Равенство инертной и гравитационной масс

[VladTK]

Someone писал(а):

А где там $ z=0 $ ?...

Уравнения Эйнштейна решались в системе координат $ t,x,y,z $ в которых $ -\infty < z < \infty $ Переход от этой системы координат к галилеевым $ \tau,x,y,\zeta $ возможен лишь помощью вырожденного преобразования.

Someone писал(а):

Слышал, но не видел. Это не те самые преобразования, которые я написал?

Ваши преобразования являются частным случаем преобразований Меллера. Для равноускоренной системы отсчета, движущейся с ускорением $ a_z $ преобразования Меллера будут иметь вид что-то типа (я восстанавливаю скорость света с)

$$ \begin {cases} \zeta=z ch {\frac {a_z t} {c}} \\ \tau=z \sh {\frac {a_z t} {c}} \end {cases} $

Поскольку в верхней области $ z>0 $ ускорение свободного падения отрицательно (направлено против оси $ z $), то ускорение Меллеровской СО (фактически оно здесь равно 1) положительно и мы имеем преобразования, выписанные выше. В нижней области $ z<0 $ ускорение свободного падения положительно, а Меллеровское ускорение отрицательно. Вследствие нечетности гиперсинуса в $ \tau $ получаем минус.

Someone писал(а):

Ещё один pc20b...

У Вас это стало ругательством

Someone писал(а):

Про принцип эквивалентности я и сам знаю. Мой вопрос в другом. Ещё раз объясню, раз Вы не поняли...

Зря Вы пустились в объяснения не разобравшись с моим ответом.

Someone писал(а):

...К сожалению, в общем случае у нас нет инвариантного (независимого от координат) способа разделить гравитационное поле, связанное с кривизной, и координатные эффекты.

В ОТО выполнен сильный принцип эквивалентности: гравитационное поле эквивалентно метрике псевдориманового пространства-времени. Гравитация=Метрика. Не кривизне, заметьте. Поэтому Ваше сожаление выглядит несколько...

ИгорЪ писал(а):

Это не у меня. Я немного делал поиск в arXive(типа EP violation) и бегло читал абстракты. Там такое было. Но были и противоположные выводы. Пару статей я разобрал, где то здесь есть ссылки.

Занятно. Я тоже когда-то читал, что в нерелятивисткой квантовой механике ПЭ остается справедливым. Но вот где, и какие аргументы приводились по этому поводу уже не помню

[Munin]

ИгорЪ в сообщении #192771 писал(а):

Я пока вообще пилотку не понимаю. ...Если есть мысли выскажите.

Ведите себя более последовательно: если чего-то не понимаете, то не указывайте другим, что высказывать, а что не высказывать.

ИгорЪ в сообщении #192771 писал(а):

А про два несвязанных мира по обе стороны гр. плоскости я уже писал.

Вопрос не в том, что они несвязаны, а в том, что они на листах, таких что каждый лист занимает целиком всё $\mathbb{R}^4$ в риндлеровских координатах. И продолжение по минковской плоскости нелегально по постановке задачи для гравитирующей плоскости. Поэтому они не перекрываются ни по какой области, и поэтому не могут быть склеены как карты в атласе. То есть не просто несвязаны, а понятно, почему несвязаны.

[epros]

Munin писал(а):

Вопрос не в том, что они несвязаны, а в том, что они на листах, таких что каждый лист занимает целиком всё $\mathbb{R}^4$ в риндлеровских координатах. И продолжение по минковской плоскости нелегально по постановке задачи для гравитирующей плоскости. Поэтому они не перекрываются ни по какой области, и поэтому не могут быть склеены как карты в атласе. То есть не просто несвязаны, а понятно, почему несвязаны.

Munin, я не пойму, в чём проблема с этой сшивкой? В риндлеровских координатах берётся полупространство $z > 1$ и склеивается с полупространством $z < -1$. Естественно, по горизонту $z = 0$ резать ничего не нужно, а чтобы по координате $z$ не было скачка от -1 до 1, нужно перед склейкой сдвинуть координату так, чтобы с обеих сторон в месте склейки она подходила к нулю.

[Munin]

epros в сообщении #192957 писал(а):

Munin, я не пойму, в чём проблема с этой сшивкой?

В том, что нет места для шва.

Например, покажу для контраста сшивку Эддингтона-Финкельштейна. Берётся Шварцшильд, делается преобразование координат. Как было два листа, так и остаётся, заметьте. Потом делается замечание, что внутренний край внешнего листа (я не слишком непонятно заворачиваю?) не имеет особенностей метрики. Его малая окрестность может быть сшита с $S^2\times H^2,$ где $H^2$ - подмножество двумерного Минковского $M^2$ в окрестности световой линии (горизонта). И потом та же самая $S^2\times H^2$ сшивается с малой окрестностью внешнего края внутреннего листа.

Надеюсь, понятна мораль: чтобы атлас описывал многообразие, карты атласа должны не стыковаться, а перекрываться. Хотя бы в малой области.

Здесь этого нет. Левый край правого полупространства не перекрывается с правым краем левого полупространства. Не может: один правее гравитирующей плоскости, а другой левее.

В принципе, можно требование перекрытия ослабить, заменив на требование непрерывности. Но не самих координат - а связностей. И тут остаётся та же проблема: вы не сможете построить непрерывную связность в предлагаемом месте склейки. Хотя... тут я уже не уверен, может быть, речь должна идти о гладкости связности.

[epros]

Munin писал(а):

Надеюсь, понятна мораль: чтобы атлас описывал многообразие, карты атласа должны не стыковаться, а перекрываться. Хотя бы в малой области.

Какая-то аморальная мораль.

Munin писал(а):

В принципе, можно требование перекрытия ослабить, заменив на требование непрерывности. Но не самих координат - а связностей. И тут остаётся та же проблема: вы не сможете построить непрерывную связность в предлагаемом месте склейки. Хотя... тут я уже не уверен, может быть, речь должна идти о гладкости связности.

Зачем Вам это всё? На заряженной плоскости электрическое поле испытывает скачок и никого это не смущает. Почему же когда речь начинает идти о гравитационном поле (оно же - связность) Вы вдруг начинаете требовать непрерывности?

Если так уж хотите непрерывности, то можно "загладить" место склейки (ребро "пилотки"). Сути это не изменит, но ускорение свободного падения с +g на одной стороне перейдёт в -g на другой стороне не скачком в месте пересечения с плоскостью, а плавненько на протяжении пути сквозь слой тяготеющей материи (уже не бесконечно тонкий).

[Munin]

epros в сообщении #192992 писал(а):

На заряженой плоскости электрическое поле испытывает скачок и никого это не смущает.

Видите ли, теория многообразий рассматривает только многообразия без скачков. Возможно, её можно расширить соответствующим образом, чтобы описывать поверхности с вершинами (типа конуса), с гребнями, и т. п. - но я не знаю такой теории, и в ОТО её не используется. Построите - публикуйте. Кстати, и недоброй памяти Котофеич что-то говорил о расширении ОТО на обобщённые функции.

epros в сообщении #192992 писал(а):

Если так уж хотите непрерывности, то можно "загладить" место склейки (ребро "пилотки"). Сути это не изменит, но ускорение свободного падения с +g на одной стороне перейдёт в -g на другой стороне не скачком в месте пересечения с плоскостью, а плавненько на протяжении пути сквозь слой тяготеющей материи (уже не бесконечно тонкий).

Покажете - посмотрим. Заодно будет что ответить Someone на вопросы о том, где же там гравитация. Я так понимаю, в толщине слоя тензор Эйнштейна не будет равен тождественно нулю.

[VladTK]

А вот связано ли решение б), указанное Someone, с задачей о гравитирующем полупространстве? Интересно, что в этом решении кривизна уже не нулевая...

[epros]

Munin писал(а):

Видите ли, теория многообразий рассматривает только многообразия без скачков. Возможно, её можно расширить соответствующим образом, чтобы описывать поверхности с вершинами (типа конуса), с гребнями, и т. п. - но я не знаю такой теории, и в ОТО её не используется. Построите - публикуйте.

Ох, не смешите мои тапки...

Munin писал(а):

Покажете - посмотрим. Заодно будет что ответить Someone на вопросы о том, где же там гравитация.

Неужели ж мне нужно рассказывать, как функцию с изломом (типа |x|) можно сгладить (например, на интервале (-a,+a) заменив её параболой)? Проделываете то же самое с метрическим тензором около z=0, и все дела. Из того, что получилось, нетрудно рассчитать связность, а из неё - тензор кривизны, и далее - тензор энергии-импульса слоя.

Munin писал(а):

Я так понимаю, в толщине слоя тензор Эйнштейна не будет равен тождественно нулю.

Разумеется, в толщине слоя (и только там) он будет ненулевым. Но фишка-то в том, что эту толщину можно сделать сколь угодно тонкой.

[GVI]

Данный принцип является постулатом,но на его основании построена ошибочная концепция ТО. Существует более логичный подход в использовании этого принципа для описания гравитационных процессов во Вселенной. Авторский взгляд приведен в книге «Человек и энергия Вселенной» по адресу: ссылка вырезана // photon

[photon]

[mod="photon"]GVI, замечание за дубль и рекламу[/mod]

[Someone]

Munin в сообщении #192748 писал(а):

писал(а):

Someone в сообщении #192663 писал(а):

К сожалению, в общем случае у нас нет инвариантного (независимого от координат) способа разделить гравитационное поле, связанное с кривизной, и координатные эффекты.

Видите ли, вы ведёте себя так, будто в общем случае нельзя, а в частном случае локально плоского пространства - можно. Зарядитесь идеей, что в этом случае тоже нельзя.

М-м-м... Похоже, что Вы в некотором высшем смысле правы. Но у меня вопрос был к VladTK.

Munin в сообщении #192748 писал(а):

Ни одна частица по отдельности бы ничего не почувствовала.

По отдельности, конечно, не почувствуют. Речь шла о многих частицах.

epros в сообщении #192756 писал(а):

Если построить Лоренцевы координаты в одной половине пространства-времени и попытаться тупо продолжить их на другую, то в другой половине, увы, они уже никак не получатся Лоренцевыми.

Из-за того, что продолжать надо через поверхность, где явно нарушается гладкость, сама возможность "тупого" продолжения не ясна. Но на другой половине есть свои лоренцевы координаты.

ИгорЪ в сообщении #192771 писал(а):

А про два несвязанных мира по обе стороны гр. плоскости я уже писал.

Вообще говоря, трудно понять, что Вы имели в виду.

VladTK в сообщении #192810 писал(а):

Уравнения Эйнштейна решались в системе координат $ t,x,y,z $ в которых $ -\infty < z < \infty $ Переход от этой системы координат к галилеевым $ \tau,x,y,\zeta $ возможен лишь помощью вырожденного преобразования.

Мало ли где они решались. У нас получилась метрика $ds^2=z^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2$. Вас гипнотизирует тот факт, что здесь полупространства $z>0$ и $z<0$ соприкасаются по плоскости $z=0$, и Вы думаете, что через эту плоскость можно перейти из одного полупространства в другое? Эта плоскость недостижима ни для массивных частиц, ни для световых сигналов.

Ненулевые символы Кристоффеля здесь следующие: $\Gamma^0_{03}=\Gamma^0_{30}=\frac 1z$, $\Gamma^3_{00}=z$; поэтому уравнения геодезических такие:

$$\begin{cases}\frac{d^2t}{d\tau^2}+\frac 2z\frac{dt}{d\tau}\frac{dz}{d\tau}=0\text{,}\\ \frac{d^2x}{d\tau^2}=0\text{,}\\ \frac {d^2y}{d\tau^2}=0\text{,}\\ \frac{d^2z}{d\tau^2}+z\left(\frac{dt}{d\tau}\right)^2=0\text{,}\\ z^2\left(\frac{dt}{d\tau}\right)^2-\left(\frac{dx}{d\tau}\right)^2-\left(\frac{dy}{d\tau}\right)^2-\left(\frac{dz}{d\tau}\right)^2=\begin{cases}1\text{ для массивных частиц,}\\ 0\text{ для световых сигналов.}\end{cases}\end{cases}$$

Параметр $\tau$ для массивных частиц является собственным временем.

Если в некоторый момент $\frac{dx}{d\tau}=\frac{dy}{d\tau}=0$, то так же будет и всегда, поэтому существуют геодезические, на которых $x$ и $y$ постоянны. Эти геодезические и рассмотрим.

Форму световых (изотропных) геодезических можно сразу найти из метрики: полагая $ds=dx=dy=0$, получим $z^2dt^2-dz^2=0$, откуда $dt=\pm\frac{dz}z$ и $t-t_0=\pm\ln|z|$. Если Вы построите графики, то увидите, что эти геодезические не достигают плоскости $z=0$.

Для массивных частиц, то есть, для времениподобных геодезических, получаем $\left(\frac{dt}{d\tau}\right)^2=\frac 1{z^2}\left(1+\left(\frac{dz}{d\tau}\right)^2\right)$. Подставляя это выражение в четвёртое уравнение системы, получим уравнение, содержащее только одну неизвестную функцию $z$. Это уравнение имеет решение $z=\pm\sqrt{z_0^2-(\tau-\tau_0)^2}$; дальше я буду считать, что $\tau_0=0$, то есть, собственное время отсчитывается от точки экстремума $z$. Тогда $-|z_0|<\tau<|z_0|$. Подставляя полученное выражение в написанное выше выражение для $\frac{dt}{d\tau}$ и интегрируя его, найдём $t-t_0=\frac 12\ln\frac{|z_0|+\tau}{|z_0|-\tau}$, откуда видно, что и эти геодезические не достигают плоскости $z=0$.

Аналогично можно проинтегрировать уравнения для любых изотропных или времениподобных геодезических и убедиться, что они не достигают плоскости $z=0$. Таким образом, какая-либо связь между полупространствами $z>0$ и $z<0$ через плоскость $z=0$ невозможна.

VladTK в сообщении #192810 писал(а):

Переход от этой системы координат к галилеевым $ \tau,x,y,\zeta $ возможен лишь помощью вырожденного преобразования.

Из сказанного выше следует, что плоскость $z=0$ в действительности не принадлежит пространству-времени; в частности, эту плоскость нельзя рассматривать как "гравитирующую плоскость". Вырожденность преобразования на этой плоскости не играет роли. "Разделяемые" ею полупространства никак не связаны, они вовсе не являются "верхним" и "нижним" полупространствами для гравитирующей плоскости, и преобразования координат в них можно делать совершенно независимо. Если Вам хочется их поместить в пространство-время Минковского, Вы можете располагать их совершенно независимо друг от друга.

Преобразование

$$\begin{cases}\tau=|z|\sh t\text{,}\\ \zeta=z\ch t\end{cases}$$

отождествляет полупространства $z>0$ и $z<0$ с двумя секторами $-\zeta<\tau<\zeta$ и $\zeta<\tau<-\zeta$ пространства Минковского, после чего видно, что их можно продолжить до полного пространства Минковского. Склеить два этих сектора по их границе нельзя, так как смысл склейки состоит в возможности продолжения геодезических через общую границу склеиваемых областей, а здесь такое продолжение невозможно, о чём написал уже и Munin.

Я вернусь к уравнениям геодезических. Из формулы $z=\pm\sqrt{z_0^2-\tau^2}$ видно, что частица достигает $z=0$ при конечном значении собственного времени $\tau=\pm z_0$, но при бесконечном значении координатного времени $t$. При этом никаких особенностей на пути частицы не возникает. Таким образом, имеет место геодезическая неполнота данного пространства-времени.

Ситуация здесь аналогична ситуации на горизонте чёрной дыры в координатах Шварцшильда. Здесь горизонт также недостижим по координатному времени и вполне достижим по собственному времени падающей частицы. Кстати, и преобразование к координатам Крускала - Шекерса похоже на рассматриваемое здесь. Между прочим (держитесь крепче), преобразование между координатами Шварцшильда и координатами Крускала - Шекерса является вырожденным на горизонте и задаётся разными формулами в четырёх (!) разных областях, которые, тем не менее, гладко склеиваются между собой. Вряд ли Вы об этом не слышали, так что я никак не пойму, чего Вы прицепились к этим преобразованиям.

VladTK в сообщении #192810 писал(а):

Ваши преобразования являются частным случаем преобразований Меллера.

Я вполне сознательно удалил все постоянные, включив их в определения координат.

VladTK в сообщении #192810 писал(а):

Someone писал(а):

Ещё один pc20b...

У Вас это стало ругательством

Он тоже пытался доказывать мне, что, делая замену координат, можно получить ненулевую кривизну в плоском пространстве и максимум у монотонной функции.

VladTK в сообщении #192810 писал(а):

В ОТО выполнен сильный принцип эквивалентности: гравитационное поле эквивалентно метрике псевдориманового пространства-времени. Гравитация=Метрика. Не кривизне, заметьте.

Пример с гравитирующей плоскостью показывает, пожалуй, что в этом случае гравитация не сводится и к локальной метрике. Здесь гравитация выглядит как некий глобальный эффект, связанный с геометрией пространства-времени в целом.

epros в сообщении #192992 писал(а):

Если так уж хотите непрерывности, то можно "загладить" место склейки (ребро "пилотки"). Сути это не изменит, но ускорение свободного падения с +g на одной стороне перейдёт в -g на другой стороне не скачком в месте пересечения с плоскостью, а плавненько на протяжении пути сквозь слой тяготеющей материи (уже не бесконечно тонкий).

Именно что хотелось бы непрерывности, причём, на каком-нибудь мало-мальски реалистичном примере. Между прочим, есть решение Тауба для плоско-симметричного пространства, заполненного несжимаемой жидкостью. Статью скачивать не дают, но решение не очень сложное, я его воспроизвёл. При наличии свободного времени приведу свои вычисления в порядок и выложу результат сюда. Потом можно будет посмотреть, как оно склеивается с вакуумным решением.

VladTK в сообщении #193029 писал(а):

А вот связано ли решение б), указанное Someone, с задачей о гравитирующем полупространстве? Интересно, что в этом решении кривизна уже не нулевая...

Вот есть статья об этом решении: http://arxiv.org/pdf/gr-qc/9608058.

epros в сообщении #192957 писал(а):

В риндлеровских координатах берётся полупространство $z > 1$ и склеивается с полупространством $z < -1$.

Ну да, такая склейка вполне возможна, и переход с одной стороны на другую также вполне возможен. В галилеевых координатах на диаграмме это склейка по гиперболам. Если считать, что в силу симметрии частица проходит через гравитирующую плоскость через равные промежутки времени (не теряя при этом кинетической энергии), то нетрудно даже нарисовать мировую линию этой частицы.

[VladTK]

Someone писал(а):

Мало ли где они решались. У нас получилась метрика...

Поздравляю, Вы доказали что в Меллеровской СО существует горизонт Кто бы сомневался. Я потому и предлагал epros-совский "финт ушами" (сдвиг артефакта координатной сетки в нефизическую область) чтобы разделить горизонт и плоскость.

Поэтому Ваш вывод о непринадлежности плоскости к пространству-времени не верен.

Someone писал(а):

Я вполне сознательно удалил все постоянные, включив их в определения координат

Я не против. Но знаки при этом терять не надо (т.е учитывать разницу в ускорениях в разных областях все равно приходится).

Someone писал(а):

Пример с гравитирующей плоскостью показывает, пожалуй, что в этом случае гравитация не сводится и к локальной метрике. Здесь гравитация выглядит как некий глобальный эффект, связанный с геометрией пространства-времени в целом.

"Не верь глазам своим". Вот с локальной метрикой тут как раз полный порядок.

Someone писал(а):

epros в сообщении #192957 писал(а):
В риндлеровских координатах берётся полупространство $z>1$ и склеивается с полупространством $z<-1$.


Ну да, такая склейка вполне возможна, и переход с одной стороны на другую также вполне возможен...

И я предлагал то же самое, но на другом языке.

[Утундрий]

Можно и без детального исследования геодезических углядеть, что $\[z^2 dt^2 - dz^2 \]$ некорректно склеивать по $z=0$. Для этого нужно взять карандаш, бумагу и начертить на плоскости $\[\tau = z \cdot \operatorname{sh} t,\zeta = z \cdot \operatorname{ch} t\]$ несколько линий $t,z=const$. Это даст представление какие именно области плоскости Минковского покрываются координатами $t,z$. Всякому, кто не полный кретин, после этого будет очевидно и то, что горизонт $z=0$ достигается за конечное собственное время и то, что куски $z>0$ и $z<0$ причинно не связаны, и то, что переходя к $t,z$ от $\[\tau ,\zeta \]$ мы ненавязчиво прячем под ковер ни больше и не меньше как половину рассматриваемой области. Если теперь дать себе обмануться видимостью "близости" этих двух с помощью "лома и такой-то матери" пригнанных друг к другу половинок и попытаться их склеить, то и получится весь тот бред, который тут пережевывается. В координатах $\[\tau ,\zeta\]$ этой вашей склейке соответствует сверхсветовой скачек пробной частицы, что вполне однозначно характеризует ее незаконность. Dixi.

Добавлено спустя 19 минут 53 секунды:

Someone писал(а):

VladTK в сообщении #192810 писал(а):

В ОТО выполнен сильный принцип эквивалентности: гравитационное поле эквивалентно метрике псевдориманового пространства-времени. Гравитация=Метрика. Не кривизне, заметьте.

Пример с гравитирующей плоскостью показывает, пожалуй, что в этом случае гравитация не сводится и к локальной метрике. Здесь гравитация выглядит как некий глобальный эффект, связанный с геометрией пространства-времени в целом.

Если речь здесь о $\[z^2 dt^2 - dz^2 \]$, гравитации нет вообще, есть только корявое преобразование координат. Вы же сами об этом уже говорили!

Someone писал(а):

epros в сообщении #192992 писал(а):

Если так уж хотите непрерывности, то можно "загладить" место склейки (ребро "пилотки"). Сути это не изменит, но ускорение свободного падения с +g на одной стороне перейдёт в -g на другой стороне не скачком в месте пересечения с плоскостью, а плавненько на протяжении пути сквозь слой тяготеющей материи (уже не бесконечно тонкий).

Именно что хотелось бы непрерывности, причём, на каком-нибудь мало-мальски реалистичном примере. Между прочим, есть решение Тауба для плоско-симметричного пространства, заполненного несжимаемой жидкостью. Статью скачивать не дают, но решение не очень сложное, я его воспроизвёл. При наличии свободного времени приведу свои вычисления в порядок и выложу результат сюда. Потом можно будет посмотреть, как оно склеивается с вакуумным решением.

Под несжимаемой жидкостью понимается среда с $\[T_0^0 = \varepsilon ,T_1^1 = T_2^2 = T_3^3 = - p\]$?

Someone писал(а):

epros в сообщении #192957 писал(а):

В риндлеровских координатах берётся полупространство $z > 1$ и склеивается с полупространством $z < -1$.

Ну да, такая склейка вполне возможна, и переход с одной стороны на другую также вполне возможен. В галилеевых координатах на диаграмме это склейка по гиперболам. Если считать, что в силу симметрии частица проходит через гравитирующую плоскость через равные промежутки времени (не теряя при этом кинетической энергии), то нетрудно даже нарисовать мировую линию этой частицы.

А не приведет ли такая склейка к появлении кривизны у получившегося многообразия?

[epros]

Someone писал(а):

epros в сообщении #192756 писал(а):

Если построить Лоренцевы координаты в одной половине пространства-времени и попытаться тупо продолжить их на другую, то в другой половине, увы, они уже никак не получатся Лоренцевыми.

Из-за того, что продолжать надо через поверхность, где явно нарушается гладкость, сама возможность "тупого" продолжения не ясна. Но на другой половине есть свои лоренцевы координаты.

С точки зрения продолжения координат гладкость метрики не имеет никакого значения. Здесь главное, чтобы сами координаты продолжались без разрывов, т.е. чтобы все точки любого интервала $(z-\epsilon,z+\epsilon)$ принадлежали континууму. Для Риндлеровских координат такое сделать можно (с учетом сдвига по координате z), а для Лоренцевых - нельзя.

Someone писал(а):

epros в сообщении #192992 писал(а):

Если так уж хотите непрерывности, то можно "загладить" место склейки (ребро "пилотки"). Сути это не изменит, но ускорение свободного падения с +g на одной стороне перейдёт в -g на другой стороне не скачком в месте пересечения с плоскостью, а плавненько на протяжении пути сквозь слой тяготеющей материи (уже не бесконечно тонкий).

Именно что хотелось бы непрерывности, причём, на каком-нибудь мало-мальски реалистичном примере.

Ну, если не лень, можно проделать вычисления для случая плоского слоя конечной толщины. Методика там очень простая. Смотрим на Риндлеровскую метрику сверху от слоя: $g_{t t} = (z+1)^2, g_{x x} = g_{y y} = g_{z z} = -1$ и снизу от слоя: $g_{t t} = (z-1)^2, g_{x x} = g_{y y} = g_{z z} = -1$ (недиагональные компоненты нулевые). Видим, что на $z=0$ она сшивается непрерывно, но негладко (имеется излом компоненты $g_{t t}$). Находим первую производную этой компоненты по $z$: $g_{t t, z} = 2 (z+1)$ сверху от плоскости и $g_{t t, z} = 2 (z-1)$ снизу от плоскости. Рассмотрим слой конечной толщины $z \in (-\epsilon,+\epsilon)$. Внутри этого слоя заменим эту компоненту метрики параболой $g_{t t} = a z^2+b$, гладко сшитой по краям, т.е. $2 a \epsilon = 2 (\epsilon+1)$ и $a \epsilon^2 + b = (\epsilon+1)^2$. Получим внутри слоя: $g_{t t} = (1+\epsilon)(\frac{z^2}{\epsilon} + 1)$.

Далее несложно по известной формуле рассчитать связность внутри слоя, потом по известной формуле - тензор Риччи внутри слоя, потом в соответствии с формлулой Эйнштейна найти тензор энергии-импульса $T_{i j}$ внутри слоя. Вне слоя он, очевидно, будет нулевым с обеих сторон. В отличие от случая бесконечно тонкого слоя никаких дельта-функций на $z=0$ мы не получим, все плотности останутся конечными. Но понято, что в пределе $\epsilon \to 0$ мы получим то самое решение с тяготеющей плоскостью.

Пример этот вполне "реалистичный" в том смысле, что тензор $T_{i j}$ внутри слоя получается не только конечным, но также положительно определённым. Т.е. здесь не возникает никаких специфических случаев вроде материи с отрицательным давлением и т.п. Давление в слое получается вполне себе положительным, что хорошо согласуется с "интуитивным" представлением о том, что слой тяготеющей материи, чтобы оставаться статичным (не "схлопываться" под действием собственной гравитации), должен обладать положительным внутренним давлением.

[Утундрий]

epros, если уж искать подобного рода решения, то переходящие в $\[\frac{{dt^2 }}{{z^{{2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 3}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 3}} }} - z^{{4 \mathord{\left/ {\vphantom {4 3}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 3}} \left( {dx^2 + dy^2 } \right) - dz^2 \]$ вдали от масс.