1 на странице 106, не будем предполагать, что $O$ пустое множество, а выведём это из аксиом.

Откровенно говоря, я не уловил связи между предположением $O=\varnothing$ и упомянутым примечанием (сноской?). Может, у нас разные издания? (У меня -- 1966 г.) Но мой «упрек» совсем не в этом.

Беда в том, что я не понимаю приведенное Вами доказательство и, вроде бы, владею контрпримером к соответствующему утверждению: если $Z^*$ -- множество, обладающее свойствами $a^*)$ и $b^*)$ при $O=\varnothing$, то множество $Z_1^*:=Z^*\backslash\{\varnothing\}$ обладает свойствами $a^*)$ и $b^*)$ при $O=\{\varnothing\}\ne\varnothing$.

Виктор Викторов писал(а):

Рассмотрим предикат «$x$ не член множества $Z^*$». По аксиоме выделения такое множество существует, а членов оно не содержит.

Вот этого я и не понял. Как именно предполагается использовать предикат $\neg(x\in Z^*)$? О каком именно множестве (оказывающемся в последствии пустым) здесь идет речь? И почему это множество равно $O$?

[epros]

ewert в сообщении #229721 писал(а):

Речь шла о ситуации, когда "равенство" функций в обычном смысле и их "эквивалентность" употребляются в одинаковых контекстах, т.е., говоря формально -- стоят между кавычками одного и того же уровня.

Что такое равенство функций "в обычном смысле" и чем оно отличается от "эквивалентности"?

Я обычно, когда говорю о "равенстве функций", имею в виду не совпадение имён (обозначений), и не совпадение формул (алгоритмов), а именно совпадение значений для всех совпадающих аргументов. Что, разве "эквивалентность" это что-то другое?

ewert в сообщении #229721 писал(а):

epros в сообщении #229716 писал(а):

Зачем? Нормальные люди при записи рациональных чисел используют дополнительные значки (типа "/" или горизонтальной черты). Наверное, они не математики, им не приходит в голову создавать себе искусственные синтаксические ограничения.

Хорошо. Рассмотрим операцию $a\heartsuit b$. Является ли она, ну например, коммутативной?

Очевидно, это должно определяться аксиоматикой. В теории рациональных чисел, например, соответствующая аксиоматика для соответствующих операций есть.

ewert в сообщении #229721 писал(а):

epros в сообщении #229716 писал(а):

А если это же потребуется от пока что мало знающего студента, то как он сможет научиться у Вас этой аккуратности, если Вы не хотите раскрывать перед ним её явное определение?

И впрямь. Как сможет передвигаться сороканожка, пока не задумается -- а как, собственно, она это делает?...

Сороканожка, которая не умеет передвигаться, никогда этому и не научится, если ей не объяснить как. Это уже потом, после выработки автоматизма, задумываться становится вредно.

-- Вс июл 19, 2009 20:51:27 --

Pripyat в сообщении #229774 писал(а):

Надо бы эквивалентные отношения и дроби 2/3=4/6 как то стянуть к нашему равенству, которое в отличие от 2/3=4/6 не кажется столь очевидным. (под очевидностью я имею ввиду очевидность простого школьника или студента, который всю жизнь считал что 2/3=4/6 абсолютно идентичны и тонкость аксиоматики рациональных чисел ему неизвестна)

Этот вопрос столь же прост (или, если хотите, столь же сложен) как и вопрос равенства 2/3=4/6. Две записи: 0.(9) и 1.(0) обозначают бесконечные десятичные дроби, т.е. бесконечные последовательности. В смысле обозначений они, конечно же "не равны", но они равны в смысле определения действительного числа. Дело в том, что действительные числа (в разных записях) равны тогда и только тогда, когда равны пределы соответствующих последовательностей (а точнее, когда предел разности равен нулю).

Найдите какие-нибудь различия со случаем равенства 2/3=4/6.

[Виктор Викторов]

AGu в сообщении #230059 писал(а):

Может, у нас разные издания? (У меня -- 1966 г.)

У нас обоих одно и то же издание.

AGu в сообщении #230059 писал(а):

Виктор Викторов писал(а):

Рассмотрим предикат «$x$ не член множества $Z^*$». По аксиоме выделения такое множество существует, а членов оно не содержит.

Вот этого я и не понял. Как именно предполагается использовать предикат $\neg(x\in Z^*)$? О каком именно множестве (оказывающемся в последствии пустым) здесь идет речь?

Теорема 1 на странице 60. «Возьмём в качестве $\mathcal P(x)$ в аксиоме V противоречивое условие для $x$, например $’x\ne x’$.»
Я проврался. Именно этот предикат должен идти, а не «$x$ не член множества $Z^*$». Сейчас исправлю.

AGu в сообщении #230059 писал(а):

И почему это множество равно $O$?

Пустое множество не равно $O$, а я на основании аксиомы V, делаю вывод, что существует множество $Z^*$ с членом $\varnothing$. Можно это делать или нельзя? (Как Вы понимаете это отнюдь не риторический вопрос).

AGu в сообщении #230059 писал(а):

Откровенно говоря, я не уловил связи между предположением $O=\varnothing$ и упомянутым примечанием (сноской?).

На сколько я понял, в сноске 1 на странице 106 Есенин-Вольпин подвергает сомнению существование множеств только на основании первых шести аксиом. Вот я и решил уже на основании аксиомы бесконечности доказать существование пустого множества, т. к. какие-то множества по аксиоме бесконечности уже существуют.

AGu в сообщении #230059 писал(а):

Беда в том, что я не понимаю приведенное Вами доказательство и, вроде бы, владею контрпримером к соответствующему утверждению: если $Z^*$ -- множество, обладающее свойствами $a^*)$ и $b^*)$ при $O=\varnothing$, то множество $Z_1^*:=Z^*\backslash\{\varnothing\}$ обладает свойствами $a^*)$ и $b^*)$ при $O=\{\varnothing\}\ne\varnothing$.

Разве не верно, что на основании семи аксиом можно требовать существование множества $Z^*$ такого, что $\varnothing\in Z^*$ и $(\varnothing \cup \{\varnothing \})\in Z^*$?

[AGu]

Виктор Викторов в сообщении #230081 писал(а):

Пустое множество не равно $O$, а я на основании аксиомы V, делаю вывод, что существует множество $Z^*$ с членом $\varnothing$. Можно это делать или нельзя? (Как Вы понимаете это отнюдь не риторический вопрос).

Можно. Недопонимание устранено, спасибо. Просто, прочитав это:

Виктор Викторов в сообщении #230050 писал(а):

Существует, по крайней мере, одно множество $Z^*$, обладающее следующими свойствами:
$a^*$) $O\in Z^*$,
$b^*$) если $x\in Z^*$, то также $(x\cup \{x\})\in Z^*$.

Во-первых, следуя примечанию 1 на странице 106, не будем предполагать, что $O$ пустое множество, а выведём это из аксиом.

я почему-то подумал, что Вы собираетесь показать, будто из $a^*)$ и $b^*)$ следует $O=\varnothing$, и даже не усомнился в этом. Теперь вижу, что был неправ.

Виктор Викторов писал(а):

На сколько я понял, в сноске 1 на странице 106 Есенин-Вольпин подвергает сомнению существование множеств только на основании первых шести аксиом. Вот я и решил уже на основании аксиомы бесконечности доказать существование пустого множества, т. к. какие-то множества по аксиоме бесконечности уже существуют.

Понял, спасибо.

Виктор Викторов писал(а):

Разве не верно, что на основании семи аксиом можно требовать существование множества $Z^*$ такого, что $\varnothing\in Z^*$ и $(\varnothing \cup \{\varnothing \})\in Z^*$?

Конечно, верно. Теперь я все понимаю.

[ewert]

epros в сообщении #230069 писал(а):

Я обычно, когда говорю о "равенстве функций", имею в виду не совпадение имён (обозначений), и не совпадение формул (алгоритмов), а именно совпадение значений для всех совпадающих аргументов. Что, разве "эквивалентность" это что-то другое?

Конечно. Эквивалентность -- это равенство с точностью до множества меры ноль.

epros в сообщении #230069 писал(а):

Очевидно, это должно определяться аксиоматикой.

Очевидно, что не обязательно. Речь шла о построении модели рациональных чисел в ситуации, когда никакой аксиоматики на этот счёт ещё нет.

[epros]

ewert в сообщении #230141 писал(а):

epros в сообщении #230069 писал(а):

Я обычно, когда говорю о "равенстве функций", имею в виду не совпадение имён (обозначений), и не совпадение формул (алгоритмов), а именно совпадение значений для всех совпадающих аргументов. Что, разве "эквивалентность" это что-то другое?

Конечно. Эквивалентность -- это равенство с точностью до множества меры ноль.

А можно сформулировать это на нормальном языке и желательно без изложения теории меры в полном объёме?
Кстати, такая "эквивалентность функций" имеет какое-то отношение к обсуждаемому вопросу: равенству (или эквивалентности) действительных чисел?

ewert в сообщении #230141 писал(а):

epros в сообщении #230069 писал(а):

Очевидно, это должно определяться аксиоматикой.

Очевидно, что не обязательно. Речь шла о построении модели рациональных чисел в ситуации, когда никакой аксиоматики на этот счёт ещё нет.

Я не понимаю что такое "модель рациональных чисел" когда аксиоматики на их счёт нет.

[ewert]

epros в сообщении #230158 писал(а):

А можно сформулировать это на нормальном языке и желательно без изложения теории меры в полном объёме?

Можно. Две функции называются эквивалентными, если множество точек, в которых их значения различаются, имеет внешнюю меру ноль. Теории меры в полном объёме для этого не требуется.
Другой вопрос, что для того, чтобы это определение оказалось практически полезным -- нужна всё-таки полная теория меры.

epros в сообщении #230158 писал(а):

Кстати, такая "эквивалентность функций" имеет какое-то отношение к обсуждаемому вопросу: равенству (или эквивалентности) действительных чисел?

Имеет. Правда, очень слабое. "Отождествление" дробей вида 0,(9) и 1,(0) при желании тоже можно рассматривать как результат факторизации.

epros в сообщении #230158 писал(а):

Я не понимаю что такое "модель рациональных чисел" когда аксиоматики на их счёт нет.

А любая модель вообще строится вне рамок той аксиоматики, для которой она -- модель.