2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1 ... 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 ... 26  След.
 
 
Сообщение07.03.2009, 20:15 


16/03/07
815
Someone писал(а):
А где там $ z=0 $ ?...


Уравнения Эйнштейна решались в системе координат $ t,x,y,z $ в которых $ -\infty < z < \infty $ Переход от этой системы координат к галилеевым $ \tau,x,y,\zeta $ возможен лишь помощью вырожденного преобразования.

Someone писал(а):
Слышал, но не видел. Это не те самые преобразования, которые я написал?


Ваши преобразования являются частным случаем преобразований Меллера. Для равноускоренной системы отсчета, движущейся с ускорением $ a_z $ преобразования Меллера будут иметь вид что-то типа (я восстанавливаю скорость света с)

$$ \begin {cases} \zeta=z ch {\frac {a_z t} {c}} \\ \tau=z \sh {\frac {a_z t} {c}} \end {cases} $

Поскольку в верхней области $ z>0 $ ускорение свободного падения отрицательно (направлено против оси $ z $), то ускорение Меллеровской СО (фактически оно здесь равно 1) положительно и мы имеем преобразования, выписанные выше. В нижней области $ z<0 $ ускорение свободного падения положительно, а Меллеровское ускорение отрицательно. Вследствие нечетности гиперсинуса в $ \tau $ получаем минус.

Someone писал(а):
Ещё один pc20b...


У Вас это стало ругательством :)

Someone писал(а):
Про принцип эквивалентности я и сам знаю. Мой вопрос в другом. Ещё раз объясню, раз Вы не поняли...


Зря Вы пустились в объяснения не разобравшись с моим ответом.

Someone писал(а):
...К сожалению, в общем случае у нас нет инвариантного (независимого от координат) способа разделить гравитационное поле, связанное с кривизной, и координатные эффекты.


В ОТО выполнен сильный принцип эквивалентности: гравитационное поле эквивалентно метрике псевдориманового пространства-времени. Гравитация=Метрика. Не кривизне, заметьте. Поэтому Ваше сожаление выглядит несколько...

ИгорЪ писал(а):
Это не у меня. Я немного делал поиск в arXive(типа EP violation) и бегло читал абстракты. Там такое было. Но были и противоположные выводы. Пару статей я разобрал, где то здесь есть ссылки.


Занятно. Я тоже когда-то читал, что в нерелятивисткой квантовой механике ПЭ остается справедливым. Но вот где, и какие аргументы приводились по этому поводу уже не помню :(

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.03.2009, 22:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
09/06/20
72408
ИгорЪ в сообщении #192771 писал(а):
Я пока вообще пилотку не понимаю. ...Если есть мысли выскажите.

Ведите себя более последовательно: если чего-то не понимаете, то не указывайте другим, что высказывать, а что не высказывать.

ИгорЪ в сообщении #192771 писал(а):
А про два несвязанных мира по обе стороны гр. плоскости я уже писал.

Вопрос не в том, что они несвязаны, а в том, что они на листах, таких что каждый лист занимает целиком всё $\mathbb{R}^4$ в риндлеровских координатах. И продолжение по минковской плоскости нелегально по постановке задачи для гравитирующей плоскости. Поэтому они не перекрываются ни по какой области, и поэтому не могут быть склеены как карты в атласе. То есть не просто несвязаны, а понятно, почему несвязаны.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.03.2009, 13:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
8617
Munin писал(а):
Вопрос не в том, что они несвязаны, а в том, что они на листах, таких что каждый лист занимает целиком всё $\mathbb{R}^4$ в риндлеровских координатах. И продолжение по минковской плоскости нелегально по постановке задачи для гравитирующей плоскости. Поэтому они не перекрываются ни по какой области, и поэтому не могут быть склеены как карты в атласе. То есть не просто несвязаны, а понятно, почему несвязаны.

Munin, я не пойму, в чём проблема с этой сшивкой? В риндлеровских координатах берётся полупространство $z > 1$ и склеивается с полупространством $z < -1$. Естественно, по горизонту $z = 0$ резать ничего не нужно, а чтобы по координате $z$ не было скачка от -1 до 1, нужно перед склейкой сдвинуть координату так, чтобы с обеих сторон в месте склейки она подходила к нулю.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.03.2009, 14:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
09/06/20
72408
epros в сообщении #192957 писал(а):
Munin, я не пойму, в чём проблема с этой сшивкой?

В том, что нет места для шва.

Например, покажу для контраста сшивку Эддингтона-Финкельштейна. Берётся Шварцшильд, делается преобразование координат. Как было два листа, так и остаётся, заметьте. Потом делается замечание, что внутренний край внешнего листа (я не слишком непонятно заворачиваю?) не имеет особенностей метрики. Его малая окрестность может быть сшита с $S^2\times H^2,$ где $H^2$ - подмножество двумерного Минковского $M^2$ в окрестности световой линии (горизонта). И потом та же самая $S^2\times H^2$ сшивается с малой окрестностью внешнего края внутреннего листа.

Надеюсь, понятна мораль: чтобы атлас описывал многообразие, карты атласа должны не стыковаться, а перекрываться. Хотя бы в малой области.

Здесь этого нет. Левый край правого полупространства не перекрывается с правым краем левого полупространства. Не может: один правее гравитирующей плоскости, а другой левее.

В принципе, можно требование перекрытия ослабить, заменив на требование непрерывности. Но не самих координат - а связностей. И тут остаётся та же проблема: вы не сможете построить непрерывную связность в предлагаемом месте склейки. Хотя... тут я уже не уверен, может быть, речь должна идти о гладкости связности.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.03.2009, 16:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
8617
Munin писал(а):
Надеюсь, понятна мораль: чтобы атлас описывал многообразие, карты атласа должны не стыковаться, а перекрываться. Хотя бы в малой области.

Какая-то аморальная мораль. :)

Munin писал(а):
В принципе, можно требование перекрытия ослабить, заменив на требование непрерывности. Но не самих координат - а связностей. И тут остаётся та же проблема: вы не сможете построить непрерывную связность в предлагаемом месте склейки. Хотя... тут я уже не уверен, может быть, речь должна идти о гладкости связности.

Зачем Вам это всё? На заряженной плоскости электрическое поле испытывает скачок и никого это не смущает. Почему же когда речь начинает идти о гравитационном поле (оно же - связность) Вы вдруг начинаете требовать непрерывности?

Если так уж хотите непрерывности, то можно "загладить" место склейки (ребро "пилотки"). Сути это не изменит, но ускорение свободного падения с +g на одной стороне перейдёт в -g на другой стороне не скачком в месте пересечения с плоскостью, а плавненько на протяжении пути сквозь слой тяготеющей материи (уже не бесконечно тонкий).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.03.2009, 18:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
09/06/20
72408
epros в сообщении #192992 писал(а):
На заряженой плоскости электрическое поле испытывает скачок и никого это не смущает.

Видите ли, теория многообразий рассматривает только многообразия без скачков. Возможно, её можно расширить соответствующим образом, чтобы описывать поверхности с вершинами (типа конуса), с гребнями, и т. п. - но я не знаю такой теории, и в ОТО её не используется. Построите - публикуйте. Кстати, и недоброй памяти Котофеич что-то говорил о расширении ОТО на обобщённые функции.

epros в сообщении #192992 писал(а):
Если так уж хотите непрерывности, то можно "загладить" место склейки (ребро "пилотки"). Сути это не изменит, но ускорение свободного падения с +g на одной стороне перейдёт в -g на другой стороне не скачком в месте пересечения с плоскостью, а плавненько на протяжении пути сквозь слой тяготеющей материи (уже не бесконечно тонкий).

Покажете - посмотрим. Заодно будет что ответить Someone на вопросы о том, где же там гравитация. Я так понимаю, в толщине слоя тензор Эйнштейна не будет равен тождественно нулю.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.03.2009, 19:26 


16/03/07
815
А вот связано ли решение б), указанное Someone, с задачей о гравитирующем полупространстве? Интересно, что в этом решении кривизна уже не нулевая...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.03.2009, 22:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
8617
Munin писал(а):
Видите ли, теория многообразий рассматривает только многообразия без скачков. Возможно, её можно расширить соответствующим образом, чтобы описывать поверхности с вершинами (типа конуса), с гребнями, и т. п. - но я не знаю такой теории, и в ОТО её не используется. Построите - публикуйте.

Ох, не смешите мои тапки...

Munin писал(а):
Покажете - посмотрим. Заодно будет что ответить Someone на вопросы о том, где же там гравитация.

Неужели ж мне нужно рассказывать, как функцию с изломом (типа |x|) можно сгладить (например, на интервале (-a,+a) заменив её параболой)? Проделываете то же самое с метрическим тензором около z=0, и все дела. Из того, что получилось, нетрудно рассчитать связность, а из неё - тензор кривизны, и далее - тензор энергии-импульса слоя.

Munin писал(а):
Я так понимаю, в толщине слоя тензор Эйнштейна не будет равен тождественно нулю.

Разумеется, в толщине слоя (и только там) он будет ненулевым. Но фишка-то в том, что эту толщину можно сделать сколь угодно тонкой.

 Профиль  
                  
 
 Принцип эквивалентности
Сообщение09.03.2009, 13:20 


09/03/09
3
Rostov_on_Don
Данный принцип является постулатом,но на его основании построена ошибочная концепция ТО. Существует более логичный подход в использовании этого принципа для описания гравитационных процессов во Вселенной. Авторский взгляд приведен в книге «Человек и энергия Вселенной» по адресу: ссылка вырезана // photon

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.03.2009, 19:58 
Экс-модератор
Аватара пользователя


23/12/05
11530
[mod="photon"]GVI, замечание за дубль и рекламу[/mod]

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.03.2009, 22:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17193
Москва
Munin в сообщении #192748 писал(а):
писал(а):
Someone в сообщении #192663 писал(а):
К сожалению, в общем случае у нас нет инвариантного (независимого от координат) способа разделить гравитационное поле, связанное с кривизной, и координатные эффекты.


Видите ли, вы ведёте себя так, будто в общем случае нельзя, а в частном случае локально плоского пространства - можно. Зарядитесь идеей, что в этом случае тоже нельзя.


М-м-м... Похоже, что Вы в некотором высшем смысле правы. Но у меня вопрос был к VladTK.

Munin в сообщении #192748 писал(а):
Ни одна частица по отдельности бы ничего не почувствовала.


По отдельности, конечно, не почувствуют. Речь шла о многих частицах.

epros в сообщении #192756 писал(а):
Если построить Лоренцевы координаты в одной половине пространства-времени и попытаться тупо продолжить их на другую, то в другой половине, увы, они уже никак не получатся Лоренцевыми.


Из-за того, что продолжать надо через поверхность, где явно нарушается гладкость, сама возможность "тупого" продолжения не ясна. Но на другой половине есть свои лоренцевы координаты.

ИгорЪ в сообщении #192771 писал(а):
А про два несвязанных мира по обе стороны гр. плоскости я уже писал.


Вообще говоря, трудно понять, что Вы имели в виду.

VladTK в сообщении #192810 писал(а):
Уравнения Эйнштейна решались в системе координат $ t,x,y,z $ в которых $ -\infty < z < \infty $ Переход от этой системы координат к галилеевым $ \tau,x,y,\zeta $ возможен лишь помощью вырожденного преобразования.


Мало ли где они решались. У нас получилась метрика $ds^2=z^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2$. Вас гипнотизирует тот факт, что здесь полупространства $z>0$ и $z<0$ соприкасаются по плоскости $z=0$, и Вы думаете, что через эту плоскость можно перейти из одного полупространства в другое? Эта плоскость недостижима ни для массивных частиц, ни для световых сигналов.

Ненулевые символы Кристоффеля здесь следующие: $\Gamma^0_{03}=\Gamma^0_{30}=\frac 1z$, $\Gamma^3_{00}=z$; поэтому уравнения геодезических такие:
$$\begin{cases}\frac{d^2t}{d\tau^2}+\frac 2z\frac{dt}{d\tau}\frac{dz}{d\tau}=0\text{,}\\ \frac{d^2x}{d\tau^2}=0\text{,}\\ \frac {d^2y}{d\tau^2}=0\text{,}\\ \frac{d^2z}{d\tau^2}+z\left(\frac{dt}{d\tau}\right)^2=0\text{,}\\ z^2\left(\frac{dt}{d\tau}\right)^2-\left(\frac{dx}{d\tau}\right)^2-\left(\frac{dy}{d\tau}\right)^2-\left(\frac{dz}{d\tau}\right)^2=\begin{cases}1\text{ для массивных частиц,}\\ 0\text{ для световых сигналов.}\end{cases}\end{cases}$$
Параметр $\tau$ для массивных частиц является собственным временем.

Если в некоторый момент $\frac{dx}{d\tau}=\frac{dy}{d\tau}=0$, то так же будет и всегда, поэтому существуют геодезические, на которых $x$ и $y$ постоянны. Эти геодезические и рассмотрим.

Форму световых (изотропных) геодезических можно сразу найти из метрики: полагая $ds=dx=dy=0$, получим $z^2dt^2-dz^2=0$, откуда $dt=\pm\frac{dz}z$ и $t-t_0=\pm\ln|z|$. Если Вы построите графики, то увидите, что эти геодезические не достигают плоскости $z=0$.

Для массивных частиц, то есть, для времениподобных геодезических, получаем $\left(\frac{dt}{d\tau}\right)^2=\frac 1{z^2}\left(1+\left(\frac{dz}{d\tau}\right)^2\right)$. Подставляя это выражение в четвёртое уравнение системы, получим уравнение, содержащее только одну неизвестную функцию $z$. Это уравнение имеет решение $z=\pm\sqrt{z_0^2-(\tau-\tau_0)^2}$; дальше я буду считать, что $\tau_0=0$, то есть, собственное время отсчитывается от точки экстремума $z$. Тогда $-|z_0|<\tau<|z_0|$. Подставляя полученное выражение в написанное выше выражение для $\frac{dt}{d\tau}$ и интегрируя его, найдём $t-t_0=\frac 12\ln\frac{|z_0|+\tau}{|z_0|-\tau}$, откуда видно, что и эти геодезические не достигают плоскости $z=0$.

Аналогично можно проинтегрировать уравнения для любых изотропных или времениподобных геодезических и убедиться, что они не достигают плоскости $z=0$. Таким образом, какая-либо связь между полупространствами $z>0$ и $z<0$ через плоскость $z=0$ невозможна.

VladTK в сообщении #192810 писал(а):
Переход от этой системы координат к галилеевым $ \tau,x,y,\zeta $ возможен лишь помощью вырожденного преобразования.


Из сказанного выше следует, что плоскость $z=0$ в действительности не принадлежит пространству-времени; в частности, эту плоскость нельзя рассматривать как "гравитирующую плоскость". Вырожденность преобразования на этой плоскости не играет роли. "Разделяемые" ею полупространства никак не связаны, они вовсе не являются "верхним" и "нижним" полупространствами для гравитирующей плоскости, и преобразования координат в них можно делать совершенно независимо. Если Вам хочется их поместить в пространство-время Минковского, Вы можете располагать их совершенно независимо друг от друга.

Преобразование
$$\begin{cases}\tau=|z|\sh t\text{,}\\ \zeta=z\ch t\end{cases}$$
отождествляет полупространства $z>0$ и $z<0$ с двумя секторами $-\zeta<\tau<\zeta$ и $\zeta<\tau<-\zeta$ пространства Минковского, после чего видно, что их можно продолжить до полного пространства Минковского. Склеить два этих сектора по их границе нельзя, так как смысл склейки состоит в возможности продолжения геодезических через общую границу склеиваемых областей, а здесь такое продолжение невозможно, о чём написал уже и Munin.

Я вернусь к уравнениям геодезических. Из формулы $z=\pm\sqrt{z_0^2-\tau^2}$ видно, что частица достигает $z=0$ при конечном значении собственного времени $\tau=\pm z_0$, но при бесконечном значении координатного времени $t$. При этом никаких особенностей на пути частицы не возникает. Таким образом, имеет место геодезическая неполнота данного пространства-времени.

Ситуация здесь аналогична ситуации на горизонте чёрной дыры в координатах Шварцшильда. Здесь горизонт также недостижим по координатному времени и вполне достижим по собственному времени падающей частицы. Кстати, и преобразование к координатам Крускала - Шекерса похоже на рассматриваемое здесь. Между прочим (держитесь крепче), преобразование между координатами Шварцшильда и координатами Крускала - Шекерса является вырожденным на горизонте и задаётся разными формулами в четырёх (!) разных областях, которые, тем не менее, гладко склеиваются между собой. Вряд ли Вы об этом не слышали, так что я никак не пойму, чего Вы прицепились к этим преобразованиям.

VladTK в сообщении #192810 писал(а):
Ваши преобразования являются частным случаем преобразований Меллера.


Я вполне сознательно удалил все постоянные, включив их в определения координат.

VladTK в сообщении #192810 писал(а):
Someone писал(а):
Ещё один pc20b...


У Вас это стало ругательством


Он тоже пытался доказывать мне, что, делая замену координат, можно получить ненулевую кривизну в плоском пространстве и максимум у монотонной функции.

VladTK в сообщении #192810 писал(а):
В ОТО выполнен сильный принцип эквивалентности: гравитационное поле эквивалентно метрике псевдориманового пространства-времени. Гравитация=Метрика. Не кривизне, заметьте.


Пример с гравитирующей плоскостью показывает, пожалуй, что в этом случае гравитация не сводится и к локальной метрике. Здесь гравитация выглядит как некий глобальный эффект, связанный с геометрией пространства-времени в целом.

epros в сообщении #192992 писал(а):
Если так уж хотите непрерывности, то можно "загладить" место склейки (ребро "пилотки"). Сути это не изменит, но ускорение свободного падения с +g на одной стороне перейдёт в -g на другой стороне не скачком в месте пересечения с плоскостью, а плавненько на протяжении пути сквозь слой тяготеющей материи (уже не бесконечно тонкий).


Именно что хотелось бы непрерывности, причём, на каком-нибудь мало-мальски реалистичном примере. Между прочим, есть решение Тауба для плоско-симметричного пространства, заполненного несжимаемой жидкостью. Статью скачивать не дают, но решение не очень сложное, я его воспроизвёл. При наличии свободного времени приведу свои вычисления в порядок и выложу результат сюда. Потом можно будет посмотреть, как оно склеивается с вакуумным решением.

VladTK в сообщении #193029 писал(а):
А вот связано ли решение б), указанное Someone, с задачей о гравитирующем полупространстве? Интересно, что в этом решении кривизна уже не нулевая...


Вот есть статья об этом решении: http://arxiv.org/pdf/gr-qc/9608058.

epros в сообщении #192957 писал(а):
В риндлеровских координатах берётся полупространство $z > 1$ и склеивается с полупространством $z < -1$.


Ну да, такая склейка вполне возможна, и переход с одной стороны на другую также вполне возможен. В галилеевых координатах на диаграмме это склейка по гиперболам. Если считать, что в силу симметрии частица проходит через гравитирующую плоскость через равные промежутки времени (не теряя при этом кинетической энергии), то нетрудно даже нарисовать мировую линию этой частицы.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.03.2009, 09:46 


16/03/07
815
Someone писал(а):
Мало ли где они решались. У нас получилась метрика...


Поздравляю, Вы доказали что в Меллеровской СО существует горизонт :) Кто бы сомневался. Я потому и предлагал epros-совский "финт ушами" (сдвиг артефакта координатной сетки в нефизическую область) чтобы разделить горизонт и плоскость.

Поэтому Ваш вывод о непринадлежности плоскости к пространству-времени не верен.

Someone писал(а):
Я вполне сознательно удалил все постоянные, включив их в определения координат


Я не против. Но знаки при этом терять не надо (т.е учитывать разницу в ускорениях в разных областях все равно приходится).

Someone писал(а):
Пример с гравитирующей плоскостью показывает, пожалуй, что в этом случае гравитация не сводится и к локальной метрике. Здесь гравитация выглядит как некий глобальный эффект, связанный с геометрией пространства-времени в целом.


"Не верь глазам своим". Вот с локальной метрикой тут как раз полный порядок.

Someone писал(а):

epros в сообщении #192957 писал(а):
В риндлеровских координатах берётся полупространство $z>1$ и склеивается с полупространством $z<-1$.


Ну да, такая склейка вполне возможна, и переход с одной стороны на другую также вполне возможен...


И я предлагал то же самое, но на другом языке.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.03.2009, 11:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
9238
Можно и без детального исследования геодезических углядеть, что $\[z^2 dt^2  - dz^2 \]$ некорректно склеивать по $z=0$. Для этого нужно взять карандаш, бумагу и начертить на плоскости $\[\tau  = z \cdot \operatorname{sh} t,\zeta  = z \cdot \operatorname{ch} t\]$ несколько линий $t,z=const$. Это даст представление какие именно области плоскости Минковского покрываются координатами $t,z$. Всякому, кто не полный кретин, после этого будет очевидно и то, что горизонт $z=0$ достигается за конечное собственное время и то, что куски $z>0$ и $z<0$ причинно не связаны, и то, что переходя к $t,z$ от $\[\tau ,\zeta \]$ мы ненавязчиво прячем под ковер ни больше и не меньше как половину рассматриваемой области. Если теперь дать себе обмануться видимостью "близости" этих двух с помощью "лома и такой-то матери" пригнанных друг к другу половинок и попытаться их склеить, то и получится весь тот бред, который тут пережевывается. В координатах $\[\tau ,\zeta\]$ этой вашей склейке соответствует сверхсветовой скачек пробной частицы, что вполне однозначно характеризует ее незаконность. Dixi.

Добавлено спустя 19 минут 53 секунды:

Someone писал(а):
VladTK в сообщении #192810 писал(а):
В ОТО выполнен сильный принцип эквивалентности: гравитационное поле эквивалентно метрике псевдориманового пространства-времени. Гравитация=Метрика. Не кривизне, заметьте.

Пример с гравитирующей плоскостью показывает, пожалуй, что в этом случае гравитация не сводится и к локальной метрике. Здесь гравитация выглядит как некий глобальный эффект, связанный с геометрией пространства-времени в целом.

Если речь здесь о $\[z^2 dt^2  - dz^2 \]$, гравитации нет вообще, есть только корявое преобразование координат. Вы же сами об этом уже говорили!

Someone писал(а):
epros в сообщении #192992 писал(а):
Если так уж хотите непрерывности, то можно "загладить" место склейки (ребро "пилотки"). Сути это не изменит, но ускорение свободного падения с +g на одной стороне перейдёт в -g на другой стороне не скачком в месте пересечения с плоскостью, а плавненько на протяжении пути сквозь слой тяготеющей материи (уже не бесконечно тонкий).

Именно что хотелось бы непрерывности, причём, на каком-нибудь мало-мальски реалистичном примере. Между прочим, есть решение Тауба для плоско-симметричного пространства, заполненного несжимаемой жидкостью. Статью скачивать не дают, но решение не очень сложное, я его воспроизвёл. При наличии свободного времени приведу свои вычисления в порядок и выложу результат сюда. Потом можно будет посмотреть, как оно склеивается с вакуумным решением.

Под несжимаемой жидкостью понимается среда с $\[T_0^0  = \varepsilon ,T_1^1  = T_2^2  = T_3^3  =  - p\]$?

Someone писал(а):
epros в сообщении #192957 писал(а):
В риндлеровских координатах берётся полупространство $z > 1$ и склеивается с полупространством $z < -1$.

Ну да, такая склейка вполне возможна, и переход с одной стороны на другую также вполне возможен. В галилеевых координатах на диаграмме это склейка по гиперболам. Если считать, что в силу симметрии частица проходит через гравитирующую плоскость через равные промежутки времени (не теряя при этом кинетической энергии), то нетрудно даже нарисовать мировую линию этой частицы.

А не приведет ли такая склейка к появлении кривизны у получившегося многообразия?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.03.2009, 11:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
8617
Someone писал(а):
epros в сообщении #192756 писал(а):
Если построить Лоренцевы координаты в одной половине пространства-времени и попытаться тупо продолжить их на другую, то в другой половине, увы, они уже никак не получатся Лоренцевыми.

Из-за того, что продолжать надо через поверхность, где явно нарушается гладкость, сама возможность "тупого" продолжения не ясна. Но на другой половине есть свои лоренцевы координаты.

С точки зрения продолжения координат гладкость метрики не имеет никакого значения. Здесь главное, чтобы сами координаты продолжались без разрывов, т.е. чтобы все точки любого интервала $(z-\epsilon,z+\epsilon)$ принадлежали континууму. Для Риндлеровских координат такое сделать можно (с учетом сдвига по координате z), а для Лоренцевых - нельзя.

Someone писал(а):
epros в сообщении #192992 писал(а):
Если так уж хотите непрерывности, то можно "загладить" место склейки (ребро "пилотки"). Сути это не изменит, но ускорение свободного падения с +g на одной стороне перейдёт в -g на другой стороне не скачком в месте пересечения с плоскостью, а плавненько на протяжении пути сквозь слой тяготеющей материи (уже не бесконечно тонкий).

Именно что хотелось бы непрерывности, причём, на каком-нибудь мало-мальски реалистичном примере.

Ну, если не лень, можно проделать вычисления для случая плоского слоя конечной толщины. Методика там очень простая. Смотрим на Риндлеровскую метрику сверху от слоя: $g_{t t} = (z+1)^2, g_{x x} = g_{y y} = g_{z z} = -1$ и снизу от слоя: $g_{t t} = (z-1)^2, g_{x x} = g_{y y} = g_{z z} = -1$ (недиагональные компоненты нулевые). Видим, что на $z=0$ она сшивается непрерывно, но негладко (имеется излом компоненты $g_{t t}$). Находим первую производную этой компоненты по $z$: $g_{t t, z} = 2 (z+1)$ сверху от плоскости и $g_{t t, z} = 2 (z-1)$ снизу от плоскости. Рассмотрим слой конечной толщины $z \in (-\epsilon,+\epsilon)$. Внутри этого слоя заменим эту компоненту метрики параболой $g_{t t} = a z^2+b$, гладко сшитой по краям, т.е. $2 a \epsilon = 2 (\epsilon+1)$ и $a \epsilon^2 + b = (\epsilon+1)^2$. Получим внутри слоя: $g_{t t} = (1+\epsilon)(\frac{z^2}{\epsilon} + 1)$.

Далее несложно по известной формуле рассчитать связность внутри слоя, потом по известной формуле - тензор Риччи внутри слоя, потом в соответствии с формлулой Эйнштейна найти тензор энергии-импульса $T_{i j}$ внутри слоя. Вне слоя он, очевидно, будет нулевым с обеих сторон. В отличие от случая бесконечно тонкого слоя никаких дельта-функций на $z=0$ мы не получим, все плотности останутся конечными. Но понято, что в пределе $\epsilon \to 0$ мы получим то самое решение с тяготеющей плоскостью.

Пример этот вполне "реалистичный" в том смысле, что тензор $T_{i j}$ внутри слоя получается не только конечным, но также положительно определённым. Т.е. здесь не возникает никаких специфических случаев вроде материи с отрицательным давлением и т.п. Давление в слое получается вполне себе положительным, что хорошо согласуется с "интуитивным" представлением о том, что слой тяготеющей материи, чтобы оставаться статичным (не "схлопываться" под действием собственной гравитации), должен обладать положительным внутренним давлением.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.03.2009, 11:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
9238
epros, если уж искать подобного рода решения, то переходящие в $\[\frac{{dt^2 }}{{z^{{2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 3}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 3}} }} - z^{{4 \mathord{\left/ {\vphantom {4 3}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 3}} \left( {dx^2  + dy^2 } \right) - dz^2 \]$ вдали от масс.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 390 ]  На страницу Пред.  1 ... 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 ... 26  След.

Модераторы: Jnrty, whiterussian, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group