записать интеграл для этого нестандартного выражения

[Александр Козачок]

Глубокоуважаемые Участники обсуждения!

Классики, действительно, каждый по-своему применительно к перемещениям, деформациям, площадям и пр., без особых оговорок называют их так: Фихтенгольц Г.М.- дословно «бесконечно малый промежуток времени » ( http://www.poiskknig.ru/cgi-bin/poisk.c ... 1%80%D1%81 , т.3, стр. 367), Кочин Н.Е.- бесконечно малые расстояния, площади, объемы ( http://listlib.narod.ru/matematika/aKochin.htm , стр. 135-137, 340-341), Смирнов В.И.- дословно «малый промежуток времени » ( http://torrents.ru/forum/viewtopic.php?t=417455 , т.2, стр. 327), Седов Л.И. - бесконечно малые ( http://depositfiles.com/ru/files/5926047 , т.1, стр.75, 96, 102), и
даже Трусделл К. - тоже бесконечно малые( http://analysis.solid-medium.ru/read/en ... 1D83386AB/ , стр. 292-300). При разных названиях понимается одно и то же, поскольку речь идет об одних и тех же ситуациях. Но разъяснение по некоторым из этих ситуаций имеется только у Трусделла К.

С уважением, Александр Козачок

[Someone]

Александр Козачок, Вы про это?

Александр Козачок писал(а):

В.И.Смирнов, т.2, стр. 327 писал(а):

Если помножим вектор скорости v на величину dt малого промежутка времени, то получится вектор vdt, который будет давать приближенно смещение точки за малый промежуток времени dt Таким образом получим векторное поле малых смещений точек твердого тела A=vdt

...
Если же теперь к выражению вектора малых смещений применить операцию div, то Вы сразу увидите, как элементарно доказывается равенство нулю дивергенции этого вектора при нулевой дивергенции скорости divA=(divv)dt

Someone писал(а):

Вектор смещений в действительности имеет вид $\vec A=\vec vdt+\vec B(dt)dt$, где о $\vec B(dt)$ известно только, что

$$\lim_{dt\to 0}\vec B(dt)=\vec 0\text{,}$$

и при достаточно малых $dt$ вторым слагаемым можно пренебречь по сравнению с первым (если только $\vec v\neq\vec 0$).
Поэтому, вычисляя дивергенцию при условии $\mathop{\mathrm{div}}\vec v=0$, мы получим $\mathop{\mathrm{div}}\vec A=\mathop{\mathrm{div}}\vec B(dt)dt$. Почему это вдруг равно $0$?

Александр Козачок в сообщении #201986 писал(а):

запись формулы с учетом величин второго порядка малости в таком виде, как привели Вы ее в http://dxdy.ru/topic17909-15.html , принадлежит Вам или заимствована с какого-то источника?

Как я понимаю, речь идёт о формуле

$$\vec A=\vec vdt+\vec B(dt)dt\text{.}\eqno{(1)}$$

Я как-то не думал, что придётся пояснять общеизвестные элементарные соотношения математического анализа человеку, изучающему уравнения гидродинамики. Ну ладно.

Вспомним, как определяется производная вектор-функции $\vec r(t)$ (смещение частицы жидкости - это вектор-функция). Сначала определяем приращение функции $\vec r(t)$ в точке $t$, соответствующее приращению $\Delta t$ переменной $t$:

$$\Delta\vec r(t)=\vec r(t+\Delta t)-\vec r(t)\text{.}\eqno{(2)}$$

Затем производная функции $\vec r(t)$ в точке $t$ определяется как

$$\vec r\, '(t)=\lim\limits_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta\vec r(t)}{\Delta t}\text{,}\eqno{(3)}$$

если этот предел существует (и конечен).
Предполагаем далее, что эта производная существует.
Определим функцию

$$\vec B(t,\Delta t)=\frac{\Delta\vec r(t)}{\Delta t}-\vec r\, '(t)\text{.}\eqno{(4)}$$

Из определений (3) и (4) следует, что

$$\lim\limits_{\Delta t\to 0}\vec B(t,\Delta t)=\vec 0\text{,}\eqno{(5)}$$

и что выполняется соотношение

$$\Delta\vec r(t)=\vec r\, '(t)\Delta t+\vec B(t,\Delta t)\Delta t\text{.}\eqno{(6)}$$

Формула (6) показывает, что приращение функции, имеющей производную, разбивается на два слагаемых:

$$d\vec r(t)=\vec r\, '(t)\Delta t\eqno{(7)}$$

(оно называется дифференциалом функции $\vec r(t)$ в точке $t$) и

$$\vec B(t,\Delta t)\Delta t\text{,}\eqno{(8)}$$

которое имеет более высокий порядок малости при $\Delta t\to 0$, чем $\Delta t$ (Вы неправильно называете это выражение членом второго порядка малости; равенство (6) - точное, и член (8) включает всё, что имеет порядок малости более высокий, чем $\Delta t$; его очень часто записывают просто как $o(\Delta t)$).
Если применить скалярную версию формулы (7) к функции $f(t)=t$, то получится $dt=\Delta t$, то есть, дифференциал независимой переменной равен её приращению. Поэтому во всех формулах вместо $\Delta t$ можно писать $dt$.

Теперь, если функция $\vec r(t)$ задаёт положение частицы жидкости в момент времени $t$, то скорость частицы $\vec v=\vec r\, '(t)$, а смещение частицы за время $dt$ будет равно приращению функции $\vec r(t)$: $\vec A=\Delta\vec r(t)=\vec r(t+dt)-\vec r(t)$ (зависимость от $t$ явно указывать не будем, как не указываем зависимость от начального положения частицы). В таких обозначениях формула (1) совпадает с формулой (6).

[ewert]

Александр Козачок в сообщении #202010 писал(а):

При разных названиях понимается одно и то же, поскольку речь идет об одних и тех же ситуациях. Но разъяснение по некоторым из этих ситуаций имеется только у Трусделла К.

А зачем разъяснять то, что все и так понимают совершенно одинаково?

[Brukvalub]

Эх, мало этому Александр Козачок модератор горячих всыпал, ох мало...
Ведь так и будет Александр Козачок бегать по чужим темам с криком: "Купи слона, а то обижусь!"

[shwedka]

ewert в сообщении #202003 писал(а):

В математике не бывает "малых чисел". Бывают лишь числа, которые больше или меньше чего-то. И если всё же говорят о "малых числах", то это -- лишь полуфизический жаргон

Вполне согласна.,но уже не с этим:

ewert в сообщении #202003 писал(а):

за которым стоит всё та же "бесконечно малая величина"

В этом жаргоне обычно.понимается 'настолько малая,что чем-то мешающим можно пренебречь'.До понятия предела они не доходят.

Александр Козачок в сообщении #202010 писал(а):

При разных названиях понимается одно и то же, поскольку речь идет об одних и тех же ситуациях.

И,как всегда, Александр Козачок ссылается на авторитеты, но сам ничего содержательного сказать не может

Тяжелый случай.

Так доказательство Ваше будет?? Или опять заболтаете?
Только,как в приличных домах принято,сначала торчно сформулируйте,
что доказывается.Знаю Вас, на формулировках тоже обжулить пытаетесь.

[Nxx]

зачем тему испаганили? Не лучше ли вынести оффтопичную дискуссию в отдельную тему?

[Александр Козачок]

Глубокоуважаемые Участники обсуждения!

Someone писал(а):

Александр Козачок в сообщении #201986 писал(а):

запись формулы с учетом величин второго порядка малости в таком виде, как привели Вы ее в http://dxdy.ru/topic17909-15.html , принадлежит Вам или заимствована с какого-то источника?

Как я понимаю, речь идёт о формуле

$$\vec A=\vec vdt+\vec B(dt)dt\text{.}\eqno{(1)}$$

Именно о ней!

Цитата:

Я как-то не думал, что придётся пояснять общеизвестные элементарные соотношения математического анализа человеку, изучающему уравнения гидродинамики. Ну ладно.

Если Вы сопоставите свое удивление с возражениями shwedk-и и bot-a , то придете к выводу, что очень даже надо. Своими пояснениями Вы меня здорово меня выручили. Однако shwedkа приведенным Вами доказательствам не верит и требует от меня альтернативное

shwedka в сообщении #201950 писал(а):

И нечего на Someone ссылатся. Доказывайте самостоятельно!При этом рассуждения на уровне школьного курса физики не считаются. Их Вы приводите на форуме для школьного курса физикии.
А здесь форум математический

И даже после Ваших последних подробных разъяснений повторила свое требование, но уже, надо признать, в обнадеживающей форме

shwedka в сообщении #202062 писал(а):

Так доказательство Ваше будет?? Или опять заболтаете?
Только,как в приличных домах принято,сначала торчно сформулируйте,
что доказывается.Знаю Вас, на формулировках тоже обжулить пытаетесь.

Я же пока сомневаюсь. Стоит ли мне, непрофессионалу, пытаться искать еще альтернативное доказательство? Разве профессионального доказательства, приведенного Вами, не достаточно? К тому же могут подтвердиться мои опасения

Александр Козачок в сообщении #201837 писал(а):

Если я попытаюсь привести доказательство здесь, то любой модератор раздела будет вправе меня наказать за попытку переориентации темы.

И для таких опасений имеются веские основания:

Brukvalub писал(а):

Эх, мало этому Александр Козачок модератор горячих всыпал, ох мало...
Ведь так и будет Александр Козачок бегать по чужим темам с криком: "Купи слона, а то обижусь!"

Nxx в сообщении #202078 писал(а):

зачем тему испаганили? Не лучше ли вынести оффтопичную дискуссию в отдельную тему?

С уважением, Александр Козачок

[ewert]

shwedka в сообщении #202062 писал(а):

В этом жаргоне обычно.понимается 'настолько малая,что чем-то мешающим можно пренебречь'.До понятия предела они не доходят.

Кто не доходит-то -- Смирнов с Лузиным? ...

Физики -- да, те иногда не доходят. Те запросто могут сказать что-нибудь вроде: "трением в этой задаче пренебрегаем, поскольку его влияние пренебрежимо мало на фоне всего остального".

Но математики-то имеют дело с уже идеализированной моделью, в которой все нужные пренебрежения уже сделаны. Поэтому в математике под словами типа "пренебрегая малыми членами" всегда стоит явно подразумеваемый точный предельный переход. Даже в вычислительной математике.

[PAV]

PAV:

Обсуждение отделено в самостоятельную тему

[AD]

Александр Козачок в сообщении #201837 писал(а):

К тому же пока, кажется, никто, кроме Вас и bot-a не считает ее ошибочной.

Гы-гы. Вам кажется гораздо больше, чем Вы можете себе представить. Снимите розовые очки, да.

Вы пишите бред, и это понимают все. Только почти всем уже надоело давно это объяснять (много вас наплодилось).

[Someone]

Александр Козачок в сообщении #202080 писал(а):

Если Вы сопоставите свое удивление с возражениями shwedk-и и bot-a , то придете к выводу, что очень даже надо. Своими пояснениями Вы меня здорово меня выручили.

Пожалуйста. Но, судя по Вашей реакции, Вы в моих пояснениях ничего не поняли и воспринимаете их как доказательство какого-то из Ваших утверждений. Я даже не догадываюсь, что Вы там увидели. Я всего лишь пояснил определение дифференциала и связанные с этим определением формулы.

Александр Козачок в сообщении #202080 писал(а):

И даже после Ваших последних подробных разъяснений повторила свое требование

Если я правильно помню, от Вас требуется доказательство формулы $\mathop{\mathrm{div}}\vec A=0$ при условии $\mathop{\mathrm{div}}\vec v=0$. Формула (1) делает Ваше "доказательство"

Александр Козачок писал(а):

Если же теперь к выражению вектора малых смещений применить операцию div, то Вы сразу увидите, как элементарно доказывается равенство нулю дивергенции этого вектора при нулевой дивергенции скорости divA=(divv)dt

явно недостаточным, поскольку даёт $\mathop{\mathrm{div}}\vec A=\mathop{\mathrm{div}}\vec B(dt)dt$, и не видно, почему это равно $0$.

Александр Козачок в сообщении #202080 писал(а):

Я же пока сомневаюсь. Стоит ли мне, непрофессионалу, пытаться искать еще альтернативное доказательство?

Какое "альтернативное"? Пока ни одного не было.

[Александр Козачок]

Someone писал(а):

Если я правильно помню, от Вас требуется доказательство формулы $\mathop{\mathrm{div}}\vec A=0$ при условии $\mathop{\mathrm{div}}\vec v=0$.

Помните не правильно! Поэтому и удивляетесь. На данном этапе от меня требуют доказательство справедливости формулы из учебника согласно ссылки

В.И.Смирнов, т.2, стр. 327 писал(а):

Если помножим вектор скорости v на величину dt малого промежутка времени, то получится вектор vdt, который будет давать приближенно смещение точки за малый промежуток времени dt . Таким образом получим векторное поле малых смещений точек твердого тела A=vdt

Дивергенция еще впереди.

С уважением, Александр Козачок

[bot]

В приведённой цитате нет ничего, что требовало бы доказательства - это просто обозначение векторного поля. В каждой точке считаем вектор скорости $v=\dot{r}$, умножаем его на фиксированную константу $dt$ и полученное обозначаем буковкой A - оно будет отличаться от векторного поля смещений $r(t+dt)-r(t)$ на $o(dt)$, так что при достаточно малом $dt$ и будет давать приближённую картину последнего, о чём и говорит В.И.Смирнов.

Читать просто уметь надо - Вам это не раз говорили.

[PAV]

Теперь все более понятно (обращаю внимание, что автор топика внес дополнение в заглавный пост). Оказывается, в левой части стоит "приближенно малое смещение точки". Т.е. в одномерном случае в общепринятой современной нотации это будет записываться как $df(t)=f'(t)\,dt$, с чем вроде бы никто спорить не собирается. shwedka давно уже говорила, что речь идет о приближенной формуле. Ничего нового или не соответствующего общепринятым представлением пока не наблюдается.

[shwedka]

За эти дни много произошло, а я в интернет не ходила. Ездила с друзьями на Ниагарский водопад,
много восхитительного, в частности, с точки зрения гидродинамики.
Александр Козачок
Вам осталось сделать пару вещей.
Во-первых,
сформулировать свое утверждение о замечательной формуле.Просто ее написать--мало.Все условия, обозначения-- обязательны.
Если,скажем,я напишу $x^2+y^2=z^2$,
то это еще не формулировка тепремы Пифагора. Нужно по-честному написать,
что $x,y,z$ стороны прямоугольного треугольника. После этого можно доказывать. Если же $x,y,z$ -три последовательных нечетных числа,
то имеем совсем.другую теорему, которая, вроде бы и неверна.
Так что извольте точную формулировку.
Хотя,предсказываю,
всеми силами Вы будете от такого увиливать, чтобы, будучи в очереденой раз во вранье уличенным, с невинным видом заявлять, что тут совсем не то имелось в виду.

Во-вторых,признать, что безупречное рассуждение Someone доказывает НЕ ВАШУ ФОРМУЛУ. Так что зря радуетесь.


ewert

Цитата:

всегда стоит явно подразумеваемый точный предельный переход. Даже в вычислительной математике.

При всей Вашей уверенности в правоте, хотелось бы увидеть аргументацию,
в особенности,в отношении слова 'всегда' и в приложении к 'вычислительной математике'