Дискретное пространство и время

[IAmI]

Кстати, мне вот что кажется. (Правда, может, кто-то уже это сказал, а я не заметил соответствующее сообщение.) Ведь если пространство квантовано, у него есть некий элементарный "шаг решетки", и, значит, фундаментальные уравнения вроде уравнения Шредингера перестают быть дифференциальными в полном смысле этого слова, т.е. их решение с помощью метода конечных разностей перестает быть приближением, т.к. сами уравнения принимают соответствующий вид. Это в некоторых случаях облегчает задачу. Можно вместо волновой функции от расстояния $\psi {\mathcal{f} r \mathcal{g}}$ ввести волновую функцию от "номера узла" $\psi {\mathcal{f} n \mathcal{g}}$. Скажем, вторая производная волновой функции $\psi {\mathcal{f} x \mathcal{g}}$ по координате (входящая в простейший случай - одномерное стацинарное уравнение Шредингера) будет что-то вроде:
$\psi^{(2)} {\mathcal{f} x \mathcal{g}} = (\psi{\mathcal{f} x - d\mathcal{g}} - 2 \psi{\mathcal{f} x \mathcal{g}} + \psi{\mathcal{f} x + d \mathcal{g}})/{d^2}$
где $d$ - шаг решетки. Или
$\psi^{(2)} {\mathcal{f} x \mathcal{g}} = (\psi{\mathcal{f} n -1 \mathcal{g}} - 2 \psi{\mathcal{f} x \mathcal{g}} + \psi{\mathcal{f} n + 1 \mathcal{g}})/{d^2}$
Тогда одномерное стационарное уравнение Шредингера запишется так:
$(\psi{\mathcal{f} x -d\mathcal{g}} + \psi\mathcal{f} x+d \mathcal{g}} - 2 \psi{\mathcal{f} x \mathcal{g}})/{d^2} + (2m/{\hbar ^2}){\psi {\mathcal{f} x \mathcal{g}}} = 0$
$(\psi{\mathcal{f} n -1 \mathcal{g}} + \psi\mathcal{f} n + 1 \mathcal{g}} - 2 \psi{\mathcal{f} n \mathcal{g}})/{d^2} + (2m/{\hbar ^2}){\psi {\mathcal{f} x \mathcal{g}}} = 0$

[Munin]

IAmI в сообщении #225846 писал(а):

Ведь если пространство квантовано, у него есть некий элементарный "шаг решетки"

Нет. Если пространство дискретно, у него есть "шаг решётки". Причём не обязательно константа. А если квантовано - ничего подобного.

IAmI в сообщении #225846 писал(а):

значит, фундаментальные уравнения вроде уравнения Шредингера перестают быть дифференциальными в полном смысле этого слова, т.е. их решение с помощью метода конечных разностей перестает быть приближением, т.к. сами уравнения принимают соответствующий вид. Это в некоторых случаях облегчает задачу.

Да не облегчает. Как раз аналитически-то проще уравнение дифференциальное решать, а не разностное.

[IAmI]

Munin в сообщении #225854 писал(а):

Если пространство дискретно, у него есть "шаг решётки". Причём не обязательно константа. А если квантовано - ничего подобного.

Ну, говоря "квантовано" я имел ввиду именно "дискретно".

Munin в сообщении #225854 писал(а):

Как раз аналитически-то проще уравнение дифференциальное решать, а не разностное.

Ну, я математики не знаток, но ведь зачем-то же придумали метод конечных разностей?

[Munin]

IAmI в сообщении #225857 писал(а):

Ну, говоря "квантовано" я имел ввиду именно "дискретно".

А не надо так иметь в виду. Слова разные, и значат совсем разные вещи. Думать, что когда написано непонятное слово - это на самом деле другое, понятное слово, просто автор хотел выразиться заумнее - это очень вредная привычка. От неё надо отучаться. При чтении учебников и научной литературы она может сослужить плохую службу.

IAmI в сообщении #225857 писал(а):

Ну, я математики не знаток, но ведь зачем-то же придумали метод конечных разностей?

Разумеется. Для численного решения уравнений. Но это же не значит, что и природе он зачем-то нужен.

[IAmI]

Munin в сообщении #225880 писал(а):

Думать, что когда написано непонятное слово - это на самом деле другое, понятное слово, просто автор хотел выразиться заумнее - это очень вредная привычка. От неё надо отучаться.

Может быть, но все таки мое сообщение имеет отношение к теме.

Munin в сообщении #225880 писал(а):

Для численного решения уравнений. Но это же не значит, что и природе он зачем-то нужен.

Ну, я ничего не утверждаю, но вдруг?

[Munin]

IAmI в сообщении #225882 писал(а):

Ну, я ничего не утверждаю, но вдруг?

Вдруг. Но мысль весьма неоригинальная. Пока есть серьёзные аргументы, что это не так, хотя я видел попытку обойти эти аргументы.

[zahary]

Как говорил Бор, "я не критикую, я просто спрашиваю"

Мне действительно интересно, чем квантованное время отличается от дискретного.

Munin, неужели квантованность - такое сложное понятие, что для его понимания нужно прочесть три толстых учебника?
Может, всё-таки возможно объяснить как-нибудь попроще, на примерах?

[Munin]

zahary в сообщении #225898 писал(а):

Мне действительно интересно, чем квантованное время отличается от дискретного.

Проще сказать, чем не отличается: у них вообще нет ничего общего.

zahary в сообщении #225898 писал(а):

Munin, неужели квантованность - такое сложное понятие, что для его понимания нужно прочесть три толстых учебника?

Один учебник по теории поля, один учебник по ОТО - понять, что такое пространство-время, один учебник по квантовой механике, и один учебник по квантовой теории поля. Вроде, ничего не забыл.

Сложное понятие не квантованность, а квантование. Это операция, которую применяют к классической системе, так что получается соответствующая квантовая система. Если её применить к классическому пространству-времени (которое становится физической системой только в ОТО), то получится квантованное пространство-время.

zahary в сообщении #225898 писал(а):

Может, всё-таки возможно объяснить как-нибудь попроще, на примерах?

Скорее всего бесполезно, но попробую. Вы знаете, что такое двухщелевой опыт? Электрон (обычную частицу, точечную, со всеми свойствами механической материальной точки) пускают на загородку с двумя щелями. Пролетевшие электроны формируют за загородкой интерференционную картину, чем доказывают, что на самом деле каждый отдельный электрон пролетел ни через правую, ни через левую щель, а через обе вместе, и его состояние есть суперпозиция состояний, пролетевших через отдельные щели. Так вот, замените здесь электрон на пространство-время :-) - и вы узнаете, что такое квантование пространства-времени.

[zahary]

Munin в сообщении #225912 писал(а):

Скорее всего бесполезно, но попробую. Вы знаете, что такое двухщелевой опыт? Электрон (обычную частицу, точечную, со всеми свойствами механической материальной точки) пускают на загородку с двумя щелями. Пролетевшие электроны формируют за загородкой интерференционную картину, чем доказывают, что на самом деле каждый отдельный электрон пролетел ни через правую, ни через левую щель, а через обе вместе, и его состояние есть суперпозиция состояний, пролетевших через отдельные щели. Так вот, замените здесь электрон на пространство-время - и вы узнаете, что такое квантование пространства-времени.

Действительно, не очень понятно

Может, я чего-то не понимаю, но мне всегда казалось, что каждый конкретный электрон пролетает только через одну конкретную щель: правую либо левую.
Но, пока электрон не пролетел, мы не можем точно предсказать, через какую именно щель он пролетит, а можем только найти вероятность пролетания электрона через каждую щель.
А интерференционная картина образуется большим количеством электронов, каждый из которых пролетел через конкретную щель.

Может, я ошибаюсь?

[Dragon27]

Неужели ещё есть люди, которые про этот опыт не слыхали?

[Munin]

zahary в сообщении #225915 писал(а):

Может, я чего-то не понимаю, но мне всегда казалось, что каждый конкретный электрон пролетает только через одну конкретную щель: правую либо левую.

Ну вот это неверно.

zahary в сообщении #225915 писал(а):

Но, пока электрон не пролетел, мы не можем точно предсказать, через какую именно щель он пролетит, а можем только найти вероятность пролетания электрона через каждую щель.

Это защитная реакция человека, который про кванты впервые слышит. Ему очень хочется объявить вероятности следствием человеческого незнания. Нет, электрон сам не знает, через какую щель пролетел, и именно это незнание позволяет множество квантовых эффектов: интерференцию в двухщелевом опыте, дискретные уровни энергии в атоме, туннельный эффект и прочая, прочая, прочая.

zahary в сообщении #225915 писал(а):

А интерференционная картина образуется большим количеством электронов, каждый из которых пролетел через конкретную щель.

Для этого электроны должны взаимодействовать между собой, а они этого не делают. Более того, даже если пускать электроны по одному, каждый из них будет формировать свою собственную интерференционную картину, которая проявится как максимумы и минимумы вероятности попасть в ту или иную точку экрана.

[zahary]

Munin в сообщении #225927 писал(а):

Для этого электроны должны взаимодействовать между собой, а они этого не делают. Более того, даже если пускать электроны по одному, каждый из них будет формировать свою собственную интерференционную картину, которая проявится как максимумы и минимумы вероятности попасть в ту или иную точку экрана.

Либо нас неправильно учили, либо я всё забыл

То есть, один-единственный электрон, пролетая через загородку, даст на экране интерференционную картину?

[Dragon27]

Круто, правда?
http://wealth.livejournal.com/458661.html

-- Ср июл 01, 2009 16:43:04 --

Вот ещё.
Это подходит?
http://data.ufn.ru//ufn49/ufn49_8/Russian/r498e.pdf

[Инт]

Dragon27 в сообщении #225932 писал(а):

Круто, правда? http://wealth.livejournal.com/458661.html Вот ещё. Это подходит? http://data.ufn.ru//ufn49/ufn49_8/Russian/r498e.pdf

Уважаемый Dragon27 вот меня очень интересуют эти же вопросы, на которые вы даёте ссылку. Дело в том, что они в точности обсуждались здесь: http://dxdy.ru/topic22192.html, и здесь: http://dxdy.ru/post224086.html#p224086. Вот оригинальная статья Тономуры: http://files.mail.ru/KX1NAJ. Не могли бы вы ответить на вопросы, которые я задал в http://dxdy.ru/post224086.html#p224086? Суть их в том, что картинки Тономуры по меньшей мере следует поставить под сомнение. Ну можете ответить в рамках этой темы.

[Dragon27]

К сожалению, я не специалист по этой области физики
Возможно через годик, когда достаточно хорошо изучу...