Равенство инертной и гравитационной масс

[epros]

Утундрий писал(а):

epros, если уж искать подобного рода решения, то переходящие в $\[\frac{{dt^2 }}{{z^{{2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 3}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 3}} }} - z^{{4 \mathord{\left/ {\vphantom {4 3}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 3}} \left( {dx^2 + dy^2 } \right) - dz^2 \]$ вдали от масс.

Зачем?

[Утундрий]

Затем, что только такие решения имеют физический смысл, имхо.

Пусть, к примеру, $\[T_0^0 = \varepsilon ,T_1^1 = T_2^2 = T_3^3 = - p\]$. Тогда получим систему

\[ \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\ddot \mu + \ddot \nu + \frac{1} {2}\dot \nu \left( {\dot \nu - \dot \mu } \right)} =0 \\ { - \varepsilon = \ddot \mu + \frac{3} {4}\dot \mu ^2 } \\ {p = \frac{{\dot \mu }} {2}\left( {\frac{{\dot \mu }} {2} + \dot \nu } \right)} \\ \end{array} } \right. \]

Первое уравнение можно решать отвлекаясь от распределения масс, после чего из второго и третьего получим энергию и давление. Введем новые неизвестные функции $f,h$:

\[ \left| {\begin{array}{*{20}c} {f = - \frac{{2\dot \nu }} {{\dot \mu }}} \\ {h = \frac{2} {3}\frac{1} {{\dot \mu + \dot \nu }}} \\ \end{array} } \right. \]

Если при $\[z \to + \infty \]$ решение стремится к

\[ \frac{{dt^2 }} {{z^{{2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 3}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 3}} }} - z^{{4 \mathord{\left/ {\vphantom {4 3}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 3}} \left( {dx^2 + dy^2 } \right) - dz^2 \]

, то $\[f \to 1,h \to z\]$.
Первое уравнение системы дает

\[ \dot h = \frac{1} {3}\frac{{f(2 + f)}} {{(2 - f)^2 }} \]

после чего для энергии и давления получаем

\[ \varepsilon = \frac{4} {3}\frac{1} {{h^2 (2 - f)^2 }}\left\{ {\frac{{(f - 1)(f + 6)}} {{3(2 - f)}} + h\dot f} \right\},p = \frac{4} {9}\frac{{1 - f}} {{h^2 (2 - f)^2 }} \]

. И давление и энергия должны быть неотрицательны, следовательно

\[ f \leqslant 1,h\dot f \geqslant \frac{{(f - 1)(f + 6)}} {{3(2 - f)}} \]

.
Посмотрим, чему теперь равен тензор Римана:

\[ R_{ \cdot \cdot 01}^{01} = R_{ \cdot \cdot 02}^{02} = \frac{1} {4}\dot \mu \dot \nu = - \frac{2} {9}\frac{f} {{h^2 (2 - f)^2 }} \]

\[ R_{ \cdot \cdot 03}^{03} = \frac{1} {2}\left( {\ddot \nu + \frac{1} {2}\dot \nu ^2 } \right) = \frac{2} {9}\frac{1} {{h^2 (2 - f)^3 }}\left[ {2f^2 - 3h(2 - f)\dot f} \right] \]

\[ R_{ \cdot \cdot 12}^{12} = \frac{1} {4}\dot \mu ^2 = \frac{4} {9}\frac{1} {{h^2 (2 - f)^2 }} \]

\[ R_{ \cdot \cdot 13}^{13} = R_{ \cdot \cdot 23}^{23} = \frac{1} {2}\left( {\ddot \mu + \frac{1} {2}\dot \mu ^2 } \right) = \frac{2} {9}\frac{1} {{h^2 (2 - f)^3 }}\left[ {4 - 4f - f^2 + 3h(2 - f)\dot f} \right] \]

Отсюда видно, что по крайней мере если $h$ нигде не обращается в нуль, то это уже то, что нам нужно. Можно попытаться искать такие $f$ и $h$, чтобы $\[h(0) > 0,h( - z) = h(z),f( - z) = - f(z)\]$ и при этом не нарушались неравенства. Получится какое-то неособое решение.

[epros]

Утундрий писал(а):

Затем, что только такие решения имеют физический смысл, имхо.

Это сильно сказано. А решение, когда "вдали от масс" имеем
$ds^2 = dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2$
уже физического смысла не имеют?

Т.е., например, пространство Минковского - физически бессмысленно?

[Утундрий]

epros писал(а):

Утундрий писал(а):

Затем, что только такие решения имеют физический смысл, имхо.

Это сильно сказано. А решение, когда "вдали от масс" имеем
$ds^2 = dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2$
уже физического смысла не имеют?

Т.е., например, пространство Минковского - физически бессмысленно?

Искривленное решение тоже в Минковского на бесконечности переходит.

[epros]

Утундрий писал(а):

Искривленное решение тоже в Минковского на бесконечности переходит.

Какое решение? Ваша метрика от Лоренцевой отличается. И я не понимаю, почему она "физична", а Риндлеровская, например
$ds^2 = z^2 dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2$,
"нефизична", хотя последняя - уж точно для пространства Минковского.

[Утундрий]

epros писал(а):

Какое решение? Ваша метрика от Лоренцевой отличается.

Нет, при $\[z \to \infty \]$ не отличается. Посмотрите к чему стремится Риман в этом пределе.

epros писал(а):

И я не понимаю, почему она "физична", а Риндлеровская, например
$ds^2 = z^2 dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2$,
"нефизична", хотя последняя - уж точно для пространства Минковского.

Потому что склейка физически бессмысленна. Впрочем, может я чего-то не понимаю? Уточните как именно склеиваются два куска плоскости Минковского по гиперболам равноускоренного движения и что при этом происходит со световыми конусами?

[epros]

Утундрий писал(а):

Нет, при $\[z \to \infty \]$ не отличается. Посмотрите к чему стремится Риман в этом пределе.

Только не говорите мне, что при $z \to \infty$ имеем $z^{2/3} \to 1$ и $z^{4/3} \to 1$.

Утундрий писал(а):

epros писал(а):

И я не понимаю, почему она "физична", а Риндлеровская, например
$ds^2 = z^2 dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2$,
"нефизична", хотя последняя - уж точно для пространства Минковского.

Потому что склейка физически бессмысленна. Впрочем, может я чего-то не понимаю?

Это точно. Во-первых, не понимаете что склейка не имеет отношения к тому, какая метрика должна быть на бесконечности. Во-вторых, очевидно, не поняли физического смысла склейки.

Утундрий писал(а):

Уточните как именно склеиваются два куска плоскости Минковского по гиперболам равноускоренного движения

Обыкновенно. Знаете, как бумажные стаканчики делают? Вырезают из бумаги кружок, а другой кусок бумаги сворачивают в трубочку. А потом край одного скрепляют с краем другого.

Утундрий писал(а):

и что при этом происходит со световыми конусами?

А что с ними должно происходить? Образующие светового конуса спокойно переходят с одного листа на другой, оставаясь образующими светового конуса.

[Утундрий]

epros писал(а):

Только не говорите мне, что при $z \to \infty$ имеем $z^{2/3} \to 1$ и $z^{4/3} \to 1$.

Включите думалку уже!

epros писал(а):

Утундрий писал(а):

...склейка физически бессмысленна. Впрочем, может я чего-то не понимаю?

...не поняли физического смысла склейки.

Это при условии, что он есть. Как раз против этого я и возражаю.

epros писал(а):

Знаете, как бумажные стаканчики делают? Вырезают из бумаги кружок, а другой кусок бумаги сворачивают в трубочку. А потом край одного скрепляют с краем другого.

Образующие светового конуса спокойно переходят с одного листа на другой, оставаясь образующими светового конуса.

Отвлечемся пока от скруглений. В координатах $\[\tau - \zeta \]$ что вы с чем склеиваете? Верхний правый горизонт с верхним левым и точно так же для нижних? И как же, позвольте узнать, ведет себя мировая линия покоящейся в этой с.к. частицы при переходе через вашу склейку? Насколько я в состоянии понять, меняет знак дзеты и шпарит назад по тау до пересечения с нижним горизонтом, после чего перебрасывается назад и повторяет свой же путь еще раз... Вы сами-то понимаете, какого монстра своими бездумными склейками сотворили? Хотя, если вас не смущают замкнутые времениподобные траектории, то ради бога...

[epros]

Утундрий писал(а):

epros писал(а):

Только не говорите мне, что при $z \to \infty$ имеем $z^{2/3} \to 1$ и $z^{4/3} \to 1$.

Включите думалку уже!

См. выше моё сообщение (от Вт Мар 10, 2009 13:59:38). Тут думать не о чем. Или Вы будете мне доказывать, что когда на бесконечности - Лоренцева метрика, то это "нефизично"?

Утундрий писал(а):

epros писал(а):

...не поняли физического смысла склейки.

Это при условии, что он есть. Как раз против этого я и возражаю.

А может у Вас вообще представления о "физическом смысле" какие-то экзотические?

Утундрий писал(а):

Отвлечемся пока от скруглений. В координатах $\[\tau - \zeta \]$ что вы с чем склеиваете?

Это что за координаты?

Утундрий писал(а):

Верхний правый горизонт с верхним левым и точно так же для нижних?

Где Вы видели, чтобы я склеивал горизонты?

Утундрий писал(а):

И как же, позвольте узнать, ведет себя мировая линия покоящейся в этой с.к. частицы при переходе через вашу склейку?

Я уже объяснял несколько раз: Переходит без изменения направления.

Утундрий писал(а):

Насколько я в состоянии понять, меняет знак дзеты и шпарит назад по тау до пересечения с нижним горизонтом, после чего перебрасывается назад и повторяет свой же путь еще раз... Вы сами-то понимаете, какого монстра своими бездумными склейками сотворили? Хотя, если вас не смущают замкнутые времениподобные траектории, то ради бога...

Я понимаю, что Вы в этом примере со склейкой ничегошеньки не поняли.

[Утундрий]

epros писал(а):

Утундрий писал(а):

Отвлечемся пока от скруглений. В координатах $\[\tau - \zeta \]$ что вы с чем склеиваете?

Это что за координаты?

Листать назад, читать буквы...

epros писал(а):

Утундрий писал(а):

Верхний правый горизонт с верхним левым и точно так же для нижних?

Где Вы видели, чтобы я склеивал горизонты?

И тем не менее это так. Вы этого просто не видите.

epros писал(а):

Утундрий писал(а):

И как же, позвольте узнать, ведет себя мировая линия покоящейся в этой с.к. частицы при переходе через вашу склейку?

Я уже объяснял несколько раз: Переходит без изменения направления.

Ну и совершенно не верно.

epros писал(а):

Утундрий писал(а):

Насколько я в состоянии понять, меняет знак дзеты и шпарит назад по тау до пересечения с нижним горизонтом, после чего перебрасывается назад и повторяет свой же путь еще раз... Вы сами-то понимаете, какого монстра своими бездумными склейками сотворили? Хотя, если вас не смущают замкнутые времениподобные траектории, то ради бога...

Я понимаю, что Вы в этом примере со склейкой ничегошеньки не поняли.

Еще раз повторяю, делая склейку на плоскости $t-z$ вы фактически замыкаете друг на друга две причинно не связанные без этой вашей склейки области. В результате получается ерунда. Чтобы таких проблем не возникало, работайте с координатами $\[\tau - \zeta \]$.

[VladTK]

Утундрий писал(а):

Листать назад, читать буквы...

Воспользуйтесь своим ответом и может быть Вы поймете, что никто никаких горизонтов сшивать не предлагает. Пока Вы боритесь с "ветрянными мельницами".

[epros]

Утундрий писал(а):

Еще раз повторяю, делая склейку на плоскости $t-z$ вы фактически замыкаете друг на друга две причинно не связанные без этой вашей склейки области.

Бессмысленный набор слов. Как из кусочков Евклидовой плоскости можно склеить нечто, обладающее кривизной в местах склейки, так же и из кусочков псевдоеклидового пространства можно склеить нечто, не являющееся глобально плоским. А со своими рассуждениями про причинность ступайте на философский форум, ибо Ваш уровень знаний, как я вижу, для понимания примера со склейкой явно недостаточен.

Утундрий писал(а):

В результате получается ерунда. Чтобы таких проблем не возникало, работайте с координатами $\[\tau - \zeta \]$.

Не хотите говорить что за координаты - не надо. Я никакой предыстории Ваших сообшений изучать не собираюсь - в примере со склейкой я про оба вида координат (Лоренцевы и Риндлеровы) уже сказал всё что нужно.

[ИгорЪ]

Ммда, похоже с плоскостью дело труба. А вот такая конструкция-задача на мысль пришла:определить поле тяготеющего цилиндра, тогда внутри гравитация видимо отсутствует,предположим что да. Потом прейти к пределу бесконечно большого радиуса - останется только внешнее поле плоскости, с одной стороны? Значит должны быть такие решения! Кто против, прошу раскритиковать.

Добавлено спустя 7 минут 40 секунд:

Возможно в пределе возникнет две плоскости - конденсатор с нулевым полем внутри...

[epros]

ИгорЪ писал(а):

А вот такая конструкция-задача на мысль пришла:определить поле тяготеющего цилиндра, тогда внутри гравитация видимо отсутствует,предположим что да. Потом прейти к пределу бесконечно большого радиуса - останется только внешнее поле плоскости, с одной стороны? Значит должны быть такие решения!

Цилиндром не интересовался, но для жёсткой сферы решение расписывал. Там снаружи получается - Шварцшильд, а внутри - пространство Минковского. В пределе бесконечно большого радиуса оно в решение для плоскости не переходит, ибо наличие у поверхности кривизны в сочетании с требованием статичности решения вносит в решение неустранимую специфику. Но об этом всём на пальцах я уже не возьмусь рассуждать.

[Someone]

VladTK в сообщении #193538 писал(а):

Поздравляю, Вы доказали что в Меллеровской СО существует горизонт
...
Поэтому Ваш вывод о непринадлежности плоскости к пространству-времени не верен.

Вы ничего не поняли из того, что я писал.

"Плоскость" $z=0$, которая в координатах $t,z$ изображается прямой, не принадлежит пространству-времени Риндлера. На самом деле это пространство-время содержит только область $z>0$. Вторая область $z<0$ с первой вообще никак не связана. Метрика $ds^2=z^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2$ при $z=0$ вырождается. Не имеет никакого значения, как ведёт себя преобразование координат при $z=0$. Если сделать преобразование

$$\begin{cases}\tau=|z|\sh t\text{,}\\ \zeta=z\ch t\text{,}\end{cases}$$

то можно увидеть, что вся прямая $z=0$ превращается в одну точку $\tau=\zeta=0$. Метрика $ds^2=d\tau^2-dx^2-dy^2-d\zeta^2$ нигде не вырождается и описывает геодезически полное пространство-время, поэтому есть основания считать, что именно она описывает истинный вид "плоскости" $z=0$. Заметьте, что ни одна изотропная или времениподобная геодезическая, начинающаяся внутри двух углов $-|\zeta|<\tau<|\zeta|$, не проходит через точку $\tau=\zeta=0$. Все эти геодезические покидают углы Риндлера через прямые $\tau=\pm\zeta,\zeta\neq 0$, которым не соответствуют никакие точки в пространстве-времени Риндлера.

Кстати, точно такая же ситуация с горизонтом чёрной дыры: то, что в координатах Шварцшильда изображается как "сфера" $r=r_g$, при переходе к координатам Крускала - Шекерса превращается в одну точку, через которую не проходит ни одна времениподобная или изотропная геодезическая, начинающаяся вне чёрной дыры.

Утундрий в сообщении #193584 писал(а):

Если речь здесь о $\[z^2 dt^2 - dz^2 \]$, гравитации нет вообще, есть только корявое преобразование координат. Вы же сами об этом уже говорили!

Да, говорил. Но я не физик, а ОТО интересуюсь на уровне праздного любопытства. В данном вопросе я окончательно ещё не определился. Munin в этом вопросе вроде бы поддерживает eprosа и VladTK, а я его воспринимаю как квалифицированного физика. Но мне кажется очень странным, когда мне заявляют, что гравитационное поле может появиться от того, что из пространства-времени Минковского вырезали какие-то куски и как-то их склеили. Ведь никаких изменений вдали от склейки не произошло.
Наверное, результат может имитировать "притяжение" к плоскости, но сама постановка задачи о статической гравитирующей плоскости вызывает у меня сомнения. В качестве аналогии приводят задачу из электростатики о заряженной плоскости, но физически эти задачи отличаются. Электрические заряды удерживаются на плоскости силами, которые не влияют на электрическое поле. В случае ОТО эти силы сами должны создавать гравитационное поле. Не факт, что при физически разумных предположениях плоскость может оставаться статической.

epros в сообщении #193596 писал(а):

Ну, если не лень, можно проделать вычисления для случая плоского слоя конечной толщины.

Попробовал я прокрутить Вашу идею. Поскольку вычисление тензора Эйнштейна $G_{ik}=R_{ik}-\frac 12g_{ik}R$ у меня запрограммировано в пакете Mathematica, это не занимает много времени. Я взял Вашу сглаживающую функцию и получил в переходной зоне метрику $ds^2=(1+h)\left(1+\frac{z^2}h\right)dt^2-dx^2-dy^2-dz^2$. Вычисление тензора Эйнштейна, который пропорционален тензору энергии-импульса, даёт $G_{00}=G_{33}=0,G_{11}=G_{22}=\frac h{(h+z^2)^2}$. Если Вы считаете, что анизотропное давление, не обращающееся в $0$ на границе с пустым пространством, и при нулевой плотности энергии - это очень физично, то у меня нет слов.

Я также разобрался с решением Тауба для несжимаемой жидкости с плотностью $\rho>0$. Поскольку статья Тауба мне недоступна, пришлось считать самому (с помощью пакета Mathematica). Уравнения Эйнштейна для метрики
$ds^2=c^2e^{\lambda}dt^2-e^{\mu}(dx^2+dy^2)-dz^2$
имеют вид

$$\begin{cases}-\frac 14c^2e^{\lambda}(3(\mu')^2+4\mu'')=\frac{8\pi k}{c^4}\cdot c^2e^{\lambda}\rho c^2\text{,}\\ \frac 14e^{\mu}((\lambda')^2+\lambda'\mu'+(\mu')^2+2\lambda''+2\mu'')=\frac{8\pi k}{c^4}\cdot e^{\mu}p\text{,}\\ \frac 14\mu'(2\lambda'+\mu')=\frac{8\pi k}{c^4}\cdot p\end{cases}$$

(специально написал уравнения без упрощений; штрих означает производную по $z$). Уравнение $T^i_{k;i}=0$, следующее из уравнений Эйнштейна, имеет вид

$$-\frac 12(2p'+(p+\rho c^2)\lambda')=0\text{.}$$

После тривиальных сокращений получаем

$$\begin{cases}3(\mu')^2+4\mu''=-\frac{32\pi k\rho}{c^2}\text{,}\\ (\lambda')^2+\lambda'\mu'+(\mu')^2+2\lambda''+2\mu''=\frac{32\pi k}{c^4}p\text{,}\\ \mu'(2\lambda'+\mu')=\frac{32\pi k}{c^4}p\text{,}\\ p'+\frac 12\lambda'p=-\frac 12\lambda'\rho c^2\text{.}\end{cases}$$

Вычитая третье уравнение из второго, получим
$(\lambda')^2-\lambda'\mu'+2\lambda''+2\mu''=0\text{.}$
Все уравнения с точностью до обозначений совпадают с уравнениями, которые написал Утундрий, поэтому есть надежда, что все они правильные.
Поскольку $\rho$ предполагается постоянным, первое уравнение можно решить:

$$\mu=\frac 43\ln\left|\cos\frac{\sqrt{6\pi k\rho}}c(z-z_0)\right|+\ln C_1^2\text{.}\eqno{(1)}$$

Видим, что в качестве независимой переменной лучше принять

$$Z=\frac{\sqrt{6\pi k\rho}}c(z-z_0)\text{.}\eqno{(2)}$$

Далее штрих будет обозначать производную по новой переменной $Z$. Тогда уравнения примут вид

$$\begin{cases}3(\mu')^2+4\mu''=-\frac{16}3\text{,}\\ (\lambda')^2+\lambda'\mu'+(\mu')^2+2\lambda''+2\mu''=\frac{16}{3\rho c^2}p\text{,}\\ \mu'(2\lambda'+\mu')=\frac{16}{3\rho c^2}p\text{,}\\ p'+\frac 12\lambda'p=-\frac 12\lambda'\rho c^2\text{,}\\ (\lambda')^2-\lambda'\mu'+2\lambda''+2\mu''=0\text{.}\end{cases}\eqno{(3)}$$

Из четвёртого уравнения, если его проинтегрировать как линейное относительно $p$, получим

$$p=C_2e^{-\frac{\lambda}2}-\rho c^2\text{,}\eqno{(4)}$$

а решение (1) с новой переменной примет вид

$$e^{\mu}=C_1^2\sqrt[3]{\cos^4Z}\text{.}\eqno{(5)}$$

Подставляя $p$ и $\mu$ из (4) и (5) в третье уравнение системы (3), можем найти оставшуюся функцию $\lambda$. Если $C_2=0$, то получим

$$e^{\lambda}=C_3^2\frac{\sin^2Z}{\sqrt[3]{\cos^2Z}}\text{,}\eqno{(6)}$$

что даёт вакуумное решение с космологической постоянной. Если же $C_2\neq 0$, то будет

$$e^{\frac{\lambda}2}=\frac{C_2}{\rho c^2}\left(1+\frac{|\sin Z|}{6\sqrt[3]{\cos Z}}\left(\mathbf B\left(\sin^2Z,\frac 12,\frac 16\right)+C_3\right)\right)\text{,}\eqno{(7)}$$

где

$$\mathbf B(x,p,q)=\int\limits_0^xt^{p-1}(1-t)^{q-1}dt$$

есть неполная бета-функция (бета-функция $\mathbf B(p,q)=\mathbf B(1,p,q)$).
Подставляя (7) в (4), найдём

$$p=\frac{\rho c^2|\sin Z|\left(\mathbf B\left(\sin^2Z,\frac 12,\frac 16\right)+C_3\right)}{6\sqrt[3]{\cos Z}+|\sin Z|\left(\mathbf B\left(\sin^2Z,\frac 12,\frac 16\right)+C_3\right)}\text{.}\eqno{(8)}$$

Для возвращения к первоначальной переменной $z$ нужно подставить в формулы (5) - (8) выражение (2).

Плоскостью симметрии решения является $Z=0$. На этой плоскости $p=0$. Из выражения (5) видно, что $-\frac{\pi}2<Z<\frac{\pi}2$. Если $C_3\geqslant 0$, то при возрастании $|Z|$ от $0$ до $\frac{\pi}2$ давление $p$ возрастает до $\rho c^2$. При $-\mathbf B\left(\frac 12,\frac 16\right)<C_3<0$ давление сначала убывает, становясь отрицательным, затем растёт до $\rho c^2$. При $C_3<-\mathbf B\left(\frac 12,\frac 16\right)$ давление становится разрывным. В любом случае нарушается условие энергодоминантности $3p\leqslant\rho c^2$ (кроме $C_3=-\mathbf B\left(\frac 12,\frac 16\right)$, когда давление растёт только до нуля).

Как это применить к задаче о гравитирующей плоскости, не знаю. Хотелось бы иметь решение, симметричное относительно плоскости $z=0$, в котором давление положительно внутри слоя и равно $0$ на границе с вакуумными областями, но, похоже, таких решений не существует. Между тем, если бы задача о статической гравитирующей плоскости была разумной, должно было бы существовать подходящее решение с постоянной плотностью хотя бы для достаточно тонкого слоя.

Поправка от 23/III-2009. С пределом давления в случае $C_3=-\mathbf B\left(\frac 12,\frac 16\right)$ наврал. Он на самом деле равен не $0$, а $-\infty$. Поэтому в этом случае давление при $z\to\frac{\pi}2^-$ не растёт до нуля, а убывает до $-\infty$.

epros в сообщении #193709 писал(а):

Только не говорите мне, что при $z \to \infty$ имеем $z^{2/3} \to 1$ и $z^{4/3} \to 1$.

Нет, конечно. Но компоненты тензора кривизны стремятся к нулю, так что пространство-время асимптотически плоское.

epros в сообщении #194044 писал(а):

Как из кусочков Евклидовой плоскости можно склеить нечто, обладающее кривизной в местах склейки...

Не кривизной, а особенностями. Просто получается нечто не гладкое. Физическая осмысленность априори не ясна, поскольку при склейке должны выполняться определённые условия, которые здесь никто не проверял.

epros в сообщении #194044 писал(а):

Не хотите говорить что за координаты - не надо.

Ну что Вы в позу становитесь. Обсуждались здесь эти координаты.