Кольца - задачи

[VAL]

steph в сообщении #219707 писал(а):

Евклидово кольцо — это область целостности $R$, для которой определена евклидова функция (евклидова норма) $d: R \to \mathbb{N} \cup \{-\infty\}$ , причём $d(a)=-\infty \Leftrightarrow a=0$, и возможно деление с остатком, по норме меньшим делителя, то есть для любых$ a,b\in R,\, b\ne 0$ имеется представление $a = bq + r$, для которого $d(r) < d(b)$.
Я тут подумал , эти два кольца не факториальны , тк
$Z[\sqrt{-6}]$
$(4-\sqrt{-6})(4+\sqrt{-6})=16-6=10=5*2$
$Z[\sqrt{2}]$
$(6-\sqrt{2})(6+\sqrt{2})=36-2=34=17*2$
то есть $34$,$10$- не являются неприводимыми ---> кольца не факториальны , и следовательно, они не евклидовы.
правильно?

В первом случае неправильно, поскольку у Вас со знаком ошибка. Лучше 25 попробуйте разложить.
Во втором случае неправильно, поскольку, например, 17 не является простым элементом кольца $Z[\sqrt{2}]$. $17=(5-2\sqrt 2)(5+2\sqrt 2)$

[steph]

Так если есть элементы , которые не являются неприводимыми , и которые имеют более одного разложения, значит они уже не могут быть факториальными.
исправил.
$(4-\sqrt{-6})(4+\sqrt{-6})=(4-i \sqrt{6})(4+i \sqrt{6})=22=11*2$

[Бодигрим]

1. Вот вы привели определение евклидовой нормы с требованием $d: R \to \mathbb{N} \cup \{-\infty\}$ и затем начинаете использовать норму $|a+b\sqrt2|=a^2-2b^2$. Вас не смущает то, что значения вашей нормы могут не принадлежать ${N} \cup \{-\infty\}$?

2. Чтобы доказать неевклидовость, вы должны не взять произвольную норму и сказать, что для нее все плохо, а показать, что для любой возможной нормы - все таки да плохо.

[steph]

Бодигрим в сообщении #219721 писал(а):

1. Вот вы привели определение евклидовой нормы с требованием $d: R \to \mathbb{N} \cup \{-\infty\}$ и затем начинаете использовать норму $|a+b\sqrt2|=a^2-2b^2$. Вас не смущает то, что значения вашей нормы могут не принадлежать ${N} \cup \{-\infty\}$?

2. Чтобы доказать неевклидовость, вы должны не взять произвольную норму и сказать, что для нее все плохо, а показать, что для любой возможной нормы - все таки да плохо.

1. $N$ - целые неотрицательные числа. Норма не принадлежит ${N} \cup \{-\infty\}$ , если $a$,$b$, вещественные или рациональные .
2. Про не евклидность , я отталкиваюсь от факториальности, если кольцо не факториально , то оно и не главных идеалов ,и не евклидово. И наоборот , если оно евклидово , то главных идеалов , и факториально

[Бодигрим]

steph в сообщении #219724 писал(а):

Бодигрим в сообщении #219721 писал(а):

1. Вот вы привели определение евклидовой нормы с требованием $d: R \to \mathbb{N} \cup \{-\infty\}$ и затем начинаете использовать норму $|a+b\sqrt2|=a^2-2b^2$. Вас не смущает то, что значения вашей нормы могут не принадлежать ${N} \cup \{-\infty\}$?

1. $N$ - целые неотрицательные числа. Норма не принадлежит ${N} \cup \{-\infty\}$ , если $a$,$b$, вещественные или рациональные .

Возьмите $a=b$. Получите $|a+b\sqrt2|<0$. Или вы уже используете $|a+b\sqrt2|=a^2+2b^2$?

[steph]

Цитата:

Возьмите $a=b$. Получите $|a+b\sqrt2|<0$.

Почему меньше нуля получается?

[Бодигрим]

Потому что $a^2-2a^2<0$.

[steph]

Цитата:

Потому что $a^2-2a^2<0$.

То есть $((a+b\sqrt2) \cdot (a-b\sqrt2))<0 $
Тогда откуда получилась $|a+b\sqrt2|=a^2+2b^2$-???
Тогда по аналогии
$((a+b\sqrt{-6}) \cdot (a-b\sqrt{-6}))=a^{2}+6\cdot b^{2} >0 , \forall a,b \ne 0 $

[VAL]

steph в сообщении #219715 писал(а):

Так если есть элементы , которые не являются неприводимыми , и которые имеют более одного разложения, значит они уже не могут быть факториальными.

Если бы все было так, как Вы говорите, кольцо$Z$ тоже не было бы евклидовым: $24=3\cdot 8=4\cdot 6$. На самом деле в евклидовом кольце однознозначностью (с точностью до порядка сомножителей и их ассоциированности) должно обладать разложение на простые (неприводимые) множители, а не на любые.

-- 05 июн 2009, 00:22 --

steph писал(а):

исправил.
$(4-\sqrt{-6})(4+\sqrt{-6})=(4-i \sqrt{6})(4+i \sqrt{6})=22=11*2$

Это уже лучше. Остается обосновать, что элементы 2 и 11 не имеют нетривиального разложения в $Z(\sqrt(-6)$.

[Бодигрим]

Цитата:

Тогда откуда получилась $|a+b\sqrt2|=a^2+2b^2$-???

Пока ниоткуда не получилось: это я предлагаю вам такое задание нормы, которое хотя бы отвечает ее области значений В отличие от вашего.

Кстати ИМХО удобнее определять норму как функцию не в ${N} \cup \{-\infty\}$, а в $N \cup\{0\}$.

[steph]

Понятно, тогда возьму за основу норму предложенную вами))
тогда вопрос
"по норме меньшим делителя, то есть для любых$ a,b\in R,\, b\ne 0$ имеется представление $a = bq + r$, для которого $d(r) < d(b)$." - можете , пожалуйста , пояснить , а то немного не понятно , что имеется в виду.

[Бодигрим]

В переводе: для любых двух элементов из кольца можно найти такой остаток от деления ($r=a-bq$ при некотором $q$), который по норме строго меньше делителя. Например, для целых чисел можем взять норму в виде модуля числа и евклидовость кольца целых чисел будет следовать из соответствующей теоремы из теории чисел о делении с остатком.

[steph]

VAL в сообщении #219734 писал(а):

steph в сообщении #219715 писал(а):

Так если есть элементы , которые не являются неприводимыми , и которые имеют более одного разложения, значит они уже не могут быть факториальными.

Если бы все было так, как Вы говорите, кольцо$Z$ тоже не было бы евклидовым: $24=3\cdot 8=4\cdot 6$. На самом деле в евклидовом кольце однознозначностью (с точностью до порядка сомножителей и их ассоциированности) должно обладать разложение на простые (неприводимые) множители, а не на любые.

-- 05 июн 2009, 00:22 --

steph писал(а):

исправил.
$(4-\sqrt{-6})(4+\sqrt{-6})=(4-i \sqrt{6})(4+i \sqrt{6})=22=11*2$

Это уже лучше. Остается обосновать, что элементы 2 и 11 не имеют нетривиального разложения в $Z(\sqrt(-6)$.

Тогда $(6-\sqrt{2})(4+\sqrt{2})=(6-\sqrt{2})(4+\sqrt{2})=22=11*2$ , для кольца $Z$ , тоже будет справедливо. Вообще любое целое число может быть представлено в виде произведения других чисел- Теорема Гаусса.

-- Пт июн 05, 2009 00:12:15 --

Я вот , честно , не могу понять , как доказывается это определение, оно у меня в голове не укладывается.
Евклидово кольцо — это область целостности $R$, для которой определена евклидова функция (евклидова норма) $d: R \to \mathbb{N} \cup \{-\infty\}$ , причём $d(a)=-\infty \Leftrightarrow a=0$, и возможно деление с остатком, по норме меньшим делителя, то есть для любых$ a,b\in R,\, b\ne 0$ имеется представление $a = bq + r$, для которого $d(r) < d(b)$.

Норму можно взять любую , элементы - тоже , и при этом нельзя с точностью сказать , что если выполняется для группы элементов из кольца , то будет и выполняться для элемента из кольца какого-нибудь другого.

[Бодигрим]

steph в сообщении #219745 писал(а):

Вообще любое целое число может быть представлено в виде произведения других чисел- Теорема Гаусса.

Ой, какая интересная теорема. Можно формулировку?

[steph]

Собственно вот:
Любое натуральное число, отличное от 1, может быть представлено в виде произведения простых чисел. Два разложения натурального числа на простые множители могут отличаться друг от друга лишь порядком сомножителей.