продольные колебания в стержне

[ProteC]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Теперь нормируйте. Дальше выпишите ДУ для $T_n(t)$. Начальные условия можно найти так

$$ V(x,0)=-W(x,0), \ \ \ \ V_t(x,0)=-W_t(x,0) $$

поэтому

$$ \sum_m X_m(x)T_m(0) =-W(x,0), \ \ \ \ \sum_m X_m(x)T'_n(0)=-W_t(x,0) $$

Отсюда
$T_n(0)=-\frac{\int_0^l W(x,0)X_n(x)dx}{\int_0^l|X_n(x)|^2dx}$, аналогично для $T'_n(0)$.
Итак, вычислите назальные условия и найдите $T_n(t)$.

пока правильно?
$\int_0^l |X_n(x)|^2=l/2$
$V(x,0)=-A\sin\omega x/(\omega\cos\omega l)$
$V_t(x,0)=0$
$T_n(0)=-\frac{\int_0^l A\sin\omega x/(\omega\cos\omega l) \cos\((n+1/2)\pi x)/ldx}{l/2}$

[Аурелиано Буэндиа]

ProteC писал(а):

пока правильно?
$\int_0^l |X_n(x)|^2=l/2$
$V(x,0)=-A\sin\omega x/(\omega\cos\omega l)$
$V_t(x,0)=0$
$T_n(0)=-\frac{\int_0^l A\sin\omega x/(\omega\cos\omega l) \cos\((n+1/2)\pi x)/ldx}{l/2}$

Почти. Я исправил ошибку (опечатка???)
$T_n(0)=-\frac{\int_0^l A\sin\omega x/(\omega\cos\omega l) \cos[(n+1/2)\pi x/l]dx}{l/2}$

[ProteC]

я просто не знал как написать
$T'_n(0)$ ищем также как $T_n(0)$, только подставляем $-W_t(x,0)$ и как найти T_n(t)?

[Аурелиано Буэндиа]

ProteC писал(а):

я просто не знал как написать
$T'_n(0)$ ищем также как $T_n(0)$, только подставляем $-W_t(x,0)$ и как найти T_n(t)?

А помните, когда Вы разделяли переменные $x$ и $t$ у Вас получилось ДУ 2-го порядка для $T_n(t)$? По крайней мере, должно было получиться. У Вас для каждого $T_n(t)$ есть ДУ и начальные условия для $T_n(0)$ и $T'_n(0)$. Теперь интегрируйте это уравнение в найдеными начальными данными. А после подставляйте все в $U(x,y)$. И у Вас получится ответ в виде ряда и $W(x,t)$

[ProteC]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

А помните, когда Вы разделяли переменные $x$ и $t$ у Вас получилось ДУ 2-го порядка для $T_n(t)$? По крайней мере, должно было получиться. У Вас для каждого $T_n(t)$ есть ДУ и начальные условия для $T_n(0)$ и $T'_n(0)$. Теперь интегрируйте это уравнение в найдеными начальными данными. А после подставляйте все в $U(x,y)$. И у Вас получится ответ в виде ряда и $W(x,t)$

и подставлять не в $U(x,y)$, а в $U(x,t)$ ?
$T''_n(t)+a^2\lambda^2 T_n(t)=0$ вот такое ДУ получилось
$T_n(0)$ посчитатл в маткаде, получилось огромненькое выражение...
а $T'_n(0)$ получилось равное 0...
так и не понял как искать $T_n(t)$

[ProteC]

Другими словами:
$U(x,t)=\sum_n T_n(0)\cos\frac{a(n+1/2)\pi t}{l} X_n(x) + W(x,t)$ так?

[Аурелиано Буэндиа]

ProteC писал(а):

и подставлять не в $U(x,y)$, а в $U(x,t)$ ?
$T''_n(t)+a^2\lambda^2 T_n(t)=0$ вот такое ДУ получилось
$T_n(0)$ посчитатл в маткаде, получилось огромненькое выражение...
а $T'_n(0)$ получилось равное 0...
так и не понял как искать $T_n(t)$

Похоже Вы не очень разобрались с разделением переменных. Нужно было делать так

$$ V_{xx}-V_{tt}=0 $$

подставляем $V(x,t)=X(x)T(t)$ и делим на $X(x)T(t)$ получаем

$$ \frac{X''(x)}{X(x)}=\frac{T''(t)}{T(t)} $$

такое равенство может выполняться только тогда, когда

$$ \frac{X''(x)}{X(x)}=\frac{T''(t)}{T(t)}=\hbox{const}=-\lambda^2 $$

поэтому уравнение для $T(t)$

$$ T_n''(t)+\lambda_n^2 T_n(t)=0. $$

плюс граничные условия

$$ T_n(0)=..., \ \ T_n'(0)=0 $$

Очевидно, что решение имеет вид:

$$ T_n(t)=T(0)\cos(\lambda_n t) $$

ну а $\lambda$ Вы уже нашли.
Ответ записывается в виде:

$$ U(x,t)=\sum_{n} X_n(x)T_n(t) +W(x,t) $$

[ProteC]

в принципе в последнем посте, я так и написал конечный вывод в разложенном виде...
и еще вопросик, надеюсь последний , \omega надо ли находить и как?
Аурелиано Буэндиа огромнейшее Вам спасибо!!!

[Аурелиано Буэндиа]

ProteC писал(а):

$\omega$ надо ли находить и как?

Нет, $\omega$ -- частота с которой мы дергаем за конец стержня. Теоретически она может быть любой. Поэтому $\omega$ должна быть дана в условии.

Удачи!!!

[!]

Люди добрые помогите пожалуйста.
есть задача:
"Найти продольные колебания упругого стержня со свободными концами, если нач. скорости и нач. смещения в продольном направлении произвольны. Учесть возможность равномерного прямолинейного движения стержня."
В книге Будак, Самарский , Тихонов нашел такой ответ:
U(x,t)= $\frac 1 l$ \int_{0}^{\l} \left[ \phi(z) + t \psi(z) \right]dz + $$\sum\limits_{k=1}^\infty \left(A_k \cos \frac {a k \pi t} l + B_k \sin \frac {a k \pi t} l \right) \cos \frac {k \pi x} l
Впринципе задачу решил, получил такой ответ только без интеграла:
$\frac 1 l$ \int_{0}^{\l} \left[ \phi(z) + t \psi(z) \right]dz
незнаю откуда он берется, подскажите пожалуйста

[Александр Козачок]

Уважаемые участники дискуссии!
К сожалению, Вы занимались решением задачи при физически бессмысленных начальных условиях.
В начальный момент t=0 к свободному концу стержня приложена сила F (максимальная). Но эта сила может
возникнуть только в том случае, когда есть деформация и, следовательно, перемещения. Причем, перемещения должны быть неоднородными (градиент). Эти перемещения должны происходить с какой-то скоростью. Вот эти-то правдоподобные начальные условия надо и сформулировать. А у Вас и начальные перемещения, и начальные скорости равны нулю при максимальном значении силы, которая при таких условиях возникнуть не может!? Поэтому у Вас и получился неправдоподобный результат. Каким этот результат должен быть? Здесь требуются дополнительные исследования. Посмотрите, как он может выглядеть при воздействии синусоидального возмущения и при наличии массы на свободном конце, которую можно принять равной нулю (http://a-kozachok1.narod.ru ссылка 3.Ч.2, п.2.5.9,стр.67-69).
С уважением Александр Козачок

[Александр Козачок]

Глубокоуважаемые участники завершенной дискуссии!

Проблема, обсуждение которой мы уже, казалось бы, завершили в 2006 г., совершенно неожиданно выплыла в отдаленной от обсуждаемой области знаний. Постановки классических задач о колебаниях стержня, как и многие задачи «БОЛЬШОЙ ФИЗИКИ», оказалось, базируются на порочном (во многих случаях) принципе дальнедействия, что и является причиной появления физически бессмысленных решений этих задач, которые вошли в учебники. Поэтому надеюсь, что обсуждение проблемы, поднятой на форуме РАН "Обсуждение новостей и публикаций", Принцип дальнедействия в XXI веке - позор науки! http://www.ras.ru/forum/forum_messages_ ... viewpage=1 Вами будет продолжено в расширенной постановке с привлечением более широкого круга участников.

С уважением, Александр Козачок

[MOPO3OB]

Цитата:

Постановки классических задач о колебаниях стержня, как и многие задачи «БОЛЬШОЙ ФИЗИКИ», оказалось, базируются на порочном (во многих случаях) принципе дальнедействия, что и является причиной появления физически бессмысленных решений этих задач, которые вошли в учебники.

Вообще-то это откровенная реклама .... бессмысленох ламерских дискуссий.
Бессмысленно говорить о бессмысленности принципа дальнодействия в динамических задачах.... ничего подобного тут нет

Добавлено спустя 4 минуты 42 секунды:

по теме
полезно посмотрить, то что не найдешь в учебниках по УрМатФизу

"Волновые уравнения акустики. скалярные. одномерные"
http://phorum.lebedev.ru/viewtopic.php?t=1587

Вообще-то колебания стержня многообразнее и намного сложнее электромагнитной задачи (круглый волновод).

Добавлено спустя 6 минут 55 секунд:

для движения стержня под нейсивием силы (Кольский. Воны напряжения в тврдых телах. 1955)

[Александр Козачок]

Глубокоуважаемый Валерий Борисович!

1. Я полагаю, что Ваши хлесткие эпитеты, навеянные вполне понятными для меня эмоциями, следовало бы подкрепить хоть какими-то аргументами. К сожалению, они у Вас отсутствуют. И, тем не менее, я надеюсь, что приведенная ниже выдержка из учебного пособия «Парадоксы механики сплошных сред…» на моем сайте поможет Вам без дополнительных разъяснений (если потребуются, то разъяснения я дам) понять, что именно пороки принципа дальнедействия являются причиной описанных в пособии «парадоксов», а на самом деле физически бессмысленных решений классических задач математической физики, вошедших как типовые в учебники многих дисциплин в том числе и акустики.

2.1. Невероятные физические недоразумения традиционных математических постановок классических задач о колебаниях упругих тел
2.1.1. Вводные замечания
Аналогии разнообразных волновых движений, наблюдаемых в повседневной практике, заслуженно занимают прочное место в формировании научных представлений о характере распространения волн в упругих средах. При этом хорошо известно [1], что передний фронт упругой волны движется с определенной скоростью , именуемой скоростью звука в данной среде. Такие, вполне правдоподобные представления, казалось бы, должны привести к выводу, что при математической постановке задачи о распространении волн в ограниченном объеме вначале необходимо рассматривать две, принципиально отличающиеся по условиям нагружения, области среды – возмущенную и невозмущенную. Подобные постановки относятся к ряду чрезвычайно сложных задач о деформировании взаимодействующих упругих тел и с подвижными границами, и с переменной массой. Поэтому исходные уравнения, а также начальные и граничные условия, должны формулироваться для связанных упругих полей переменных масс возмущенной (динамической) и невозмущенной (статической) областей. На самом же деле при математической постановке многих таких задач, ставших уже классическими и вошедших в учебники, почему-то сложилась труднообъяснимая ситуация. В научной и в учебной литературе в общем-то не отрицается, а даже подчеркивается [1, 3] упомянутая выше картина распространения возмущений. И тем не менее, там же [2, 3 и др.] упущена из виду необходимость учета этой картины путем обособленного рассмотрения возмущенной области, расширяющейся за счет присоединения массы из невозмущенной.

2. Именно такого типа задачи с упомянутыми выше недоразумениями обсуждались по этой теме форума. Вы же противопоставили другую задачу без четкой математической постановки, при решении которой ее автором сделана попытка отступить от повсеместно используемого принципа дальнедействия. Но, несмотря на это, судя по приведенной картинке, решение получилось тоже физически бессмысленным. Судите сами, конец стержня перемещается без ускорений с периодическими остановками на некоторое время.

3. Я надеюсь, что Ваш огромный опыт участия в форумах и бесспорный дар всезнайки позволит и Вам, и многим другим представителям и официальной, и альтернативной физики, разобравшись в этих учебных задачах, выработать общую позицию по актуальным проблемам «БОЛЬШОЙ ФИЗИКИ» и совместно внести необходимые изменения в учебники. Я не понимаю, почему такие предложения поступают преимущественно от представителей альтернативной физики…http://narod.yandex.ru/guestbook/?owner=35772599.. Уверен, что это мое предложение - более почетная и благородная миссия, чем обвинять друг друга в невежестве и в безграмотности. И давайте будем исходить из принципа мудрецов: «не стыдно чего-то не знать, стыдно не хотеть учиться», а в данном случае стыдно не хотеть переучиваться и в первую очередь преподавателям многих дисциплин, для которых эти физически бессмысленные задачи на протяжении уже более столетия являются аксиомой.

5. Я также надеюсь, что преподаватели МЕХМАТА и ФИЗМАТА МГУ и других российских вузов последуют примеру украинских и белорусских коллег…http://continuum-paradoxes.narod.ru/append.rus.doc……..и все-таки сформулируют свою позицию по проблеме, которая, судя по высказываниям на форуме…http://www.scientific.ru/dforum/altern/1177559118…. приобретает такие серьезные масштабы и поэтому требует решения на межгосударственном уровне. Это позволит объединить усилия научной элиты СНГ и направить эти усилия на пересмотр и создание совершенно новых общих учебников по многим дисциплинам для ВУЗов СНГ. К тому же такая совместная работа открывает совершенно новые направления фундаментальных исследований не только в механике сплошных сред, но и в других ветвях физики. Так неужели МГУ останется безразличным, не сможет взять инициативу в свои руки и откажется от почетной миссии возглавить этот процесс, который уже стихийно начался?

С уважением, Александр Козачок

[Парджеттер]

Александр Козачок писал(а):

преподаватели МЕХМАТА и ФИЗМАТА МГУ и других российских вузов

Что-то вы много говорите про МГУ, а не знаете, что физмата уже страшно сказать, сколько десятков лет в МГУ не существует. Уже в момент вашего рождения, скорее всего, не было такого факультета. Это, конечно, оффтоп небольшой, но глаза эта фраза немного режет.