Александр Козачок, Вы про это?
В.И.Смирнов, т.2, стр. 327 писал(а):
Если помножим вектор скорости v на величину dt малого промежутка времени, то получится вектор vdt, который будет давать приближенно смещение точки за малый промежуток времени dt Таким образом получим векторное поле малых смещений точек твердого тела A=vdt
...
Если же теперь к выражению вектора малых смещений применить операцию div, то Вы сразу увидите, как элементарно доказывается равенство нулю дивергенции этого вектора при нулевой дивергенции скорости div
A=(div
v)dt
Вектор смещений в действительности имеет вид
, где о
известно только, что
и при достаточно малых
вторым слагаемым можно пренебречь по сравнению с первым (если только
).
Поэтому, вычисляя дивергенцию при условии
, мы получим
. Почему это вдруг равно
?
запись формулы с учетом величин второго порядка малости в таком виде, как привели Вы ее в
http://dxdy.ru/topic17909-15.html , принадлежит Вам или заимствована с какого-то источника?
Как я понимаю, речь идёт о формуле
Я как-то не думал, что придётся пояснять общеизвестные элементарные соотношения математического анализа человеку, изучающему уравнения гидродинамики. Ну ладно.
Вспомним, как определяется производная вектор-функции
(смещение частицы жидкости - это вектор-функция). Сначала определяем
приращение функции
в точке
, соответствующее приращению
переменной
:
Затем
производная функции
в точке
определяется как
если этот предел существует (и конечен).
Предполагаем далее, что эта производная существует.
Определим функцию
Из определений (3) и (4) следует, что
и что выполняется соотношение
Формула (6) показывает, что приращение функции, имеющей производную, разбивается на два слагаемых:
(оно называется
дифференциалом функции
в точке
) и
которое имеет более высокий порядок малости при
, чем
(Вы
неправильно называете это выражение членом второго порядка малости; равенство (6) - точное, и член (8) включает всё, что имеет порядок малости более высокий, чем
; его очень часто записывают просто как
).
Если применить скалярную версию формулы (7) к функции
, то получится
, то есть, дифференциал независимой переменной равен её приращению. Поэтому во всех формулах вместо
можно писать
.
Теперь, если функция
задаёт положение частицы жидкости в момент времени
, то скорость частицы
, а смещение частицы за время
будет равно приращению функции
:
(зависимость от
явно указывать не будем, как не указываем зависимость от начального положения частицы). В таких обозначениях формула (1) совпадает с формулой (6).