продольные колебания в стержне

[Шимпанзе]

То, что проще я написал….Дело хозяйское.

Шимпанзе

[ProteC]

Получается вот что:
$W(x,t)=Bsin(Cx)\cos(\omega t)$
$W_x=CB\cos(Cx)\cos(\omega t)$
$W_x_x=-C^2B\sin(Cx)\cos(\omega t)$
$W_t=-\omega B\cos(Cx)\sin(\omega t)$
$W_t_t=-\omega^2 B\cos(Cx)\cos(\omega t)$
следовательно:
$\omega=\sqrt{C^2tg(Cx)}$
как найти С?
$W(l,t) подставляем в $W_x$ получаем:
$CB\cos(Cl)\cos(\omega t)=A\cos(\omega t)$
получаем $B=A/C\cos(Cl)$

$W(x,t)=\frac A{C\cos(Cl)}\sin(Cx)\cos(\sqrt{C^2tg(Cx)} t)$ не знаю как найти С

[ProteC]

Аурелиано Буэндиа, подскажите пожалуйста, как найти C и что делать дальше?
каким методом искать V(x,t)?

[Аурелиано Буэндиа]

ProteC писал(а):

Получается вот что:
$W(x,t)=Bsin(Cx)\cos(\omega t)$
$W_x=CB\cos(Cx)\cos(\omega t)$
$W_x_x=-C^2B\sin(Cx)\cos(\omega t)$
$W_t=-\omega B\cos(Cx)\sin(\omega t)$
$W_t_t=-\omega^2 B\cos(Cx)\cos(\omega t)$
следовательно...

Давайте вначале исправим ошибки. Вы неправильно вычислили производные. Должно быть

$$ W_t=-\omega B\sin(Cx)\sin(\omega t) $$

$$ W_t_t=-\omega^2 B\sin(Cx)\cos(\omega t), $$

а теперь подставляйте в уравнение струны $W_{xx}-W_{tt}=0$ и находите $C$.
Потом найдите $B$ из условия $W_x(l,t)=A\cos(\omega t)$.
Потом я расскажу что делать дальше...

[ProteC]

исправил и нашел:
$-C^2B\sin(Cx)\cos(\omega t)+\omega^2 B\sin(Cx)\cos(\omega t)=0$
$C=\omega$
$CB\cos(Cl)\cos(\omega t)=A\cos(\omega t)$
$B=\frac A{\omega\cos(\omega l)}$
$W(x,t)=\frac A{\omega\cos(\omega l)}\sin(\omega x)\cos(\omega t)$

[Аурелиано Буэндиа]

ProteC писал(а):

$W(x,t)=\frac A{\omega\cos(\omega l)}\sin(\omega x)\cos(\omega t)$

Отлично. В случае когда $\cos(\omega l)=0$ наступает резонанс, но мы его рассматривать не будем. Идем дальше. Теперь нужно решить задачу

$$ V_{xx}-V_{tt}=0, $$

$$ V(0,t)=0, \ \ \ V_x(l,t)=0, $$

методом разделения переменных. Делайте подстановку $V(x,t)=X(x)T(t)$ в уравнение струны $V_{xx}-V_{tt}=0$, найдите диф. уравнение для $X(x)$. У Вас должно получиться такое уравнение

$$ X''(x)+\lambda^2X(x)=0, $$

$\lambda$ -- некоторая постоянная, которая находится из граничных условий

$$ X(0)=X'(l)=0 $$

Теперь решите и найдите базисные функции $\{X_{n}(x)|n\in \mathbf{N}\}$, которые удовлетворяют этой задаче. Нормируйте их на единицу, т.е. так чтобы $\int_{0}^l X_{n}(x)^2dx=1$.
Потом я расскажу что делать дальше...

[ProteC]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

У Вас должно получиться такое уравнение
$$ X''(x)+\lambda^2X(x)=0$ ...

почему $\lambda^2$ ?

[LynxGAV]

Важно, что это положительная константа. Можно обозначить без квадрата.

[Аурелиано Буэндиа]

ProteC писал(а):

почему $\lambda^2$?

Это не важно как обозначить. Используйте метод разделения переменных.

[LynxGAV]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Это не важно как обозначить. Используйте метод разделения переменных.

Важно, что не равная нулю и не неотрицательная, то есть положительная, иначе решения будут нулевыми.

[Аурелиано Буэндиа]

LynxGAV писал(а):

Важно, что не равная нулю и не неотрицательная, то есть положительная, иначе решения будут нулевыми.

Умничка!

[ProteC]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

ProteC писал(а):

$W(x,t)=\frac A{\omega\cos(\omega l)}\sin(\omega x)\cos(\omega t)$

Отлично. В случае когда $\cos(\omega l)=0$ наступает резонанс, но мы его рассматривать не будем. Идем дальше. Теперь нужно решить задачу

$$ V_{xx}-V_{tt}=0, $$

$$ V(0,t)=0, \ \ \ V_x(l,t)=0, $$

методом разделения переменных. Делайте подстановку $V(x,t)=X(x)T(t)$ в уравнение струны $V_{xx}-V_{tt}=0$, найдите диф. уравнение для $X(x)$. У Вас должно получиться такое уравнение

$$ X''(x)+\lambda^2X(x)=0, $$

$\lambda$ -- некоторая постоянная, которая находится из граничных условий

$$ X(0)=X'(l)=0 $$

Теперь решите и найдите базисные функции $\{X_{n}(x)|n\in \mathbf{N}\}$, которые удовлетворяют этой задаче. Нормируйте их на единицу, т.е. так чтобы $\int_{0}^l X_{n}(x)^2dx=1$.
Потом я расскажу что делать дальше...

вот что вышло по-моему:
$\lambda_n=\frac{n\pi}l$
$X_n(x)=\sin\frac{n\pi}l x$
$\int_{0}^l X_{n}(x)^2dx=l$

[Аурелиано Буэндиа]

Вот здесь ошибка

ProteC писал(а):

$\lambda_n=\frac{n\pi}l$

я думаю Вы ошиблись при учете граничного условия $X'(l)=0$. Мне кажется вы забыли продифференцировать синус. Должно получиться $\cos(\lambda l)=0$ поэтому $\lambda_n=(n+1/2)\pi/l$

[ProteC]

ой, точно, тогда:
$X_n(x)=\cos\frac{(n+1/2)\pi}l x$

[Аурелиано Буэндиа]

Теперь нормируйте. Дальше выпишите ДУ для $T_n(t)$. Начальные условия можно найти так

$$ V(x,0)=-W(x,0), \ \ \ \ V_t(x,0)=-W_t(x,0) $$

поэтому

$$ \sum_m X_m(x)T_m(0) =-W(x,0), \ \ \ \ \sum_m X_m(x)T'_n(0)=-W_t(x,0) $$

Отсюда
$T_n(0)=-\frac{\int_0^l W(x,0)X_n(x)dx}{\int_0^l|X_n(x)|^2dx}$, аналогично для $T'_n(0)$.
Итак, вычислите назальные условия и найдите $T_n(t)$.