0,(9)=1

[ewert]

Pripyat в сообщении #228350 писал(а):

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%B1%D1%81%D1%83%D0%B6%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5:0,%289%29

Там совершенно безобразное форматирование, и понять, кто что говорит, а кто отвечает, и на что именно отвечает -- нет решительно никакой возможности.

Судя по контексту, это вроде бы Ваш оппонент:

Цитата:

Видимо я ошибочно полагал, что современная цивилизация "доросла" до точных наук, в которых нету места абстракциям, безконечностям и всяким "удобным" штукам

Ну что тут можно сказать, кроме как ему посочувствовать...

[Pripyat]

Да, это мой оппонент. Извините, не до форматирования было.

[EtCetera]

М-да, занятное обсуждение на этой странице... Мне больше понравилась вот такая фраза (авторская орфография сохранена):

Цитата:

Я негде не пишу Безконечных чисел, Я твердо утверждаю: Безконечных Чисел, Безконечности - несуществует, и неможет существовать!

Хотелось бы видеть эти слова высеченными в камне в виде эпитафии всем невеждам и неучам. Или, на худой конец (если не быть столь кровожадным), просто в виде памятной надписи.
Pripyat, с этими людьми общение - одна сплошная радость: такое количество "открытий" в единицу времени, как они, не выдавали в свои лучшие годы Эйнштейн и Ферми... А если серьезно, ситуация очень печальна. Ведь люди, подобные Вашему оппоненту, запросто могут оказаться (и с печальным постоянством оказываются) во властных структурах (или приближенным к ним) и повлиять на развитие науки (точнее, развитие это свести на нет)...

[MGM]

ewert в сообщении #228316 писал(а):

MGM в сообщении #228315 писал(а):

То что справа и есть епс, и по классике его надо убать.

Его не надо убирать, его после предельного перехода попросту нет.

Этим и отличается классика.
Пределом считается базовая (без бесконечно малого) часть числа.
Поэтому и равенство.
Но не последовательности, а числа равного результату "взятия предела"
как int(1.5)=1

-- Пн июл 13, 2009 18:18:50 --

AGu в сообщении #228319 писал(а):

MGM в сообщении #228315 писал(а):

Вообще-то из классического определения предела получается 1.

Да.

MGM писал(а):

То есть число, отличное от предела на бесконечно малое.

Да, ибо ноль -- бесконечное малое число.

MGM писал(а):

$\[ 1 - 0.\underbrace {9...9}_n = 10^{ - n} \]$
То что справа и есть епс, и по классике его надо убать.

Здесь, видимо, $n$ бесконечно большое. Тогда, опять-таки, да.
Но если в 0,(9) девяток бесконечное количество, то 0,(9)=1 хоть в классике, хоть в инфинитезимасике.

В инфинитезимасике (собственно, а не в учебниках, где даётся сравнение) нет понятия предел.
Вот и вся разница.
То есть
$\[ {\text{0}}{\text{.(9)}} \approx {\text{1}} \]$

[Pripyat]

Ну как же тогда оценить погрешность это примерного равенства, как показать что оно не равно 0?

[ewert]

Pripyat в сообщении #228429 писал(а):

Ну как же тогда оценить погрешность это примерного равенства,

А никак. Для инфинитозематиков предел -- вовсе не есть результат некоторой вычислительной процедуры, а есть нечто абстрактное и аксиоматически постулируемое. Потому и все возможности оценки погрешности автоматически отрубаются.

Ну, может, и не абсолютно -- может, они сверхчеловеческими усилиями и оставляют за собой эти возможности -- я не инфинитозематик, и за всеми их логическими пируэтами мне не уследить...

[ИСН]

Одна северокорейская тётушка спросила у американского корреспондента:
- А правда, что в США на всех, включая грудных детей, выдают по 800 грамм риса в день?
- - - - - - -
"И так у них всё", дальнейшие слова излишни.
- - - - - - -
Вот и русская википедия, как небо в чашечке цветка, вся отражена в этой дискуссии...

[AGu]

MGM в сообщении #228423 писал(а):

В инфинитезимасике (собственно, а не в учебниках, где даётся сравнение) нет понятия предел.

Это еще почему? Кто посмел отнять определение предела у инфинитезимамочки?! Немедленно расщепить негодяя на монады! Ведь до этой гнусной кражи у инфинитезимамочки было все, что есть в классическом анализе, и даже больше!
(Если серьезно, все там есть, неча на инфинитезимаму клеветать. Она является консервативным расширением ZFC. Почитайте Э.Нельсона, это очень увлекательно.)

MGM писал(а):

То есть $\[ {\text{0}}{\text{.(9)}} \approx {\text{1}} \]$

Верно. И даже более того: $\[{\text{0}}{\text{.(9)}} = {\text{1}}\]$. (Я так просто не отстану! )

[Виктор Викторов]

AGu в сообщении #228448 писал(а):

Почитайте Э.Нельсона

А называется книжечкак?

[AGu]

Виктор Викторов в сообщении #228454 писал(а):

AGu в сообщении #228448 писал(а):

Почитайте Э.Нельсона

А называется книжечкак?

Edward Nelson. Internal set theory. A new approach to nonstandard analysis // Bull. Amer. Math. Soc., 83 (1977), 1165-1198.
Это, правда, не книжечка, а статья, но она увлекательнее многих книжек, чесслово.
А еще Нельсон сочинил «Радикально элементарную теорию вероятностей» (есть русский перевод). Это уже книжечка.

[MGM]

AGu в сообщении #228448 писал(а):

MGM в сообщении #228423 писал(а):

В инфинитезимасике (собственно, а не в учебниках, где даётся сравнение) нет понятия предел.

Это еще почему? Кто посмел отнять определение предела у инфинитезимамочки?! Немедленно расщепить негодяя на монады! Ведь до этой гнусной кражи у инфинитезимамочки было все, что есть в классическом анализе, и даже больше!
(Если серьезно, все там есть, неча на инфинитезимаму клеветать. Она является консервативным расширением ZFC. Почитайте Э.Нельсона, это очень увлекательно.)

MGM писал(а):

То есть $\[ {\text{0}}{\text{.(9)}} \approx {\text{1}} \]$

Верно. И даже более того: $\[{\text{0}}{\text{.(9)}} = {\text{1}}\]$. (Я так просто не отстану! )

Ну да, я некоректно выразился. каюсь.
Как раз у них операция lim(x) является трививальной операцией взятия базовой части числа.
Прокол.

[epros]

Ну и дискуссия разгорелась...

А слабо было начать с определения отношения порядка для десятичных дробей?
Я, например, не вижу ничего противоестественного в том, чтоба определить так:
$a < b$ тогда и только тогда, когда старшая несовпадающая цифра у числа $a$ меньше, чем у числа $b$.

По такому определению $0.(9) < 1$, хотя это и противоречит тому, что принято в арифметике действительных чисел. Аргументы, типа того, что "укажите число между ними" не катят, потому что ... ну нет таких чисел, и что? Теоремы-то о том, что между любыми числами есть число, у нас в такой аксиоматике нет...

[ewert]

epros в сообщении #228755 писал(а):

А слабо было начать с определения отношения порядка для десятичных дробей?
Я, например, не вижу ничего противоестественного в том, чтоба определить так:
$a < b$ тогда и только тогда, когда старшая несовпадающая цифра у числа $a$ меньше, чем у числа $b$.

По такому определению $0.(9) < 1$,

Можно, но тогда не будут выполняться аксиомы для сложения (например).

[epros]

ewert в сообщении #228758 писал(а):

Можно, но тогда не будут выполняться аксиомы для сложения (например).

Ну так вот и надо было бы дать стандартное определение отношения порядка и показать, что только такое определение совместимо с аксиомами сложения и т.п.

[ewert]

epros в сообщении #228761 писал(а):

Ну так вот и надо было бы дать стандартное определение отношения порядка и показать, что только такое определение совместимо с аксиомами сложения и т.п.

Зачем показывать "только"? Вполне достаточно того, что это определение корректно и общепринято.

(и, конечно, что оно эквивалентно другим, более идейным моделям вещественных чисел)