Заряженная жидкость на линейке.

[Зиновий]

незванный гость писал(а):

:evil:

Зиновий писал(а):

Уточните пожалуйста, что именно Вы хотите узнать от меня конкретно?

Распределение заряда в трехмерном стержне длинной $L$ и радиуса $r, \ 0 < r \ll L$. Еще проще -- какой заряд находится в отрезке длинной $L/2$ расположенном в середине стержня по длине (с доказательством, разумеется) -- эта величина уже давно является источником разногласий на форуме...

Прежде чем ответить на Ваш вопрос, я хочу уточнить область претензий предложенных мной решений по первому варианту задачи.
В ней речь речь шла о распределении зарядов в одномерном пространстве.
Т.е. напряженность поля создаваемая каждым зарядом не зависит от удаленности от самого заряда.
Там все решилось достаточно просто.
В случае трехмерного пространства, напряженность поля, создаваемая единичным зарядом, зависит от удаленности от самого заряда по закону Кулона.
В этом случае, для отыскания устойчивого состояния, при группировании зарядов, надо искать точки нуля суммарного поля от окружающих зарядов на каждый заряд.
Я над этой задачей не думал, но подозреваю, что решение будет неоднородным, с максимумами плотности заряда у краев, в силу максимально асимметричного положения края.
Соответственно, минимум плотности заряда будет посередине отрезка.
Сдается мне, что задача не такая уж сложная и решается простым интегрированием поля.

[незваный гость]

Шимпанзе писал(а):

Сами заряды вне зависимости от их взаимного расположения имеют энергию.

Ну имеют. Ну и что? Она зависит от их взаимного расположения? Если нет -- вычитаем и забываем. Если да -- то как зависит?

Шимпанзе писал(а):

Аналогия с гравитационным полем в открытом пространстве, где тела «занимают» места в соответствии с минимум потенциальной энергией , видимо, здесь не приемлема. Заряды, можно сказать, «втиснуты» в линейку и о минимуме потенциальной энергии можно говорить только теоретически.

Почему? Любая конечная система дискретных зарядов вполне предсказуема. Пока у нас только проблемы с предельным переходом...

[незваный гость]

Зиновий писал(а):

Прежде чем ответить на Ваш вопрос, я хочу уточнить область претензий предложенных мной решений по первому варианту задачи.
В ней речь речь шла о распределении зарядов в одномерном пространстве.
Т.е. напряженность поля создаваемая каждым зарядом не зависит от удаленности от самого заряда.
Там все решилось достаточно просто.

Виноват-с. Я занимаюсь только трехмерной задачей. Никаких претензий к одномерному случаю не имею, поскольку непонимаю, да и не хочу понимать. Только трехмерный случай.

Зиновий писал(а):

В случае трехмерного пространства,
<...>
Я над этой задачей не думал, но подозреваю, что решение будет неоднородным, с максимумами плотности заряда у краев, в силу максимально асимметричного положения края.
Соответственно, минимум плотности заряда будет посередине отрезка.

Это качественное описание, с которым согласятся многие, если не все. Вопрос в количественных деталях. В частности, Аурелиано Буэндиа утверждает, что плотность будет настолько мала посередине, что даже станет нулем. А ваш покорный слуга с ним не согласен...

[Зиновий]

незванный гость писал(а):

:evil:
Это качественное описание, с которым согласятся многие, если не все. Вопрос в количественных деталях. В частности, Аурелиано Буэндиа утверждает, что плотность будет настолько мала посередине, что даже станет нулем. А ваш покорный слуга с ним не согласен...

Попробую прикинуть.

[Шимпанзе]

незванный гость писал(а):

:evi:

Шимпанзе писал(а):

Сами заряды вне зависимости от их взаимного расположения имеют энергию.

Ну имеют. Ну и что? Она зависит от их взаимного расположения? Если нет -- вычитаем и забываем. Если да -- то как зависит?

А в этом и вся беда. Собственная энергия заряда не зависит от положения и величины другого заряда, но зависит от величины собственного заряда и от координат на линейке. При непрерывном заряде величина заряда, как сами понимаете, зависит, как на зло, от плотности заряда, то есть искомой величины! Короче говоря, почти замкнутый круг.


Шимпанзе

[незваный гость]

Шимпанзе писал(а):

Собственная энергия заряда не зависит от положения и величины другого заряда, но зависит от величины собственного заряда и от координат на линейке.

Мы считаем все заряды одинаковыми. А как собственная энергия зависит от координаты на линейке и почему?

Шимпанзе писал(а):

При непрерывном заряде величина заряда, как сами понимаете, зависит, как на зло, от плотности заряда, то есть искомой величины!

При непрерывном заряде имеет смысл говорить о плотности заряда и суммарном заряде: $Q = \int \rho(x) {\rm d} x$. Суммарный заряд нормализует плотность; если он удвоится, то удвоится и плотность в каждой точке. В тоже время, его можно померять, скажем, интегрируя ток при разряде (есть и более точные методы, например, балистический гальванометр). В тоже время плотность (как функция координаты) остается искомой величиной.

[незваный гость]

Аурелиано Буэндиа,
Виноват, не очень внимательно (вернее, очень невнимательно) прочитал Ваш результат. Мой предыдущий ответ Вам -- совсем не в тему. Стыдно мне , грустно мне. Хотя рад признать ошибку

И все-таки, предельный переход мне по-прежнему непонятен... Похоже, напряженность поля сильно осцилирует между зарядами, что противоречит гладкости плотности.... В тоже время говорить о средней плотности дискретных зарядов -- вполне осмысленно. Она вполне физична (в отличии от бесконечно дробимой зарядной жидкости).

[Someone]

Б.М.Будак, А.А.Самарский, А.Н.Тихонов. Сборник задач по математической физике. "Наука", Москва, 1972.

Глава IV, задача 162.

Там рассматривается электростатическое поле заряженного эллипсоида, я перепишу результат для частного случая эллипсоида, задаваемого уравнением $\frac{x^2}{l^2}+\frac{y^2+z^2}{R^2}=1$. В связи с рассматриваемой задачей интересен случай $R\ll l$.
Если полный заряд эллипсоида равен $q$, то поверхностная плотность заряда получается следующей: $\sigma=\frac{q}{4\pi lR^2}\left(\frac{x^2}{l^4}+\frac{y^2+z^2}{R^4}\right)^{-\frac{1}{2}}$.
Из уравнения эллипсоида находим радиус сечения плоскостью $x=Const$: $r=\sqrt{y^2+z^2}=\frac{R}{l}\sqrt{l^2-x^2}$, откуда следует, что поверхностная плотность заряда на эллипсоиде равна $\sigma(x)=\frac{ql}{4\pi R\sqrt{l^4-(l^2-R^2)x^2}}$, а линейная - $\gamma(x)=2\pi r\sigma(x)=\frac{q}{2}\sqrt{\frac{l^2-x^2}{l^4-(l^2-R^2)x^2}}$.
Из анализа этих выражений следует, что поверхностная плотность при $x=0$ имеет минимум $\sigma_{\min}=\frac{q}{4\pi lR}$ и монотонно возрастает при увеличении $|x|$, достигая при $x=\pm l$ значения $\sigma_{\max}=\frac{q}{4\pi R^2}$; линейная плотность, напротив, при $x=0$ имеет максимум $\gamma_{\max}=\frac{q}{2l}, а при увеличении $|x|$ убывает, достигая при $x=\pm l$ значения $\gamma_{\min}=0$.

Осталось совсем "немного": выяснить, что же будет для цилиндра.

P.S. Между прочим, для эллипсоида $\lim\limits_{R\to 0^{+}}R\sigma(x)=\frac{q}{4\pi\sqrt{l^2-x^2}}$ и $\lim\limits_{R\to 0^{+}}\gamma(x)=\frac{q}{2l}$, но я не берусь утверждать, что то же самое будет и для цилиндра.

[Mopnex]

Ну вот, кое какие результаты. Спасибо Аурелиано Буэндиа и Someone.

Теперь еще раз для тех, кто в танке. Здесь уже давно не рассматривают случай одномерного пространства. Он тривиален - заряды соберутся на концах линейки, давайте больше об этом не упоминать. Трехмерный вариант сложен и высокомерная отсылка к учебникам выглядит смешной, если не сказать больше.

[ИСН]

Во! Вот наконец конструктив!
Итак, я смутно предполагал, а Аурелиано Буэндиа доказал, что для любой потенциальной функции, выпуклой вниз, минимум будет единственным. Представляется интересным (прошу прощения у тех, кто сочтёт, что всё это муть, не имеющая отношения к исходной задаче) понять, для каких потенциалов этот минимум (я о дискретном случае, да) будет нетривиальным (если тривиальный - это разбегание всех точек по концам). Хорошо было бы также для хоть какого-нибудь потенциала получить явное выражение для минимума, а потом устремить n\to\infty и перейти к плотности.
Факты, которые привёл Someone, тоже готовят нам сколько-то открытий чудных, но об этом я подумаю потом.

[Зиновий]

Mopnex писал(а):

Ну вот, кое какие результаты. Спасибо Аурелиано Буэндиа и Someone.

Теперь еще раз для тех, кто в танке. Здесь уже давно не рассматривают случай одномерного пространства. Он тривиален - заряды соберутся на концах линейки, давайте больше об этом не упоминать. Трехмерный вариант сложен и высокомерная отсылка к учебникам выглядит смешной, если не сказать больше.

Теперь, еще раз, для "которые с танка".
Я не принимал участия в обсуждении 3-х мерной задачи.
Все мое участие в дискуссии было ограничено, исключительно, заданной Вами задачей в 1-ом варианте.
"В танке" Вы ее взяли, или снаружи нашли, это вопрос к Вам, как к автору - "танкисту".
Что касается 3-х мерной задачи для цилиндра конечных размеров, то задача красивая и решение должно быть простое, что подтверждается материалом найденым Someone.
Думаю разберусь, когда появится свободное время.

Внимание.
Вопрос ко всем участникам дискуссии и интересующимся.
Есть уравнение Пуассона для скалярного потенциала в цилиндрических координатах.
Считаем потенциал поверхности константой.
Вопрос:
Есть ли решение этого уравнения в виде постоянного потенциала на поверхности цилиндра, при не нулевом распределении плотности заряда по поверхности цилиндра?
Радиус и длина цилиндра конечны.
Ответ должен быть мотивированным.

[Mopnex]

Зиновий, обратите внимание, что на восьмой странице обсуждения я вылез из танка и сделал соответствующее замечание по поводу формулировки задачи. Оно по тихоньку стало доходить до вас только сейчас, а страница то уже двенадцатая.

[Зиновий]

Mopnex писал(а):

Зиновий, обратите внимание, что на восьмой странице обсуждения я вылез из танка и сделал соответствующее замечание по поводу формулировки задачи. Оно по тихоньку стало доходить до вас только сейчас, а страница то уже двенадцатая.

Вам только показалось, что Вы вылезли из танка.
Обратите внимание на то, о чем продолжалась дискуссия между мной и Someone.
В прочих обсуждениях, я не принимал участия.
Не надо свои "болячки" перекладывать на других.

Mopnex, Зиновий, не переходите на личности //photon

[Mopnex]

Т.е. остальных сообщений вы не читали. Ну хоть это выяснили.

[Зиновий]

Mopnex писал(а):

Т.е. остальных сообщений вы не читали. Ну хоть это выяснили.

Читал, но в обсуждение не участвовал.