2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3, 4
 
 Re: Кольца.
Сообщение08.06.2009, 00:27 
steph в сообщении #220477 писал(а):
Вообщем и целом все эти определения из учебника : Методическое пособие "Факториальные кольца" , Мурзикова за 2002 год уральскгого пед института, и из учебника ван дер Вардена . Мне кажется они врят-ли пишут ахинею.
Ван дер Варден точно не пишет. Насчет г-на Мурзикова таких гарантий дать не могу. Не исключено, что он допустил в пособии небрежность. Но гораздо более вероятным мне представляется, что это Вы все переврали при цитировании.
Цитата:
Теперь про $Z\sqrt{2}$, вот здесь , написано про числа вида $a+b\sqrt{2}$ , и сказаны , что они не эвклидовы.http://www.math.ru/dic/24?n=25&page=2&o=0&o_by=title.
Скажу Вам честно. Это не единственная глупость, которую можно найти в Интернете. Ведь кто-нибудь может с тем же успехом найти в поисковике Ваши письма и утверждать на их основании, что в теореме о делении с остатком идет речь о делении на ноль.
Бодигрим уже привел Вам несколько более надежных ссылок. Могу добавить еще с десяток книжек авторитетных авторов, в которых утверждается, что $Z\sqrt{2}$ - евклидово.
Цитата:
Вот взял норму $ |a^2 - 2b^2|$. Начинаю делать по определению
1-$a+b\sqrt{2}=e$ ----> e(a)>=e(b)--- вполне возможно
2.$a+a\sqrt{2}=(b+b\sqrt{2})q+r$ - если $a=bq$ , то $r=0$
$e(r) <e(b)$-как тогда это доказать ?????????????????????????????????
$Z\sqrt{-6}$ -не эвклидово , а почему , как , откуда , на каком основании ,исходя их каких теорем, я так и не понял , даже вдумчиво перечитав по двадцатому разу все посты.
Норму взяли хорошую. А вот что Вы дальше делаете, я совсем не понимаю!
...Хотя, пожалуй, догадываюсь и уже писал Вам:
Цитата:
У Вас тут, как минимум, какая-то путаница в обозначениях. В последней формуле a и b - делимое и делитель, а в предыдущих - коэффициенты одного элемента.
Примерно то же Вы и сейчас продолжаете делать. Понимаете, буковкой $a$ в формулировке теоремы обозначено не целое число, а элемент некого кольца. И это элемент вполне может иметь вид $x+y\sqrt 2$, а не только $x+x\sqrt 2$.

 
 
 
 Re: Кольца.
Сообщение08.06.2009, 00:47 
Основываясь на двух замечательных статьях http://www.cut-the-knot.org/arithmetic/int_domain3.shtml#(4),http://www.cut-the-knot.org/arithmetic/int_domain2.shtml#fact ,которые были найдены по Вашей ссылке.
собственно вот
Пусть $\frac{A}{B}=x+y \cdot sqrt{2}$, где $x,y \in Q$. От челого числа , рационально находится на расстоянии не больше $\frac{1}{2}$. Пусть $|x-r|<= \frac{1}{2},|y-s|<= \frac{1}{2}$.
Пусть $Q=r+s \cdot sqrt{2},R=B(x-r)+B(y-s)\sqrt{2}$ , тогда получим следующее
$x+b\cdot \sqrt{2}= B(r+s\cdot \sqrt{2})+B(x-r)+B(y-s)\sqrt{2}$. Хотя откуда равенство , немного не понятно.Теперь надо проверить $N(R)<N(B)$
$N(R)=N(B)\cdot ((x-r)^2-2(y-s)^2)$
$|(x-r)^2-2(y-s)^2|<=|(x-r)^2|+|2(y-s)^2|<=(\frac{1}{2})^2+2 \cdot (\frac{1}{2})^2=\frac{3}{4}<1$---->$N(R)<N(B), что и требовалось доказать.
Теперь надо доказать , что $Z[\sqrt{-6}]$ - не факториально , то есть в нем нет однозначного разложения.Что не понятно, тк любое целое число может быть представлено в виде произведения простых чисел.

 
 
 
 Re: Кольца.
Сообщение08.06.2009, 01:08 
Аватара пользователя
Попытаюсь расшифровать. Если что-то пойму не так - поправьте, пожалуйста.

Вы взяли произвольные $A$, $B$ из $\mathbb{Z}[\sqrt2]$, разделили их друг на друга в кольце рациональных $\mathbb{Q}[\sqrt2]$, получив $x+y\sqrt2$, нашли ближайший к частному элемент $r+s\sqrt2$ из $\mathbb{Z}[\sqrt2]$.
Цитата:
$x+b\cdot \sqrt{2}= B(r+s\cdot \sqrt{2})+B(x-r)+B(y-s)\sqrt{2}$

Наверное, $x+y\cdot \sqrt{2}= B(r+s\cdot \sqrt{2})+B(x-r)+B(y-s)\sqrt{2}$.
Цитата:
Хотя откуда равенство , немного не понятно.

Раскройте скобки, все получится.
Цитата:
$N(R)=N(B)\cdot ((x-r)^2-2(y-s)^2)$

Не забывайте про модуль: $N(R)=N(B)\cdot |(x-r)^2-2(y-s)^2|$.

Все, дальше, по-моему, правильно. Ура, с кольцом $\mathbb{Z}[\sqrt2]$ разобрались.

-- 01:15 08.06.2009 --

steph в сообщении #220519 писал(а):
Теперь надо доказать , что $Z[\sqrt{-6}]$ - не факториально , то есть в нем нет однозначного разложения.Что не понятно, тк любое целое число может быть представлено в виде произведения простых чисел.

Так в этом же кольце есть не только целые числа в традиционном смысле. Вы начинали правильно с примером $(4-\sqrt{-6})(4+\sqrt{-6})=(4-i \sqrt{6})(4+i \sqrt{6})=22=11\cdot2$. Осталось сказать, что в этом кольце естественна норма $N(a+b\sqrt{-6})=a^2+6b^2$, обладающая мультипликативным свойством: $N(ab)=N(a)N(b)$, посчитать эту норму от $4-\sqrt{-6}$, $4+\sqrt{-6}$, 2 и 11 и вот тут уже воспользоваться единственностью разложения в простые множители над $\mathbb{Z}$ (значения нормы - как раз оттуда), чтобы доказать неразложимость этих элементов как элементов кольца $\mathbb{Z}[\sqrt{-6}]$.

 
 
 
 Re: Кольца.
Сообщение08.06.2009, 01:41 
Получается , что $2 \ne a^2+6b^2,\forall a,b $.Тк норма будет всегда положительная. Поэтому эти элементы не разложимы

 
 
 
 Re: Кольца.
Сообщение08.06.2009, 03:18 
Аватара пользователя
Вы доказали только что, что в кольце $\mathbb{Z}[\sqrt{-6}]$ нет элемента с нормой 2. Правильно доказали. А как отсюда следует неразложимость указанных выше элементов? (Она-то следует для трех из них - но я не уверен, что вы понимаете как.)

 
 
 
 Re: Кольца.
Сообщение08.06.2009, 03:29 
Бодигрим в сообщении #220530 писал(а):
А как отсюда следует неразложимость указанных выше элементов? (Она-то следует для трех из них - но я не уверен, что вы понимаете как.)

Действительно не понимаю , о каких именно элементах идет речь?

 
 
 
 Re: Кольца.
Сообщение08.06.2009, 03:37 
Аватара пользователя
Бодигрим в сообщении #220520 писал(а):
Осталось сказать, что в этом кольце естественна норма $N(a+b\sqrt{-6})=a^2+6b^2$, обладающая мультипликативным свойством: $N(ab)=N(a)N(b)$, посчитать эту норму от $4-\sqrt{-6}$, $4+\sqrt{-6}$, 2 и 11 и вот тут уже воспользоваться единственностью разложения в простые множители над $\mathbb{Z}$ (значения нормы - как раз оттуда), чтобы доказать неразложимость этих элементов как элементов кольца $\mathbb{Z}[\sqrt{-6}]$.


-- 03:38 08.06.2009 --

Найдите нормы всех этих четырех элементов.

 
 
 
 Re: Кольца.
Сообщение08.06.2009, 04:22 
$4-\sqrt{-6}=16+6=22,
4+\sqrt{-6}=16+6=22$
для $2$- нормы нету
для $11$- тоже нету.

 
 
 
 Re: Кольца.
Сообщение08.06.2009, 11:20 
Аватара пользователя
Вы позабывали нарисовать значки нормы - получилось очень странное равенство, ну да черт с ним.

То есть как это "нету"? Норма же определена для всех элементов кольца. Норма 2 - 4, норма 11 - 121. А вот элементов кольца, чья норма была бы равна 11 или 2 нет.

Как отсюда можно вывести неразложимость, скажем, $4-\sqrt{-6}$? Его норма - 22. Если $4-\sqrt{-6}$ удастся представить в виде произведения двух элементов из кольца, то в силу $N(ab)=N(a)N(b)$ и 22 окажется представленным в виде произведения двух значений норм. Но единственное нетривиальное разложение 22 - это $2\cdot11$, а элементов с нормами 11 или 2 в нашем кольце нет. Значит, $4-\sqrt{-6}$ - неразложимый элемент кольца.

Аналогично доказываете неразложимость оставшихся трех чисел и на основании равенства $(4-\sqrt{-6})(4+\sqrt{-6})=11\cdot2$ говорите, что единственности разложения на множители в этом кольце нет.

 
 
 
 Re: Кольца.
Сообщение09.06.2009, 07:34 
Понятно теперь , большое спасибо за разъяснение!!
только наверное меня клинит , но я заново решая пример 2-мя способами
1-$(4-\sqrt{-6})(4+\sqrt{-6})=(4-i\cdot sqrt{6})(4+i\cdot sqrt{6})=16-(i^{2})6=16+6=22$

2-$(4-\sqrt{-6})(4+\sqrt{-6})=4\cdot 4+4\cdot \sqrt{-6}-4\cdot \sqrt{-6}-\sqrt{-6}\cdot \sqrt{-6}=16-\sqrt{-6\cdot (-6)}=16-\sqrt{36}=16-6=10$

Как бы получаю 2-а разных ответа...

 
 
 
 Re: Кольца.
Сообщение09.06.2009, 09:31 
Аватара пользователя
Во 2-м способе вы неправильно выбрали знак квадратного корня. Правильно: $\sqrt{-6}\sqrt{-6}=-6$, а не $+6$ и поэтому всю выражение равно не $16-6=10$, а $16+6=22$.

 
 
 
 Re: Кольца.
Сообщение11.06.2009, 22:51 
Тут вот вопрос возник $x,y,r,s$ это вообще что за числа , и зачем нам искать ближайшее к $x,y$.??

 
 
 
 Re: Кольца.
Сообщение12.06.2009, 21:12 
и вот не понятно $N(R)=N(B)\cdot |(x-r)^2-2(y-s)^2|$ - меньше $1$, почему отсюда следует $N(R)<N(B)$???
Объясните пожалуйста.

 
 
 
 Re: Кольца.
Сообщение21.06.2009, 15:21 
Аватара пользователя
steph в сообщении #221471 писал(а):
Тут вот вопрос возник $x,y,r,s$ это вообще что за числа , и зачем нам искать ближайшее к $x,y$.??

$x,y\in \mathbb{Q}$, $r,s\in \mathbb{Z}$. Зачем - чтобы доказать, что норма остатка меньше нормы делителя.
steph в сообщении #221696 писал(а):
и вот не понятно $N(R)=N(B)\cdot |(x-r)^2-2(y-s)^2|$ - меньше $1$, почему отсюда следует $N(R)<N(B)$???
Объясните пожалуйста.

Если положительное число умножить на число, меньшее 1, то получится число меньшее первоначального.

 
 
 [ Сообщений: 59 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group