Заряженная жидкость на линейке.

[Аурелиано Буэндиа]

Someone писал(а):

при разном числе зарядов $n$

Незванный гость, пожалуйста, если будете строить график плотности заряда учитывайте что заряд каждого шарика равен $1/n$.

[Mopnex]

Предлагаю зайти с другой стороны. Кто владеет численными методами решения интегральных уравнений, может попробуете решить указанное уравнение точек, эдак, для 50?

[Аурелиано Буэндиа]

незванный гость писал(а):

2 Аурелиано Буэндиа:
Все, что Вы писали, относится ко всюду дифференциремым функциям. Пользольте мне задать Вам вопрос: если жидкость может скопиться фактически точечный заряд на концах, то ведь существует и устойчивое 3х порционное состояние. Фактически, мы можем иметь любое конечное число $\delta$-функций, т.е. мы возвращаемся к дискретной задаче (с возможно неравными зарядами)

Извините, но я опять с Вами не согласен. Из моего решения следует что для любого непрерывного и непрерывно дифференцируемого (строго говоря нужно чтобы еще существовала непрерывная первая производная) начального линейного распределения заряда всегда найдется такое достаточно малое $\delta>0$, что мы получаем неустойчивость. И в пределе $\delta \to 0$ в состоянии равновесия плотность строго ноль на $(-a,a)$.
Ну а если Вы предлагаете запихнуть в начальное непрерывное распределение дельта-функцию на $(-a,a)$, то как это связяно с нашей задачей? Предположение о заряженной жидкости сразу отметает эту возможность (линейная плотность заряда должна быть ограничена!). Хотя конечно, никто Вам не запретит рассматривать одномерную заряженную жидкость и некоторое число точечных зарядов. Но это будет уже другая история.

[Зиновий]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Зиновий писал(а):

т.к. действие на каждый шарик со стороны соседних шариков много больше действия отдаленных.
Т.е., получается равномерное распределение шариков по длине нити, начиная с концов, независимо от числа шариков.

Зиновий, у меня просто нет слов... ну откуда Вы это взяли? Нет, я с Вами еще не спорю. Но Вы что, предлагаете мне просто поверить в то что Вы говорите?

Я не предлагаю "поверить".
Я, просто, изложил свои мысли с соответствующей мотивацией по обсуждаемому вопросу.
Вы в праве как реагировать, так и игнорировать эти рассуждения.

[Аурелиано Буэндиа]

Зиновий писал(а):

Я, просто, изложил свои мысли с соответствующей мотивацией по обсуждаемому вопросу.
Вы в праве как реагировать, так и игнорировать эти рассуждения.

Ок, но такие "общие соображения" ещё ничего не доказывают. Хотя они могут быть основой для других "общих соображений" =)

[Зиновий]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Зиновий писал(а):

Я, просто, изложил свои мысли с соответствующей мотивацией по обсуждаемому вопросу.
Вы в праве как реагировать, так и игнорировать эти рассуждения.

Ок, но такие "общие соображения" ещё ничего не доказывают. Хотя они могут быть основой для других "общих соображений" =)

Где в моем сообщении Вы нашли утверждение "общности"?
В моем сообщение речь идет о вполне конкретных вещах, в том числе, о несовместимости понятий "непрерывная электрическая жидкость" и "близкодействие" на которые Вам указал Someone и обсуждает "незванный гость".
Вы перепутали мое сообщение, со своим, о введение "Q1 и Q2".

[незваный гость]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Извините, но я опять с Вами не согласен. Из моего решения следует что для любого непрерывного и непрерывно дифференцируемого (строго говоря нужно чтобы еще существовала непрерывная первая производная) начального линейного распределения заряда всегда найдется такое достаточно малое $\delta>0$, что мы получаем неустойчивость. И в пределе $\delta \to 0$ в состоянии равновесия плотность строго ноль на $(-a,a)$.

Зато я с Вами согласен. В частности, потому, что из несколько других соображений получил тот же результат ($\rho'(x) = 0$) и сам.

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Ну а если Вы предлагаете запихнуть в начальное непрерывное распределение дельта-функцию на $(-a,a)$, то как это связяно с нашей задачей? Предположение о заряженной жидкости сразу отметает эту возможность (линейная плотность заряда должна быть ограничена!). Хотя конечно, никто Вам не запретит рассматривать одномерную заряженную жидкость и некоторое число точечных зарядов. Но это будет уже другая история.

В данном случае это было не возражение, а вопрос. Поясню немного его мотивацию. Рассмотрим Ваше решение: весь заряд стек на края. Это значит, что мы имеем две $\delta$-функции в нашем решении. Но где две, там и три поместится. Поэтому-то и вопрос о $\delta$-функции во внутренних точках (тем более, что введение оных не вызывает противоречия в Вашем решении: $\rho'$ равно нулю только там, где существует).

[незваный гость]

Зиновий писал(а):

Обычно, при рассчете пружины, мы пользуемся законом Гука - линейной зависимостью силы от смещения.
На самом деле, это приближенный закон малых смещений, т.к. если вы полностью освободите пружину, то она не выпрямится в прямую нить, а останется цилиндрической пружиной с увеличенным шагом.
Т.е. на лицо скрытое близкодействие.
Постоянный шаг, именно, как следствие наличия близкодействия.
Переход от одного витка (шарика) к соседнему не меняет ситуации.

Спасибо за разъяснение механики пружины. Именно закон Гука я и имел в виду, когда говорил, что у пружины другая зависимость силы от расстояния.

Не могли бы Вы пояснить, как количественно пружина аналогична нашей задаче. Естественно, с конкретными (а не общими, из учебника) формулами.

Мне кажется, в этой задаче аналогия с пружиной неуместна. Ну, хотя бы потому, что для конечной дискретной системы зарядов результатом является их неравномерное распределение.

[Dolopihtis]

незванный гость писал(а):

:evil:
В данном случае это было не возражение, а вопрос. Поясню немного его мотивацию. Рассмотрим Ваше решение: весь заряд стек на края. Это значит, что мы имеем две $\delta$-функции в нашем решении. Но где две, там и три поместится. Поэтому-то и вопрос о $\delta$-функции во внутренних точках (тем более, что введение оных не вызывает противоречия в Вашем решении: $\rho'$ равно нулю только там, где существует).

Похожий вопрос здесь уже задавался. http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=22294#22294. Насколко я понял ,Аурелиано Буэндиа считает , что распределение с дельта функциями во внутренних точках само по себе возможно, но не может установиться динамически из непрерывного распределения. В принципе это весьма вероятно , хотя с точки зрения математической строгости аргументы Аурелиано Буэндиа вызывают вопросы.

[Аурелиано Буэндиа]

Dolopihtis писал(а):

что распределение с дельта функциями во внутренних точках само по себе возможно, но не может установиться динамически из непрерывного распределения. В принципе это весьма вероятно , хотя с точки зрения математической строгости аргументы Аурелиано Буэндиа вызывают вопросы

Именно я это и пытался объяснить незванному гостю. Dolopihtis спасибо! И насчет строгости я тоже с вами согласен. Над этим я сейчас работаю.

Незванный гость писал(а):

Зато я с Вами согласен. В частности, потому, что из несколько других соображений получил тот же результат ($\rho'=0$) и сам.

Ну может тогда поделитесь своими результатами, а я своими =)

[Someone]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Ваш пример может оказаться не очень адекватным рассматриваемой проблеме.

Да, он не очень адекватный. Из-за того, что эллипсоид в центральной части существенно толще, чем по краям, часть заряда (по сравнению с цилиндром) перемещается с концов эллипсоида к середине, причём, при стремлении $R$ к нулю величина этого переместившегося заряда может и не убывать до нуля. Поэтому для цилиндра предельное распределение может быть другим.

[незваный гость]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Ну может тогда поделитесь своими результатами, а я своими =)

Позвольте, я же писал в самом начале темы.

Dolopihtis писал(а):

Похожий вопрос здесь уже задавался. Насколко я понял ,Аурелиано Буэндиа считает , что распределение с дельта функциями во внутренних точках само по себе возможно, но не может установиться динамически из непрерывного распределения.

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Именно я это и пытался объяснить незванному гостю.

Господа, спасибо! К сожалению, я не уловил этот мотив (переходный процесс к стабильному состоянию) из предыдущих сообщений. Мне казалось, все рассуждения относятся только к установившемуся состоянию (статика).

[незваный гость]

Я положу картинки с распределением несколько позже. Пока я сумел подготовить файлы с исходными данными -- на рапиде.

Формат:
* ASCII.
* одно число на строку -- координата $n$-го заряда.
* имя файла указывает на количество зарядов.

Может, кому будет интересно какие-то другие графики построить...

Считать тяжеловато. Я подошел "побыстрее-посмешнее", и получил в результате ${\rm O}(n^4)$. В переводе -- расчет 1024 точек занимает около 48 часов.

[Аурелиано Буэндиа]

незванный гость писал(а):

Может, кому будет интересно какие-то другие графики построить...

Плотность заряда (из вычислений Незванного гостя):

Таким образом, из Ваших вычислений следует, что с плотность в центре увеличивается с ростом $n$? Занятно.

[незваный гость]

Да. Плюс:
* плотность в окрестности середины ($\frac{q(-x,x)}{2x \, Q}$) растет (я проверял до $1/\sqrt2$), стремясь к 1;
* грубо, $q_n(-1,x) \approx \frac{1+x}{2} - n^{-1/6} \frac{x\sqrt{1-x^2}}{13}$.

Последнее "приближение" выполняется очень точно -- достаточно построить график $n^{1/6}(q_n(-1,x) - \frac{1+x}{2})$ и наложить на него соответствующую функцию.