Заряженная жидкость на линейке.

[Аурелиано Буэндиа]

Зиновий писал(а):

2. В случае Q1 = Q2 = 0, заключительный вывод становится невозможным:

Постараюсь объяснить. Вы неправильно понимаете зачем я ввел $Q_{1,2}$. Этим я показал, что при любых конечных зарядах $Q_{1,2}\geqslant 0$ на стенках наступает коллапс. Так я ответил на возражение Dolopihtisа о том что при коллапсе одномерная заряженная жидкость стекает на стенки, заряжает их, и потом это может препятствовать коллапсу.

незванный гость писал(а):

Вы пишете "одномерный", "трехмерный", и смущаете участников. Как я Вас понимаю, Вас всегда интересовало трехмерное пространство. Линейка -- не "одномерна", это бесконечно-тонкий стержень в трехмерном пространстве. Отсюда и выкладки Аурелиано Буэндиа. Случай же одномерного пространства, похоже, разобран.

Замечание верное. Пространство трехмерное, а жидкость одномерная. Это конечно надуманная (с точки зрения физики) ситуация. Но интересна сама идея построить модель одномерной жидкости в трехмерном постранстве.

[Шимпанзе]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Замечание верное. Пространство трехмерное, а жидкость одномерная. Это конечно надуманная (с точки зрения физики) ситуация. Но интересна сама идея построить модель одномерной жидкости в трехмерном постранстве.

Ничего не надуманная. Это настоящая физика, позволяющая абстрагироваться от конкретных деталей и изучить (понять) природу явления. Но конечно, речь должна идти о распределении линейной плотности на бесконечно тонком стержне ( безусловно в трех или четырехмерном пространстве). В физике, кто не знает, линейная плотность заряда обозначается специальной буковкой - τ(x) , ( в отличие от σ и ρ ).


Шимпанзе

[незваный гость]

2 Аурелиано Буэндиа:
Все, что Вы писали, относится ко всюду дифференциремым функциям. Пользольте мне задать Вам вопрос: если жидкость может скопиться фактически точечный заряд на концах, то ведь существует и устойчивое 3х порционное состояние. Фактически, мы можем иметь любое конечное число $\delta$-функций, т.е. мы возвращаемся к дискретной задаче (с возможно неравными зарядами). Полная энергия -- сумма энергии заряда в поле остальных плюс сумма "внутренних" энергий зарядов. При увеличении дробления первая растет, а вторая падает. То есть, существует оптимальное количество частей? возможно, отличное от двух?

[Шимпанзе]

Mopnex писал(а):

Значит, по моему скромному мнению задача сводится вот к такому уравнению:

$$\int_{0}^{x}\frac{\rho(x')} {\((x-x')^2}dx' = \int_{x}^{1}\frac{\rho(x')} {\((x'-x)^2}dx'$$

которое просто выражает равенсто сил, действующих на заряд в точке x слева и справа.
Покатит?

Рассмотрим сечение в центре стрежня, то есть в точке x=0.5. Ясно, что распределение плотности заряда по обе стороны сечения будут совершенно идентичны! Просто, и вроде бы должно помочь… Однако рассмотрим сечение на малом расстоянии δ от центра. Можно ли определить распределение плотности на участке (0.5- δ) - 0.5 ? Нет! –это следует из математических доказательств приведенных участниками форума. Да и просто из здравого смысла. Коль скоро, суммарная напряженность поля в данном участке равна нулю, то значит и заряд равен нулю.
Поэтому- то без энергетики никак не обойтись. Имхо, конечно.

Шимпанзе

[незваный гость]

Шимпанзе писал(а):

Ясно, что распределение плотности заряда по обе стороны сечения будут совершенно идентичны!

Строго говоря, неясно. Симметричность нуждается в доказательстве...

Шимпанзе писал(а):

Однако рассмотрим сечение на малом расстоянии δ от центра. Можно ли определить распределение плотности на участке (0.5- δ) - 0.5 ? Нет!

Рассмотрите дискретные заряды, и Вы не увидите противоречия. (Ну или продемонстрируйте мне его.) Кроме того, из отсутствия поля не следует отсутствие зарядов (даже локального; zb, внутри сферы). А здравый смысл -- очень слабый формальный аргумент.

[Шимпанзе]

незванный гость писал(а):

:evil:

Рассмотрите дискретные заряды, и Вы не увидите противоречия. (Ну или продемонстрируйте мне его.) Кроме того, из отсутствия поля не следует отсутствие зарядов (даже локального; zb, внутри сферы). А здравый смысл -- очень слабый формальный аргумент.

Об этом и речь , о здравом смысле. Заряды есть, а напряженности в окрестности этих зарядов нет!? Значит подход к решению задачи не верный.


Шимпанзе

[незваный гость]

Шимпанзе писал(а):

Заряды есть, а напряженности в окрестности этих зарядов нет

В окрестости есть. Нет в точке нахождения заряда. А вокруг -- поле, направленное к этой точке.

[Зиновий]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Зиновий писал(а):

2. В случае Q1 = Q2 = 0, заключительный вывод становится невозможным:

Постараюсь объяснить. Вы неправильно понимаете зачем я ввел $Q_{1,2}$. Этим я показал, что при любых конечных зарядах $Q_{1,2}\geqslant 0$ на стенках наступает коллапс. Так я ответил на возражение Dolopihtisа о том что при коллапсе одномерная заряженная жидкость стекает на стенки, заряжает их, и потом это может препятствовать коллапсу.

Принятая вами модель, "трехмерно-одномерная" сыграла с Вами злую шутку.
Казалось бы, задача строго формулируется и должна иметь строгое решение.
Однако, одномерность жидкости приводит к бесконечным плотностям зарядов на концах линейки, лишающих возможности получения строгого решения.
На мой взгляд, эту трудность можно избежать, если рассмотреть задачу в такой формулировке
http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=22617#22617

[Someone]

Данное сообщение следует рассматривать как продолжение сообщения http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=22550#22550.

Б.М.Будак, А.А.Самарский, А.Н.Тихонов. Сборник задач по математической физике. "Наука", Москва, 1972.

Глава IV, задача 161.

В отличие от указанного сообщения, рассмотрим проводящий эллипсоид $\frac{x^2}{l^2+R^2}+\frac{y^2+z^2}{R^2}=1$ с зарядом $q$. В указанной задаче 161 показано, что все эллипсоиды $\frac{x^2}{l^2+s}+\frac{y^2+z^2}{s}=1$, $s\geqslant R^2$, являются эквипотенциальными поверхностями. Если $R\to 0^+$, то все эти эллипсоиды остаются эквипотенциальными, причём, поле вне сжимающегося эллипсоида остаётся неизменным. Предельное множество этих эллипсоидов при $R\to 0^+$ есть прямолинейный отрезок $-l\leqslant x\leqslant l$ оси $Ox$.
Как объяснялось в прошлом сообщении, поверхностная плотность заряда на эллипсоиде равна $\sigma(x)=\frac{q\sqrt{l^2+R^2}}{4\pi R\sqrt{(l^2+R^2)^2-l^2x^2}}$, а линейная плотность - $\gamma(x)=\frac{q}{2}\sqrt{\frac{l^2+R^2-x^2}{(l^2+R^2)^2-l^2x^2}}$.
Из последнего выражения следует, что на отрезке $[-(l-\varepsilon);(l-\varepsilon)]$, где $\varepsilon>0$, величина $\gamma(x)$ равномерно сходится к $\frac{q}{2l}$ при $R\to 0^+$, но на интервале $(-l,l)$ сходимость неравномерная. В точках $x=\pm l$ предел линейной плотности равен $\frac{q\sqrt{2}}{4l}$. Из этого следует, в частности, что заряды "шапочек" эллипсоидов с $|x|\geqslant l$ стремятся к $0$ при $R\to 0^+$.

Таким образом, получается, что при $R\to 0^+$ равновесное распределение заряда на сжимающемся эллипсоиде сходится к равномерному распределению заряда на отрезке, создающему в точности то же поле, что и поле эллипсоида (вне эллипсоида, естественно). Почему же равномерное распределение заряда на отрезке не является равновесным?

Непрерывное распределение заряда на отрезке имеет бесконечную энергию. Когда мы разбиваем это непрерывное распределение на конечное число дискретных зарядов, мы фактически вычитаем из этой бесконечности другую бесконечность, и получаем конечную энергию и некоторое равновесное расположение зарядов. Разбивая на другое число зарядов, получаем другое равновесное распределение с другой энергией. А непрерывного равновесного распределения, возможно, не существует. И, видимо, эту задачу нельзя решить как задачу о непрерывном распределении заряда на одномерном отрезке, о чём говорил и незванный гость ещё на первой странице.

[Аурелиано Буэндиа]

Someone писал(а):

Непрерывное распределение заряда на отрезке имеет бесконечную энергию.
Когда мы разбиваем это непрерывное распределение на конечное число дискретных зарядов, мы фактически вычитаем из этой бесконечности другую бесконечность, и получаем конечную энергию и некоторое равновесное расположение зарядов. Разбивая на другое число зарядов, получаем другое равновесное распределение с другой энергией. А непрерывного равновесного распределения, возможно, не существует.

Вопрос о энергии, которая получается в пределе, очень интересный... Но почему Вы думаете, что в такой экзотической задаче все должно быть как и в обычном, например, трехмерном случае? Само значение энергии ни как не влияет на равновесное состояние. Это потому, что энергия всегда определена с точностью до аддитивной постоянной. Поэтому, не стоит волноваться из-за того, что в пределе $n\to \infty$ получается бесконечная энергия. А вот то, что непрерывного равновесного распределения, возможно, не существует, так это еще доказать нужно. Кстати, из моего решения следует, что в прелеле $n\to \infty$ непрерывного равновесного распределения заряда нет. Т.е. сам предел равновесного состояния есть, но он сводится к тому, что возникает по одному точечному заряду на каждой стенке.

Someone писал(а):

И, видимо, эту задачу нельзя решить как задачу о непрерывном распределении заряда на одномерном отрезке, о чём говорил и незванный гость ещё на первой странице.

Вот я тогда как раз и не понял почему он так решил. И сейчас, до сих пор не понимаю! Очень вероятно, что такая "внешняя" аналогия не проходит и Ваш пример может оказаться не очень адекватным рассматриваемой проблеме. Дело в том что физика двумерных заряженных поверхностей и точечных зарядов (или заряженных отрезков) существенно отличается. Ну например, и электрическое поле и электростатический потенциал на заряженой поверхности является конечным. Абсолютно другая ситуация в случае точечного заряда (или заряженной нити) там есть синрулярность кулоновская (или логарифмическая). Более того я склонен считать, что именно сингулярность, точнее её тип всем управляет.
Поэтому Ваш пример поучительный, но, на мой взгляд, не убедительный. Убедительным, на мой взгляд, будет прямой анализ предельного перехода $n\to \infty$ для равновесных состояний для системы из $n$ точечных зарядов.

[Зиновий]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Someone писал(а):

Непрерывное распределение заряда на отрезке имеет бесконечную энергию.
Когда мы разбиваем это непрерывное распределение на конечное число дискретных зарядов, мы фактически вычитаем из этой бесконечности другую бесконечность, и получаем конечную энергию и некоторое равновесное расположение зарядов. Разбивая на другое число зарядов, получаем другое равновесное распределение с другой энергией. А непрерывного равновесного распределения, возможно, не существует.

Убедительным, на мой взгляд, будет прямой анализ предельного перехода $n\to \infty$ для равновесных состояний для системы из $n$ точечных зарядов.

Вводом короткодействия вида a/r^2, задача заряженных шариков на нити, при расстояниях между шариками много меньше длины нити,сводится к задаче сжатой цилиндрической пружины с постоянным шагом, т.к. действие на каждый шарик со стороны соседних шариков много больше действия отдаленных.
Т.е., получается равномерное распределение шариков по длине нити, начиная с концов, независимо от числа шариков.
Но дискретность обязательна, т.к. именно она осуществляет короткодействие.

[незваный гость]

Зиновий писал(а):

...cводится к задаче сжатой цилиндрической пружины с постоянным шагом.

Не откажите в любезности, это место подробнее. Пружина, как я помню, имеет другой закон зависимости силы от расстояния (плюс отсутствие дальнодействия). И почему постоянный шаг?

Зиновий писал(а):

Т.к. действие на каждый шарик со стороны соседних шариков много больше действия отдаленных.

Почему? Много -- это не в четыре и не в девять. Поэтому не очень ясно, с какого места можно пренебрегать соседями. Более того, похоже большее значение имеет разница в расстоянии между левыми и правыми соседями. Поскольку именно эта разница компенсирует влияние удаленных несбалансированных зарядов.

Зиновий писал(а):

Но дискретность обязательна, т.к. она определяет короткодействие.

Мы всегда имеем некоторую дискретность (на уровне электрона). Но работая с разрешением порядка микрометра, мы может считать заряд непрерывным. (Возможно, я понял Вас неправильно. Я буду благодарен за более развенутое объяснение, что Вы имеете в виду. И почему это верно).

[Зиновий]

незванный гость писал(а):

:evil:

Зиновий писал(а):

...cводится к задаче сжатой цилиндрической пружины с постоянным шагом.

Не откажите в любезности, это место подробнее. Пружина, как я помню, имеет другой закон зависимости силы от расстояния (плюс отсутствие дальнодействия). И почему постоянный шаг?

Обычно, при рассчете пружины, мы пользуемся законом Гука - линейной зависимостью силы от смещения.
На самом деле, это приближенный закон малых смещений, т.к. если вы полностью освободите пружину, то она не выпрямится в прямую нить, а останется цилиндрической пружиной с увеличенным шагом.
Т.е. на лицо скрытое близкодействие.
Постоянный шаг, именно, как следствие наличия близкодействия.
Переход от одного витка (шарика) к соседнему не меняет ситуации.

незванный гость писал(а):

Зиновий писал(а):

Т.к. действие на каждый шарик со стороны соседних шариков много больше действия отдаленных.

Почему? Много -- это не в четыре и не в девять. Поэтому не очень ясно, с какого места можно пренебрегать соседями. Более того, похоже большее значение имеет разница в расстоянии между левыми и правыми соседями. Поскольку именно эта разница компенсирует влияние удаленных несбалансированных зарядов.

Ответ на этот вопрос может дать только, хотя бы качественный, рассчет.
Я пока исхожу из чисто логических построений, используя аналогию.
Можно рассмотреть размещение четырех и более шариков на нити длиной много больше радиуса шарика.

незванный гость писал(а):

Зиновий писал(а):

Но дискретность обязательна, т.к. она определяет короткодействие.

Мы всегда имеем некоторую дискретность (на уровне электрона). Но работая с разрешением порядка микрометра, мы может считать заряд непрерывным. (Возможно, я понял Вас неправильно. Я буду благодарен за более развенутое объяснение, что Вы имеете в виду. И почему это верно).

Вы совершенно правы.
Дискретность может быть сколь угодной малости, но обязательно конечной.
Невозможна непрерывная жидкость, которая и подвела Аурелиано.
В случае непрерывной жидкости дискретность принципиально отсутствует, а следовательно, и близкодействие, что и привело к неограниченным решениям ("коллапс на стенки").
При расчете полей, создаваемых системой зарядов, мы можем использовать непрерывность.
При решении задачи устойчивости распределения зарядов, по силовому взаимодействию между ними, необходимо учитывать дискретность заряда.
Это связано с тем, что поля, создаваемые зарядами, включают в себя поля всех зарядов.
При рассчете сил, действующих на конкретный заряд со стороны других зарядов, мы исключаем поле самого рассматриваемого заряда.

[Someone]

незванный гость писал(а):

Некоторые результаты численных эксперименов:
...

Когда Вы занимались этими численными экспериментами, Вы не пробовали строить график зависимости величины заряда на отрезке $[-l,x]$ от $x$ при разном числе зарядов $n$? (Предполагаем, что заряды располагаются на отрезке $[-l,l]$, и что полный заряд равен $1$.)

[Аурелиано Буэндиа]

Зиновий писал(а):

т.к. действие на каждый шарик со стороны соседних шариков много больше действия отдаленных.
Т.е., получается равномерное распределение шариков по длине нити, начиная с концов, независимо от числа шариков.

Зиновий, у меня просто нет слов... ну откуда Вы это взяли? Нет, я с Вами еще не спорю. Но Вы что, предлагаете мне просто поверить в то что Вы говорите?