Трисекция угла

[Виктор Ширшов]

shwedka в сообщении #225225 писал(а):

Виктор Ширшов в сообщении #223707 писал(а):
Можно доказать, что три дуги , получаемые при пересечении дуги, на которую опирается центральный угол, равны между собой.

Приведите доказательство



Виктор Ширшов в сообщении #223723 писал(а):
Доказательство ищите между хордой и дугой.

Не перекладывайте на других

Я бы привёл доказательство, тем более, что и у "bot"(а) появился интерес, но понадобится чертёж, который я не могу выполнить на компьютере. Если бы мне кто-нибудь в этом помог, использовав нижеприведённую схему построения.
Пусть, к примеру, дан угол 80 градусов, который надо разделить на три части.
1. Вычерчиваем такой угол и описываем вокруг его вершины окружность, центр которой обозначаем О, а точки пересечения с нею А и С.
2. Продолжим одну из сторон - ОС до пересечения с окружностью и точку пересечения обозначаем В.
3. Соединим точки А и В. Получаем вписанный угол АВС, равный 1/2 углу АОС
4. Разделим диаметр ВС на три равные части по способу, предложенному в topic21409.html, обозначив концы отрезков: а) между ОВ -О₁; б)между ОС -О₂.
5. Проведём через точки О₁ и О₂ прямые, параллельные АВ. Точки пересечения с дугой АС обозначаем: а) ближе к А - А₁; б) ближе к С - С₁.
6. Обозначим точку пересечения на АО символом О₃.

[venco]

Виктор Ширшов в сообщении #225555 писал(а):

6. Обозначим точку пересечения на АО символом О₃.

И? Что дальше?

[Виктор Ширшов]

venco! Огромное Вам спасибо за чертёж.

Все три дуги СС₁, С₁А₁, А₁ А равны между собой.
Дуги СС₁ и А₁ А равны, так как равны углы СО₂С₁ и А₁О₃А и СО₂ = АО₃ (из чертежа это хорошо видно, полагаю, это не надо доказывать).
Если из точки С₁ провести параллельную прямую к ВС, то видно, что дуга С₁А₁ лежит против угла, равного СО₂С₁ и А₁О₃А.

venco, если возможно, дополните чертёж параллельной прямой к ВС и обозначьте точку пересечения с О₁А₁ и обозначьте её О₄

[venco]

Виктор Ширшов в сообщении #225608 писал(а):

Все три дуги СС₁, С₁А₁, А₁ А равны между собой.

Это вам и надо доказать.

Виктор Ширшов в сообщении #225608 писал(а):

Дуги СС₁ и А₁ А равны, так как равны углы СО₂С₁ и А₁О₃А и СО₂ = АО₃ (из чертежа это хорошо видно, полагаю, это не надо доказывать).

Видно или не видно - это не доказательство, но ладно, эти два угла действительно равны, так что будем считать это доказанным.

Виктор Ширшов в сообщении #225608 писал(а):

Если из точки С₁ провести параллельную прямую к ВС, то видно, что дуга С₁А₁ лежит против угла, равного СО₂С₁ и А₁О₃А.

Что вы имеете в виду под словом "против"?

Виктор Ширшов в сообщении #225608 писал(а):

venco, если возможно, дополните чертёж параллельной прямой к ВС и обозначьте точку пересечения с О₁А₁ и обозначьте её О₄

Легко.

[General]

Крайние дуги равны. А центральная им не равна - как уже и говорилось

[Виктор Ширшов]

venco. Ещё раз спасибо

venco в сообщении #225613 писал(а):

Что вы имеете в виду под словом "против"?

То, что третья дуга лежит против угла С₁О₄А₁, который равен углам СО₂С₁ и А₁О₃А.
Поэтому и в силу того, что С₁О₄=СО₂ дуга С₁А₁ равна дугам СС₁ и А₁ А.
Все три равных дуги составляют одну.
Извините, за столь скомканное доказательство.

[venco]

Виктор Ширшов в сообщении #225619 писал(а):

То, что третья дуга лежит против угла С₁О₄А₁, который равен углам СО₂С₁ и А₁О₃А.

Так и не понял, что означает "против", но ладно, С₁О₄А₁ действительно равен углам СО₂С₁ и А₁О₃А.

Виктор Ширшов в сообщении #225619 писал(а):

Поэтому и в силу того, что С₁О₄=СО₂ дуга С₁А₁ равна дугам СС₁ и А₁ А.

Согласен, С₁О₄=СО₂, но как из этого вы вывели равенство дуг С₁А₁ и СС₁?

[Виктор Ширшов]

venco в сообщении #225620 писал(а):

Согласен, С₁О₄=СО₂, но как из этого вы вывели равенство дуг С₁А₁ и СС₁?

Вижу, этого недостаточно для вывода. Судя по всему, центральная дуга не равна крайним, если только в приближении.

-- Пн июн 29, 2009 21:37:13 --

А как Вам такой способ, в основе которого лежит неизменность площади сектора.
Если увеличиваем радиус круга в 3 раза, должен уменьшиться во столько же раз угол, чтобы площадь сектора не изменилась

[General]

Кстати, может, стоит прикинуть, для углов меньших 30, какой метод делит на 3 части лучше: рассечение хорды, стягивающей дугу или ваш. Может, ваш окажется более точным приблизительным методом.

Меньших 30 -т.к. вы сами сказали, что из тупых углов можно вычитать 90, так ведь и из острых можно 60 или 30 вычесть, чтобы делить затем небольшой угол.

Площадь - а не приведёт ли это к другой неразрешимой задаче, аналогичной квадратуре круга.

[venco]

Виктор Ширшов в сообщении #225623 писал(а):

А как Вам такой способ, в основе которого лежит неизменность площади сектора.
Если увеличиваем радиус круга в 3 раза, должен уменьшиться во столько же раз угол, чтобы площадь сектора не изменилась

Так вы получите угол, равный центральному из предыдущего построения. Проблема в том, что новая дуга с втрое большим радиусом более гладкая, т.е. площадь нового сектора не ровно в 3 раза больше исходного.

[General]

Если угол не менять, то увеличенный сектор будет подобен старому. Вот только площадь его увеличтся в 9 раз при увеличении радиуса в 3 раза.

[Виктор Ширшов]

venco в сообщении #225637 писал(а):

Виктор Ширшов в сообщении #225623 писал(а):
А как Вам такой способ, в основе которого лежит неизменность площади сектора.
Если увеличиваем радиус круга в 3 раза, должен уменьшиться во столько же раз угол, чтобы площадь сектора не изменилась
Так вы получите угол, равный центральному из предыдущего построения. Проблема в том, что новая дуга с втрое большим радиусом более гладкая, т.е. площадь нового сектора не ровно в 3 раза больше исходного.

При геометрическом построении трисекции угла, следует радиус увеличить в 3 раза, а длину стягивающей хорды оставить прежней, т. к. при увеличении радиуса в 3 раза столько же раз увеличивается угловой масштаб.Извините за тавтологию.

[venco]

Виктор Ширшов в сообщении #225675 писал(а):

venco в сообщении #225637 писал(а):

Виктор Ширшов в сообщении #225623 писал(а):
А как Вам такой способ, в основе которого лежит неизменность площади сектора.
Если увеличиваем радиус круга в 3 раза, должен уменьшиться во столько же раз угол, чтобы площадь сектора не изменилась
Так вы получите угол, равный центральному из предыдущего построения. Проблема в том, что новая дуга с втрое большим радиусом более гладкая, т.е. площадь нового сектора не ровно в 3 раза больше исходного.

При геометрическом построении трисекции угла, следует радиус увеличить в 3 раза, а длину стягивающей хорды оставить прежней, т. к. при увеличении радиуса в 3 раза столько же раз увеличивается угловой масштаб.Извините за тавтологию.

Я это и имел в виду.
Не забывайте, что хоть длина хорды и прежняя, но длина дуги, а также площадь выпуклой части над хордой изменились, причём по-разному.

[Батороев]

General в сообщении #225627 писал(а):

Кстати, может, стоит прикинуть, для углов меньших 30, какой метод делит на 3 части лучше: рассечение хорды, стягивающей дугу или ваш. Может, ваш окажется более точным приблизительным методом.

Насколько мне представляется, то рассечением хорды, стягивающей дугу, можно добиться сколь угодно малой погрешности (естественно, если задача решается с точки зрения математики, а не черчения).
Делим угол пополам. Используя точку пересечения продолжения полученной биссектрисы с окружностью в качестве центра, рисуем новую окружность, проходящую через точки A и C (см. рис. venco). Таким образом, мы получаем центральный угол, вдвое меньший по сравнению с исходным.
Последовательно продолжая такие построения с двоичным уменьшением угла, мы приходим к углу, длина дуги которого бесконечно мало отличается от длины ее же хорды и при делении которой на три части получаем бесконечно малую погрешность. Обратными действиями приходим к делению исходного угла.

[General]

А можно по-другому, учитвая, что $\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+\dots=\frac{1}{3}$