Кольца - задачи

[VAL]

steph в сообщении #220477 писал(а):

Вообщем и целом все эти определения из учебника : Методическое пособие "Факториальные кольца" , Мурзикова за 2002 год уральскгого пед института, и из учебника ван дер Вардена . Мне кажется они врят-ли пишут ахинею.

Ван дер Варден точно не пишет. Насчет г-на Мурзикова таких гарантий дать не могу. Не исключено, что он допустил в пособии небрежность. Но гораздо более вероятным мне представляется, что это Вы все переврали при цитировании.

Цитата:

Теперь про $Z\sqrt{2}$, вот здесь , написано про числа вида $a+b\sqrt{2}$ , и сказаны , что они не эвклидовы.http://www.math.ru/dic/24?n=25&page=2&o=0&o_by=title.

Скажу Вам честно. Это не единственная глупость, которую можно найти в Интернете. Ведь кто-нибудь может с тем же успехом найти в поисковике Ваши письма и утверждать на их основании, что в теореме о делении с остатком идет речь о делении на ноль.
Бодигрим уже привел Вам несколько более надежных ссылок. Могу добавить еще с десяток книжек авторитетных авторов, в которых утверждается, что $Z\sqrt{2}$ - евклидово.

Цитата:

Вот взял норму $ |a^2 - 2b^2|$. Начинаю делать по определению
1-$a+b\sqrt{2}=e$ ----> e(a)>=e(b)--- вполне возможно
2.$a+a\sqrt{2}=(b+b\sqrt{2})q+r$ - если $a=bq$ , то $r=0$
$e(r) <e(b)$-как тогда это доказать ?????????????????????????????????
$Z\sqrt{-6}$ -не эвклидово , а почему , как , откуда , на каком основании ,исходя их каких теорем, я так и не понял , даже вдумчиво перечитав по двадцатому разу все посты.

Норму взяли хорошую. А вот что Вы дальше делаете, я совсем не понимаю!
...Хотя, пожалуй, догадываюсь и уже писал Вам:

Цитата:

У Вас тут, как минимум, какая-то путаница в обозначениях. В последней формуле a и b - делимое и делитель, а в предыдущих - коэффициенты одного элемента.

Примерно то же Вы и сейчас продолжаете делать. Понимаете, буковкой $a$ в формулировке теоремы обозначено не целое число, а элемент некого кольца. И это элемент вполне может иметь вид $x+y\sqrt 2$, а не только $x+x\sqrt 2$.

[steph]

Основываясь на двух замечательных статьях http://www.cut-the-knot.org/arithmetic/int_domain3.shtml#(4),http://www.cut-the-knot.org/arithmetic/int_domain2.shtml#fact ,которые были найдены по Вашей ссылке.
собственно вот
Пусть $\frac{A}{B}=x+y \cdot sqrt{2}$, где $x,y \in Q$. От челого числа , рационально находится на расстоянии не больше $\frac{1}{2}$. Пусть $|x-r|<= \frac{1}{2},|y-s|<= \frac{1}{2}$.
Пусть $Q=r+s \cdot sqrt{2},R=B(x-r)+B(y-s)\sqrt{2}$ , тогда получим следующее
$x+b\cdot \sqrt{2}= B(r+s\cdot \sqrt{2})+B(x-r)+B(y-s)\sqrt{2}$. Хотя откуда равенство , немного не понятно.Теперь надо проверить $N(R)<N(B)$
$N(R)=N(B)\cdot ((x-r)^2-2(y-s)^2)$
$|(x-r)^2-2(y-s)^2|<=|(x-r)^2|+|2(y-s)^2|<=(\frac{1}{2})^2+2 \cdot (\frac{1}{2})^2=\frac{3}{4}<1$---->$N(R)<N(B), что и требовалось доказать.
Теперь надо доказать , что $Z[\sqrt{-6}]$ - не факториально , то есть в нем нет однозначного разложения.Что не понятно, тк любое целое число может быть представлено в виде произведения простых чисел.

[Бодигрим]

Попытаюсь расшифровать. Если что-то пойму не так - поправьте, пожалуйста.

Вы взяли произвольные $A$, $B$ из $\mathbb{Z}[\sqrt2]$, разделили их друг на друга в кольце рациональных $\mathbb{Q}[\sqrt2]$, получив $x+y\sqrt2$, нашли ближайший к частному элемент $r+s\sqrt2$ из $\mathbb{Z}[\sqrt2]$.

Цитата:

$x+b\cdot \sqrt{2}= B(r+s\cdot \sqrt{2})+B(x-r)+B(y-s)\sqrt{2}$

Наверное, $x+y\cdot \sqrt{2}= B(r+s\cdot \sqrt{2})+B(x-r)+B(y-s)\sqrt{2}$.

Цитата:

Хотя откуда равенство , немного не понятно.

Раскройте скобки, все получится.

Цитата:

$N(R)=N(B)\cdot ((x-r)^2-2(y-s)^2)$

Не забывайте про модуль: $N(R)=N(B)\cdot |(x-r)^2-2(y-s)^2|$.

Все, дальше, по-моему, правильно. Ура, с кольцом $\mathbb{Z}[\sqrt2]$ разобрались.

-- 01:15 08.06.2009 --

steph в сообщении #220519 писал(а):

Теперь надо доказать , что $Z[\sqrt{-6}]$ - не факториально , то есть в нем нет однозначного разложения.Что не понятно, тк любое целое число может быть представлено в виде произведения простых чисел.

Так в этом же кольце есть не только целые числа в традиционном смысле. Вы начинали правильно с примером $(4-\sqrt{-6})(4+\sqrt{-6})=(4-i \sqrt{6})(4+i \sqrt{6})=22=11\cdot2$. Осталось сказать, что в этом кольце естественна норма $N(a+b\sqrt{-6})=a^2+6b^2$, обладающая мультипликативным свойством: $N(ab)=N(a)N(b)$, посчитать эту норму от $4-\sqrt{-6}$, $4+\sqrt{-6}$, 2 и 11 и вот тут уже воспользоваться единственностью разложения в простые множители над $\mathbb{Z}$ (значения нормы - как раз оттуда), чтобы доказать неразложимость этих элементов как элементов кольца $\mathbb{Z}[\sqrt{-6}]$.

[steph]

Получается , что $2 \ne a^2+6b^2,\forall a,b $.Тк норма будет всегда положительная. Поэтому эти элементы не разложимы

[Бодигрим]

Вы доказали только что, что в кольце $\mathbb{Z}[\sqrt{-6}]$ нет элемента с нормой 2. Правильно доказали. А как отсюда следует неразложимость указанных выше элементов? (Она-то следует для трех из них - но я не уверен, что вы понимаете как.)

[steph]

Бодигрим в сообщении #220530 писал(а):

А как отсюда следует неразложимость указанных выше элементов? (Она-то следует для трех из них - но я не уверен, что вы понимаете как.)

Действительно не понимаю , о каких именно элементах идет речь?

[Бодигрим]

Бодигрим в сообщении #220520 писал(а):

Осталось сказать, что в этом кольце естественна норма $N(a+b\sqrt{-6})=a^2+6b^2$, обладающая мультипликативным свойством: $N(ab)=N(a)N(b)$, посчитать эту норму от $4-\sqrt{-6}$, $4+\sqrt{-6}$, 2 и 11 и вот тут уже воспользоваться единственностью разложения в простые множители над $\mathbb{Z}$ (значения нормы - как раз оттуда), чтобы доказать неразложимость этих элементов как элементов кольца $\mathbb{Z}[\sqrt{-6}]$.

-- 03:38 08.06.2009 --

Найдите нормы всех этих четырех элементов.

[steph]

$4-\sqrt{-6}=16+6=22, 4+\sqrt{-6}=16+6=22$
для $2$- нормы нету
для $11$- тоже нету.

[Бодигрим]

Вы позабывали нарисовать значки нормы - получилось очень странное равенство, ну да черт с ним.

То есть как это "нету"? Норма же определена для всех элементов кольца. Норма 2 - 4, норма 11 - 121. А вот элементов кольца, чья норма была бы равна 11 или 2 нет.

Как отсюда можно вывести неразложимость, скажем, $4-\sqrt{-6}$? Его норма - 22. Если $4-\sqrt{-6}$ удастся представить в виде произведения двух элементов из кольца, то в силу $N(ab)=N(a)N(b)$ и 22 окажется представленным в виде произведения двух значений норм. Но единственное нетривиальное разложение 22 - это $2\cdot11$, а элементов с нормами 11 или 2 в нашем кольце нет. Значит, $4-\sqrt{-6}$ - неразложимый элемент кольца.

Аналогично доказываете неразложимость оставшихся трех чисел и на основании равенства $(4-\sqrt{-6})(4+\sqrt{-6})=11\cdot2$ говорите, что единственности разложения на множители в этом кольце нет.

[steph]

Понятно теперь , большое спасибо за разъяснение!!
только наверное меня клинит , но я заново решая пример 2-мя способами
1-$(4-\sqrt{-6})(4+\sqrt{-6})=(4-i\cdot sqrt{6})(4+i\cdot sqrt{6})=16-(i^{2})6=16+6=22$

2-$(4-\sqrt{-6})(4+\sqrt{-6})=4\cdot 4+4\cdot \sqrt{-6}-4\cdot \sqrt{-6}-\sqrt{-6}\cdot \sqrt{-6}=16-\sqrt{-6\cdot (-6)}=16-\sqrt{36}=16-6=10$

Как бы получаю 2-а разных ответа...

[Бодигрим]

Во 2-м способе вы неправильно выбрали знак квадратного корня. Правильно: $\sqrt{-6}\sqrt{-6}=-6$, а не $+6$ и поэтому всю выражение равно не $16-6=10$, а $16+6=22$.

[steph]

Тут вот вопрос возник $x,y,r,s$ это вообще что за числа , и зачем нам искать ближайшее к $x,y$.??

[steph]

и вот не понятно $N(R)=N(B)\cdot |(x-r)^2-2(y-s)^2|$ - меньше $1$, почему отсюда следует $N(R)<N(B)$???
Объясните пожалуйста.

[Бодигрим]

steph в сообщении #221471 писал(а):

Тут вот вопрос возник $x,y,r,s$ это вообще что за числа , и зачем нам искать ближайшее к $x,y$.??

$x,y\in \mathbb{Q}$, $r,s\in \mathbb{Z}$. Зачем - чтобы доказать, что норма остатка меньше нормы делителя.

steph в сообщении #221696 писал(а):

и вот не понятно $N(R)=N(B)\cdot |(x-r)^2-2(y-s)^2|$ - меньше $1$, почему отсюда следует $N(R)<N(B)$???
Объясните пожалуйста.

Если положительное число умножить на число, меньшее 1, то получится число меньшее первоначального.