продольные колебания в стержне

[ProteC]

никто не знает как решать?

[Аурелиано Буэндиа]

ProteC писал(а):

Привет всем участникам форума!!!
помогите пожалуйста решить задачку... тема подобная первоначальной...
Задача: решить задачу о продольных колебаниях стержня 0<=X<=l, если конец Х=0 закреплен жестко, а к концу Х=l, начиная с момента t=0, приложена сила F=Acosw(омега)t (A=const)

помогите пожалуйста!!!
всем откликнувшимся, заранее огромное спасибо!!!

Попробуйте, для начала, записать граничные условия. А мы проверим.

[ProteC]

Я думаю они будут выглядеть так:
начальные условия:
U(x,0)=0
$\frac{\partial U}{\partial t}\ (x,0)=0$
граничные условия:
U(0,t)=0
$\frac{\partial U}{\partial x}\ (l,t)=F$

[Александр Козачок]

Здравствуйте Аурелиано Буэндиа и другие участники форума! Классическое решение этой задачи известно, но оно ошибочно в первую очередь из физических соображений. Заданное Вами возмущение конца стержня распространяется в сторону его закрепления со скоростью звука. Поэтому корректно сформулировать начальные условия нельзя без дополнительных исследований. Попробуйте это сделать по аналогии с более простой задачей, когда возмущающая сила постоянна. Эта задача рассмотрена на сайте http://a-kozachok1.narod.ru , ссылка 3.Пособие.Ч.2 на стр.101-109. Если Вы решите эту задачу до конца, т.е. рассмотрите и случай резонанса, то Ваша работа может может стать основой Диссертаци к.ф.-м.н.
С уважением Александр Козачок

[Аурелиано Буэндиа]

ProteC писал(а):

Я думаю они будут выглядеть так:
начальные условия:
U(x,0)=0
$\frac{\partial U}{\partial t}\ (x,0)=0$
граничные условия:
U(0,t)=0
$\frac{\partial U}{\partial x}\ (l,t)=F$

Теперь граничные условия нужно сделать однородными. Используйте подстановку $U(x,t)=V(x,t)+W(x,t)$, где $W(x,t)$ удовлетворяет неоднородным граничным условиям.

$$ W(0,t)=0, \ \ \ W_x(l,t)=F $$

Желательно, чтобы функция $W(x,t)$ ещё удовлетворяла уравнению струны. Это облегчит вам последующие выкладки и в Вашем случае такую функцию найти можно. Тогда другая функция $V(x,t)$ должна удовлетворять однородному уравнению струны и однородным граничным условиям. Но начальные условия станут неоднородными! Т.е.

$$ V_{xx}-V_{tt}=0, $$

$$ V(0,t)=0, \ \ \ V_x(l,t)=0, $$

$$ V(x,0)=-W(x,0), \ \ \ V_t(x,0)=-W_t(x,0). $$

1) Итак, найдите $W(x,t)$.
2) Потом постройте ортогональный базис $\{ X_n(x)\}$ для функции $V(x,t)$. Базисные функции $X_n(x)$ должны удовлетворять однородным граничным условиям для $V(x,t)$

[Аурелиано Буэндиа]

Александр Козачок писал(а):

Классическое решение этой задачи известно, но оно ошибочно в первую очередь из физических соображений.

Дело в том, что ProteC изучает методы решения уравнения струны -- это математическое исследование. То что предлагаете Вы называется физическим исследованием и, несомненно, может представлять некоторый интерес, но в данном случае это не имеет отношения к изучению математических методов решения дифференциальных уравнений.

[Александр Козачок]

Колебания и струны, и стержня описываются формально одним и тем же уравнением-волновым. Поэтому его решение в любом случае есть математическое исследование (см. стр. 93-100 пособия). Но в каждом случае для решения уравнения необходимо задать правдоподобные начальные и граничные условия. Если эти условия бессмысленны, то и решение будет таковыми. Физикам такие решения не нужны. Математики называют их обобщенными решениями.

[Шимпанзе]

Александр Козачок писал(а):

Если Вы решите эту задачу до конца, т.е. рассмотрите и случай резонанса, то Ваша работа может может стать основой Диссертаци к.ф.-м.н.

А если решить задачу ваще до конца , используя лишь энергетический подход, то как минимум Вы станете главным специалистом "суперструн", и как максимум Вы получите нобелевку.

Шимпанзе

[ProteC]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

ProteC писал(а):

Я думаю они будут выглядеть так:
начальные условия:
U(x,0)=0
$\frac{\partial U}{\partial t}\ (x,0)=0$
граничные условия:
U(0,t)=0
$\frac{\partial U}{\partial x}\ (l,t)=F$

Теперь граничные условия нужно сделать однородными. Используйте подстановку $U(x,t)=V(x,t)+W(x,t)$, где $W(x,t)$ удовлетворяет неоднородным граничным условиям.

$$ W(0,t)=0, \ \ \ W_x(l,t)=F $$

Желательно, чтобы функция $W(x,t)$ ещё удовлетворяла уравнению струны. Это облегчит вам последующие выкладки и в Вашем случае такую функцию найти можно. Тогда другая функция $V(x,t)$ должна удовлетворять однородному уравнению струны и однородным граничным условиям. Но начальные условия станут неоднородными! Т.е.

$$ V_{xx}-V_{tt}=0, $$

$$ V(0,t)=0, \ \ \ V_x(l,t)=0, $$

$$ V(x,0)=-W(x,0), \ \ \ V_t(x,0)=-W_t(x,0). $$

1) Итак, найдите $W(x,t)$.
2) Потом постройте ортогональный базис $\{ X_n(x)\}$ для функции $V(x,t)$. Базисные функции $X_n(x)$ должны удовлетворять однородным граничным условиям для $V(x,t)$

что-то трудненькое , функция $W(x,t)$ должна быть представлена в виде ряда Фурье?

[Аурелиано Буэндиа]

ProteC писал(а):

что-то трудненькое , функция $W(x,t)$ должна быть представлена в виде ряда Фурье?

Все очень просто. Функцию $W(x,t)$ можно искать в виде $W(x,t)=f(x)\cos(\omega t)$, выбирая функцию $f(x)$ так, чтобы $W(x,t)$ было решением задачи

$$ W_{xx}-W_{tt}=0 $$

$$ W(0,t)=0, \ \ \ W_x(l,t)=A\cos(\omega t) $$

Ясно, что $f(x)$ нужно искать в виде $B\sin(Cx)$.

[Александр Козачок]

Уважаемые участники дискуссии!
Посмотрите внимательно указанные страницы пособия и Вы убедитесь, что и для струны, и для стержня используется именно энергетический подход к определению начальных условий. По поводу начальных условий советую посмотреть стр. 84-89.
А в общем Вы затронули необычайно важную проблему и к ее обсуждению пора привлечь всех специалистов мехмата и физмата МГУ.

[Аурелиано Буэндиа]

Александр Козачок писал(а):

Уважаемые участники дискуссии!
Посмотрите внимательно указанные страницы пособия и Вы убедитесь, что и для струны, и для стержня используется именно энергетический подход к определению начальных условий. По поводу начальных условий советую посмотреть стр. 84-89.

Ну зачем сразу посылать?
1) Если Вы хотите развернуть дискуссию по "энергетическому подходу", то оформите это отдельной темой. Это Ваше право. Возможно, она вызовет интерес у других посетителей.

2) Если Вы готовы помочь чем-нибудь конкретно по решению граничной задачи, то напишите как нужно делать, но в отдельном посте. И возможно, за это Вам скажут спасибо.

[Александр Козачок]

1.Энергетический подход в данном случае не цель, а инструмент. Поэтому открывать новую тему пока не имеет смысла. В дальнейшем такая потребность появится, но по другому поводу.
2.Я готов помочь, но должен знать кому и для каких целей (диплом, диссертация...). Почему? Посмотрите на сайте ссылки "О себе" и Вам станет понятно.

[Шимпанзе]

Александр Козачок писал(а):

Посмотрите внимательно указанные страницы пособия и Вы убедитесь, что и для струны, и для стержня используется именно энергетический подход к определению начальных условий. По поводу начальных условий советую посмотреть стр. 84-89.

В чем проблема? Скопируйте и покажите эти странички здесь. Они же ваши, никакого плагиата нет.

Шимпанзе

[Александр Козачок]

А разве не проще посетить сайт и скачать нужные страницы? Их ведь много.