Заряженная жидкость на линейке.

[Зиновий]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Зиновий писал(а):

Однако уже сейчас, безо всяких интегралов можно сказать, что конечной величины поток векторго поля, через нулевое сечение, дает бесконено большое значение векторного поля.
Доказывать надо?

Это просто умора... Ну с чего вы решили, что поток через нулевое сечение дает конечную величину??? Доказывайте. Как говорит Someone доказательство в студию!

Вы прочесть без ошибок текст можете?
Где Вы увидели "дает конечную величину"???
P.s.
Кстати, "Доказательство в студию", это я потребовал от Someone, перефразируя призыв известного ведущего, весьма известной телепередачи...

[незваный гость]

Я с интересом слежу за дискурсией, пытаясь понять ответ в задаче. Пока сумел уяснить немногое.

1) Похоже, непрерывного распределения заряда не существует (в строго одномерном случае). По крайней мере, никто не бросился опровергать этот тезис.

2) Для дискретных зарядов (больше одного) всегда существует по крайней мере одно распределение зарядов.

3) Существует явное выражение энергии электрического поля.

4) Можно оценить минимальное расстояние между шариками в зависимости от количества оных (например, сравнив энергию наиболее близко рассположенных с энергией всех равноотстоящих друг от друга, имеем $\rho > \approx \frac{a}{n^2 \ln n}$).

У меня осталась пара-тройка вопросов:

1) Ну хорошо, для двух, трех, или четырех шариков можно указать явные координаты ответа. А в какой форме подразумевается ответ для миллиона шариков?

2) Аурелиано Буэндиа писал "дальше математика". Подразумевается ли здесь, что считать эту математику неинтересно, или же она все-таки пройдена? Если да, то какой же ответ? Если нет, в решение ли это (я не оспариваю истинность выражения для потенциала, просто не вижу перехода от него к ответу)?

3) Следует ли откуда-либо единственность минимума потенциала? Предполагая положительный ответ, хочется задать следующий вопрос -- о стабильности распределения зарядов (например, мы имеем миллион зарядов, и разбиваем линейку на тысячу участков, после чего считаем количество зарядов в каждом отрезке -- линейка все-таки. Получаем распределение. Добавляем еще один заряд -- миллион первый. Получаем второе распределение. Если у нас хотя бы надежда, что эти два распределения будут близки?)

[ИСН]

2Аурелиано Буэндиа: не извиню. Мы на каких-то разных языках говорим. Я, наверное, должен был более явно обозначить свои препозиции: нет никакой физики. Нет никаких зарядов. Нет никаких полей. Нет никаких кулонов, метров и кулон-на-метров. Есть точки (несколько штук) на отрезке и парный потенциал взаимодействия между ними. (Если повезёт, есть ещё переход к непрерывности, но это другое.)
Потенциал задаётся как функция от расстояния между точками. Если потенциал такой, как я сказал, то и будет то, что я сказал.
Теперь извольте пояснить: где бред?

[Зиновий]

незванный гость писал(а):

Я с интересом слежу за дискурсией, пытаясь понять ответ в задаче. Пока сумел уяснить немногое.
.............................................................
3) Существует явное выражение энергии электрического поля.

Согласно одному из обязательных требований теоремы единственности для векторных полей (см. теорема Гельмгольца http://www.doktorovich.info/forums/inde ... owtopic=94 ) векторное поле должно быть ограниченнно в каждой точке поля и, только в этом случае, может быть найден его потенциал.
В данной задаче, поле, как единичного заряда, так и совокупности зарядов, не ограничено по всему пространству, кроме области расположенной между симметрично распределенными зарядами.
Т.е. понятие "потенциал поля" в этой задаче неприменимо, а, следовательно, говорить о "явном выражении энергии электрического поля" бессмысленно.

незванный гость писал(а):

4) Можно оценить минимальное расстояние между шариками в зависимости от количества оных (например, сравнив энергию наиболее близко рассположенных с энергией всех равноотстоящих друг от друга, имеем $\rho > \approx \frac{a}{n^2 \ln n}$).

Минимальное расстояние между шариками находится из соображений "растекания поля по пространству".
В случае одномерного пространства, растекания поля нет и, с учетом бесконечной напряженности поля, минимальное растояние между "шариками" равно нулю.

[Mopnex]

Предлагаю считать мерность пространства такой, какая вам больше нравится. Можете полагать одномерную линейку в одномерном пространстве, можете в трехмерном. Повторяю, интересен хоть какой-нибудь результат. Возвращаясь к дискретной детерминированности задачи. У кого-нибудь еще есть сомнения, что 3 шарика расположатся 2 на конце, один посередине? 4 шарика - 2 на конце, 2 симметрично между серединой и концом? По моему, это на столько очевидно, что сомневающиеся должны напрячся и решить этот вопрос для себя, а здесь не мусолить это.
Мне представляется, что дальнейшее индуктивное увеличение количества шариков не оставляет места какой-либо неопределенности в их распределении, и даже для миллиона шариков оно будет единственным и устойчивым. Правда это, мое личное мнение. Соображения я привел.

[Зиновий]

Mopnex писал(а):

У кого-нибудь еще есть сомнения, что 3 шарика расположатся 2 на конце, один посередине? .

Напряженность поля в пространстве между разведенными на концы линейки равными группами зарядов, создаваемая этими группами, равна нулю тождественно.
Нечетный шарик, создает два равных по величине силовых поля симметрично относительно себя, независящих от расстояния и противоположно направленных.
Результирующая сила с которой он воздействует на разведенные заряды, приведенная к нему самому, также, тождественно равна нулю.
Следовательно, место положение нечетного заряда в свободном пространстве между разведенными по линейке, равными по величине, группами зарядов, никак не определяется полевой задачей и остается произвольным (как и для единственного заряда), вплоть до примыкания к одной из групп.

[Mopnex]

Вот блин. Зиновий, предлагаю не пользоваться уравнениями Максвелла, полевыми задачами и т.п. Возьмите просто закон кулона в школьной форме, т.е. сила взаимодействия зарядов пропорциональна их произведению и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Расположите 3 одинаковых заряда на линейке 2 на концах, 1 в произвольном месте и подсчитайте равнодействующую силу, дейсвующую на промежуточный заряд. Получится, что она равна нулю только в одном месте. Догадайтесь в каком.

[Зиновий]

Mopnex писал(а):

Вот блин. Зиновий, предлагаю не пользоваться уравнениями Максвелла, полевыми задачами и т.п. Возьмите просто закон кулона в школьной форме, т.е. сила взаимодействия зарядов пропорциональна их произведению и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Расположите 3 одинаковых заряда на линейке 2 на концах, 1 в произвольном месте и подсчитайте равнодействующую силу, дейсвующую на промежуточный заряд. Получится, что она равна нулю только в одном месте. Догадайтесь в каком.

О чем вы предлагаете мне "догадываться?
О том, что Вы уже ищете решение, теперь уже, другой задачи, изменив условия?
Тогда так и говорите, что рассматривается, в реальном физическом пространстве, распределение электрических зарядов, размещенных в некотором ограниченном объеме конечной длины и конечного диаметра.
Это будет уже совсем другая "история"...
Задачу надо формулировать корректно, тогда не будут возникать ненужные проблемы...
P.s.
"Закон Кулона" - частное решение полевой задачи, входящее в состав решений уравнений Максвелла.

[Mopnex]

Никакой другой задачи я не рассматриваю. Вы опять че то не увидеи. Кстати распределение по крайней мере 3-х зарядов будет одинаковым как в одномерном пространстве, так и в 357 мерном.

[Зиновий]

Mopnex писал(а):

Никакой другой задачи я не рассматриваю. Вы опять че то не увидеи. Кстати распределение по крайней мере 3-х зарядов будет одинаковым как в одномерном пространстве, так и в 357 мерном.

1. Ранее, Вы предложили "Предлагаю подумать над такой задачей. В одномерном пространстве имеется ограниченная с обоих концов линейка".
Теперь же, Вы говорите о "закон Кулона в школьной форме".
Вы полагаете эти понятия совместимыми?
2. Если я Вас правильно понял, то Вы предлагаете к обсуждению новую тему, "о невлиянии мерности пространства на пространственную конфигурацию взаимоположения трех тел, расположенных по одной прямой".
Я Вас правильно понял?

[Mopnex]

Нет, неправильно. Школьный закон Кулона я вспомнил, чтобы было проще объяснить. Задача по прежнему та же. Если можете - покажите какое нибудь распределение в пространстве любой мерности, на ваш выбор. Дробного только не надо, здесь это никчему.

Полковнику Буэндиа.

Выбор дельты в предложенном вами способе устранения расходимости и является выбором модели. Я не могу придумать адекватных физических соображений для подбора этой величины.

[незваный гость]

Mopnex писал(а):

Мне представляется, что дальнейшее индуктивное увеличение количества шариков не оставляет места какой-либо неопределенности в их распределении, и даже для миллиона шариков оно будет единственным и устойчивым.

А почему? Ваша индукция -- 2, 3, 4 -- выглядит какой-то слабоватой... Как доказательство того, что 60 делится на любое число (Проверяем -- 2, 3, 4, 5, 6. Возьмем еще пару на пробу -- 10, 12, 15. Все в порядке -- доказали! ). Более того, заметьте, я определил устойчивость не в смысле положения $n$ шариков, а в смысле малости разницы в распределении между $n$ и $n+1$.

Я думаю, что расстояние между соседними шариками уменьшается по мере движения к середине линейки (два шарика-ограничителя просто приклеены к ее концам). Таким образом, если взять количество шариков на единицу длины, оно выглядит как сегмент параболы (цепной линии) -- четная, симметричная функция, выпуклая вниз, монотонно убывающая на отрицательных и монотонно растущая на положительных. На качественном уровне это отвечает на Ваш вопрос.

В качестве примера такого распределения можно попробовать $ x_k = a \cos(\pi \frac{k-1}{n-1}) $. Это -- абсолютно необоснованная гипотеза. Просто так, иллюстрация на тему. Хотя качественно функция OK -- дает нужную форму, удовлетворяет требованию минимальности расстояния. Правда, энергии в такой системе поболе, чем при равномерном распределении . Ну, да это -- детали.

[Mopnex]

Да, я понимаю, что индукция слабовата, поэтому не настаиваю.
По поводу качественной картины - согласен, мне тоже представляется расределение именно таким - разряжение в центре и уплотнение к концам. Но хотелось бы получить этот результат каким-либо вменяемым аналитическим методом.

[Зиновий]

Mopnex писал(а):

Нет, неправильно. Школьный закон Кулона я вспомнил, чтобы было проще объяснить. Задача по прежнему та же. Если можете - покажите какое нибудь распределение в пространстве любой мерности, на ваш выбор. Дробного только не надо, здесь это никчему.

Поток вектора электрической напряженности (надеюсь, Вы не возражаете) пропорционален величине электрического заряда.
Полагаем величину заряда константой, отличной от нуля и независящей от мерности пространства.
Вектор напряженности (по определению) равен потоку вектора, деленному на площадь замкнутой поверхности, охватывающей заряд, нормальную к вектору напряженности.
Рассмотрим вектор напряженности электрического поля, создаваемого заряженным шариком в пространствах различной мерности.
а. 3-х мерное пространство - напряженность пропорциональна заряду, деленному на площадь охватывающей сферы.
Т.е. напряженность обратно пропорциональна квадрату расстояния.
б. 2-х мерное пространство
Пусть, площадь сферы, в 2-х мерном пространстве преобразуется в периметр окружности.
Тогда 2-х мерный поток вектора напряженности надо записать как произведение вектора напряженности на периметр окружности, пропорциональный заряду и не равный нулю, по условию задачи.
Откуда напряженность электрического поля в 2-х мерном пространстве обратно пропорциональна расстоянию.
в. В 1-но мерном пространстве нет отличного от нуля эквивалента площади пространства.
Причем, ноль не в пределе, а константа.
Но, по условию, поток вектора есть константа отличная от нуля пропорциональная величине заряда.
Откуда получаем, что напряженность поля в 1-но мерном пространстве есть константа отличная от нуля деленная на ноль и не зависит от расстояния.
Что и обсуждалось при решении Вашей задачи.
Как видите, применительно к поставленным Вами условиям задачи, пример закона Кулона "не в кассу".

[Mopnex]

Хорошо, хорошо, не в кассу. Но тем не мение, и в одномерном случае задача вполне подлежит формулировке, и не страдает от отсутствия понятия понятия площади.