Комплексная логика А. Зиновьева

[Sonic86]

epros!
Не понимаю!
"Если А, то В", это и есть $a \to b$ и никаких метатеорий.
Я имел ввиду, что если брать "Если А, то В" как высказывание естественного языка, то непонятно, что это в теории - это и будет философская проблема, которая у Вас не решается.

[luitzen]

epros писал(а):

Мне несколько странно слышать про математику как "применение" для чего-то. С моей точки зрения математика сама существует для того, чтобы применяться где-то в прикладных областях, а не для того, чтобы быть сферой применения для чего-то.

Теории (или, как Вы выразились, "системы") могут быть, конечно, сильно неформализованными, в таком случае они будут весьма далеки от "математики". Но как только мы формализуем некую теорию (а делается это как правило для достижения однозначности понимания), она тут же становится математической. Поэтому мне непонятно, что это за "системы" (теоретические?), которые относятся совсем уж к другим "сферам деятельности" (где математика совсем не используется?).

ОК, я разъясню ещё один раз, а потом приведу какой-нибудь пример.

Логика — некая математическая дисциплина, могущая иметь приложения. Она может иметь приложения много где. В частности, в самой математике. Получится своего рода «метаматематика». Я даже знаю пару книжек с таким словом в названии.

Но есть приложения и в других областях. Безусловно, они не такие «убойные». Но то, что такого рода приложения не являются математическими «по предмету», не значит, что они не являются математическими «по методу».

Проблема в том, что в этих других областях аналог какого-нибудь, к примеру, закона Клавдия может никак не хотеть выполняться.

Теперь пример.

Пополним язык пропозициональной логики унарным оператором $\Box$ и придумаем какие-нибудь аксиомы и правила вывода, позволяющие вывести $\Box A \to \neg \Box \neg A$, но не позволяющие вывести $\Box A \to A$. Теперь попробуем интерпретировать этот унарный оператор как что-нибудь из области математической практики.

Как «доказано» его интерпретировать точно не получается… Быть может, его и не стоит никак интерпретировать, и ничто в математической практике ему не соответствует? Весьма вероятно, ибо, чтобы иметь выводимой одну из приведённых выше формул и не иметь другую, мы здорово усекли сугубо пропозициональную (т. е. без $\Box$) часть нашего исчисления.

Однако, в других предметных областях $\Box$ может быть очень даже неплохо интерпретирован. Как что-нибудь наподобие «обязательно» в юридическом смысле. (Пример, конечно, вымышленный, в деонтических системах сугубо пропозициональные аксиомы сильно не рубят, насколько мне известно).

Могут возразить: построенная система не является логической, оператор $\Box$ есть некая внелогическая сущность. Но это ещё большой вопрос, что считать логическим, а что нет. Аксиому Цермело следует считать чисто логической или же заимствованной из предметной области? А закон исключённого третьего?

[epros]

Sonic86 писал(а):

"Если А, то В", это и есть $a \to b$ и никаких метатеорий.
Я имел ввиду, что если брать "Если А, то В" как высказывание естественного языка, то непонятно, что это в теории - это и будет философская проблема, которая у Вас не решается.

Высказывание естественного языка - это всего лишь "слова, лишённые всякого смысла" (c). Если Вы попытаетесь как-то более или менее однозначно определить его применение к каким-то объектам, то Вам придётся его формализовать. В частности, Вам нужно будет пояснить, в рамках какой предметной области это работает и, соответственно, указать предметную теорию, в которой сделан такой вывод. Все эти определения - это уже задача метатеории.

Например: "Если я выйду поздно, то опоздаю", - вот Вам "высказывание естественного языка". Оно Вам о чём-то конкретном говорит? Откуда выйду? Что значит "поздно"? Куда опоздаю? Наконец, на основании чего сделан такой вывод? Но это всё можно более или менее чётко определить. Скажем, откуда - из моего дома, поздно - сегодня после 12:00, куда - на встречу, назначенную в 13:00 на Красной площади. И, наконец, самый каверзный вопрос: "На основании чего сделан такой вывод?", - и тут нам придётся вспомнить о графиках движения общественного транспорта, расстояниях от одного пункта города до другого и т.п. Всё это - понятия предметной теории, которая должна быть построена для того, чтобы это высказывание приобрело какой-то смысл.

Тогда высказывание данной предметной теории "я выйду поздно $\rightarrow$ опоздаю" можно уже рассматривать с точки зрения того, выводимо оно или нет. И "смысл" оно приобретает именно в связи с вопросом, выводимо ли оно в предметной теории.

[Sonic86]

Вот и у Зиновьева то же самое!
Он говорит, что импликация "Если 2+2=5, то снег черный" истинна, но она не соответствует здравому смыслу. Но это - высказывание естественного языка, что такое "здравый смысл"? Это надо формализовать. Он формализует и получает $Z^1$. И никаких "философских проблем".

[epros]

luitzen писал(а):

Логика — некая математическая дисциплина, могущая иметь приложения. Она может иметь приложения много где. В частности, в самой математике. Получится своего рода «метаматематика». Я даже знаю пару книжек с таким словом в названии.

Но есть приложения и в других областях. Безусловно, они не такие «убойные». Но то, что такого рода приложения не являются математическими «по предмету», не значит, что они не являются математическими «по методу».

А, т.е. Вы имели в виду математические, но не мета-математические теории?

luitzen писал(а):

Пополним язык пропозициональной логики унарным оператором $\Box$ и придумаем какие-нибудь аксиомы и правила вывода, позволяющие вывести $\Box A \to \neg \Box \neg A$, но не позволяющие вывести $\Box A \to A$. Теперь попробуем интерпретировать этот унарный оператор как что-нибудь из области математической практики.

Как «доказано» его интерпретировать точно не получается…

Забавно, но в конструктивной (интуиционистской) логике таковым оператором является отрицание.

luitzen писал(а):

Могут возразить: построенная система не является логической, оператор $\Box$ есть некая внелогическая сущность. Но это ещё большой вопрос, что считать логическим, а что нет. Аксиому Цермело следует считать чисто логической или же заимствованной из предметной области? А закон исключённого третьего?

Не вижу никаких проблем с тем, чтобы считать такой оператор "логическим". Хотя и непонятно зачем. С моей точки зрения логика - вполне общезначимая вещь, а поэтому есть смысл нагружать её только тем, без чего уж точно нигде не обойтись.

Например, без закона исключённого третьего можно обойтись.

Добавлено спустя 10 минут 9 секунд:

Sonic86 писал(а):

Вот и у Зиновьева то же самое!
Он говорит, что импликация "Если 2+2=5, то снег черный" истинна, но она не соответствует здравому смыслу. Но это - высказывание естественного языка, что такое "здравый смысл"? Это надо формализовать. Он формализует и получает $Z^1$. И никаких "философских проблем".

А этого я не понимаю. Как формализует? Что значит "не соответствует здравому смыслу"? Какая теория Вам позволяет сделать вывод, что эта импликация - истинна?

Добавлено спустя 9 минут 28 секунд:

luitzen писал(а):

Однако, в других предметных областях $\Box$ может быть очень даже неплохо интерпретирован. Как что-нибудь наподобие «разрешено» в юридическом смысле.

Кстати, такая интерпретация плохо подходит. Лучше уж "запрещено".

[Sonic86]

epros!
Дык, там же написано!
"Не соответствует здравому смыслу" здесь формализуется как бессвязица: посылка и следствие не имеют общих терминов. Какая связь между "2+2=5" и снегом и его цветом? Нету этой связи.
Автор не утверждает, что в матлогике есть противоречие, там его нету. Но вывод должен быть связным с точки зрения "здравого смысла" - отсюда источник усложнения теории.
Если Вы захотите спросить, а зачем это надо, то вот ради интереса: Вы когда-нибудь видели, чтобы при доказательстве каких-либо серьезных теорем математики пользовались матлогикой. Нет. А почему? А хотя бы потому, что происходит тупо перебор огромного количества вариантов, который ни один математик не выполняет. В частности он не рассматривает бессвязные утверждения.
Еще примеры бессвязных утверждений:
"Если в Австралии тепло, то у меня черные ботинки".
"Если стукнуть пальцем по столу, то на Юпитере на его полюсе температура опустится на 5 градусов".

[epros]

Sonic86 писал(а):

"Не соответствует здравому смыслу" здесь формализуется как бессвязица: посылка и следствие не имеют общих терминов. Какая связь между "2+2=5" и снегом и его цветом? Нету этой связи.

Всё это пустые слова ("... но без напряжения, без напряжения", (с)). Связь между понятиями определяется теорией. Вы указали какую-нибудь теорию, в рамках которой собираетесь формулировать это Ваше высказывание? Нет. Что же Вы тогда удивляетесь, что между "2+2=5" и цветом снега "нет связи"? Я Вам сейчас могу сходу сформулировать такую теорию, в которой эта связь будет.

[luitzen]

epros писал(а):

А, т.е. Вы имели в виду математические, но не мета-математические теории

Ну да. Только я «метаматематический» трактую расширительно, как «математический и заранее заточенный под приложение к математике».

epros писал(а):

luitzen писал(а):

Пополним язык пропозициональной логики унарным оператором $\Box$ и придумаем какие-нибудь аксиомы и правила вывода, позволяющие вывести $\Box A \to \neg \Box \neg A$, но не позволяющие вывести $\Box A \to A$. Теперь попробуем интерпретировать этот унарный оператор как что-нибудь из области математической практики.

Как «доказано» его интерпретировать точно не получается…

Забавно, но в конструктивной (интуиционистской) логике таковым оператором является отрицание.

Есть ещё много формул, выводимость которых в нашей системе желательна или нежелательна.
К примеру, нежелательна выводимость ни $A \to \Box\neg A$, ни $A \to \neg\Box A$.

epros писал(а):

luitzen писал(а):

Однако, в других предметных областях $\Box$ может быть очень даже неплохо интерпретирован. Как что-нибудь наподобие «разрешено» в юридическом смысле.

Кстати, такая интерпретация плохо подходит. Лучше уж "запрещено".

Извините, я хотел сказать «обязательно», а не «разрешено». В исходном сообщении тоже исправил.

epros писал(а):

Не вижу никаких проблем с тем, чтобы считать такой оператор "логическим". Хотя и непонятно зачем. С моей точки зрения логика - вполне общезначимая вещь, а поэтому есть смысл нагружать её только тем, без чего уж точно нигде не обойтись.

Например, без закона исключённого третьего можно обойтись.

Есть другая позиция: поскольку не ясно, где остановиться, меняя список аксиом (невозможность построения приличной математики на этом списке для нас не критерий), постольку можно объявить логический плюрализм и сказать, что логик много, что логика зависит от предметной области и пр.

Добавлено спустя 26 минут 5 секунд:

Причём синтаксис расширять отнюдь не обязательно. И отнюдь не обязательно лишь резать аксиомы, можно и добавлять. Убавив одних аксиом и прибавив других, можно получить интересную систему, в которой некоторая формула выводима вместе с её отрицанием, но произвольная формула не выводима. И, возможно, одна из таких (паранепротиворчивых) систем явится формализацией способов рассуждений, где-нибудь принятых.

[epros]

luitzen писал(а):

можно объявить логический плюрализм и сказать, что логик много, что логика зависит от предметной области и пр.

Да, только тогда встанет вопрос, с помощью какой логики мы должны выбирать подходящую "предметную логику".

luitzen писал(а):

И, возможно, одна из таких (паранепротиворчивых) систем явится формализацией способов рассуждений, где-нибудь принятых.

Возможно, что "где-нибудь" и принято что-то экзотическое, но ведь проблема не в том, чтобы наплодить множество способов рассуждения, которые "в принципе могут быть приняты" (это нетрудно), а в том, чтобы выработать универсальный способ, в котором можно было бы описать все мыслимые способы рассуждения.

[luitzen]

epros писал(а):

Связь между понятиями определяется теорией. Вы указали какую-нибудь теорию, в рамках которой собираетесь формулировать это Ваше высказывание? Нет.

А вот допустим, что Вы занимаетесь моделированием чего-то взрывоопасного. Некоторое несоответствие Вашей модели норову этого взрывоопасного привело к тому, что оно взорвалось. Но поскольку сформулировать человеческим языком свою претензию оно так и не смогло, постольку оно как бы и не взрывалось. Я Вас правильно понимаю?

[Sonic86]

epros!
Я в качестве теории имел ввиду логику. Можно сформулировать теорию, где есть связь, а можно построить логику, в которой эти высказывания недоказуемы. Одно другого не исключает.

(по существу бы че-нибудь написали нашли с кем спорить)

[epros]

luitzen писал(а):

epros писал(а):

Связь между понятиями определяется теорией. Вы указали какую-нибудь теорию, в рамках которой собираетесь формулировать это Ваше высказывание? Нет.

А вот допустим, что Вы занимаетесь моделированием чего-то взрывоопасного. Некоторое несоответствие Вашей модели норову этого взрывоопасного привело к тому, что оно взорвалось. Но поскольку сформулировать человеческим языком свою претензию оно так и не смогло, постольку оно как бы и не взрывалось. Я Вас правильно понимаю?

Не знаю, ибо я здесь Вас не вполне понимаю.
Мы сами выбираем теорию, которую считаем соответствующей предметной области (в данном случае - операциям с взрывоопасными веществами). И наше право - в любой момент признать её неадекватной (если ещё не слишком поздно). В конце концов, если мы уцелели после взрыва, то мы можем признать теорию неадекватной задним числом. И даже можем предложить к ней поправки, которые с нашей точки зрения сделают её адекватной.

Поэтому я не понял, что значит "как бы не взорвалось"?

Добавлено спустя 11 минут:

Sonic86 писал(а):

Я в качестве теории имел ввиду логику.

Под "логикой" Вы имеете в виду классическое исчисление предикатов первого порядка или что-то в этом роде? В такого рода теории, очевидно, просто нет понятий о сложении и равенстве натуральных чисел и о цветах снега. И поэтому Ваше заявление о том, что эта импликация истинна, является ни на чём не основанным.

Sonic86 писал(а):

Можно сформулировать теорию, где есть связь, а можно построить логику, в которой эти высказывания недоказуемы. Одно другого не исключает.

Я не понял, Вы это к чему? Вы что-то говорили про истинность импликации и про её противоречие "здравому смыслу". Каким образом данные Ваши слова поясняют это?

Sonic86 писал(а):

(по существу бы че-нибудь написали нашли с кем спорить)

Вы о каком существе? Я пока что пытаюсь от Вас добиться разъяснений смысла слов, сказанных про импликацию.

[luitzen]

Разрешите, epros, в вялотекущем режиме и параллельно основной дискуссии обсуждать с Вами выделенное положение классической логики на фоне других логических систем. Вот Вы как думаете: «выделенная» логика могла бы быть другой? Ну, если бы Господь Бог создал чуть-чуть другой мир, или в окрестностях странного астрономического объекта, или при других значениях различных физических констант?

epros писал(а):

Мы сами выбираем теорию, которую считаем соответствующей предметной области (в данном случае - операциям с взрывоопасными веществами). И наше право - в любой момент признать её неадекватной (если ещё не слишком поздно). В конце концов, если мы уцелели после взрыва, то мы можем признать теорию неадекватной задним числом. И даже можем предложить к ней поправки, которые с нашей точки зрения сделают её адекватной.

Я вот что имел в виду. Если понимать логику как модель для употребительных способов рассуждений (а не для тех способов, что suitable для построения арифметики, анализа и т. п.), то претезии Sonic86 вполне правомерны. Если понимать импликацию как формализацию понятия следования в естественном языке, то там нет таких эффектов, как следование истины из всего и следование всего из лжи.

Естественно, что претензии Sonic86 не вполне формальны, подобно тому, как унесший много жизней взрыв взрыв не являлся чем-то формальным. Это, в конце концов, предметная область, и от её элементов нельзя требовать умения создавать формализмы. Sonic86 является носителем языка, обладателем аттестата зрелости — следовательно, является элементом предметной области. Эта предметная область встречает неадекватную ей модель возмущением (а не взрывом). Думаю, что его возмущение поддержат и другие элементы предметной области: носители языка и обладатели аттестата зрелости.

Я думаю, что в рамках некоторого метаязыка, который использовался при построении теории, можно как-то описать существо претензий Sonic86. Точно определить множество не нравщихся ему импликаций вряд ли можно, но вот указать какие-то не совсем тривиальные вложения — вполне.

Для простоты ограничимся пропозициональным случаем. Пусть $\hbox{Б}$ — множество не нравящихся Sonic86 выводимых импликаций. Мне кажется, что $\hbox{А} \subset \hbox {Б} \subset \hbox{В}$:

$\hbox{А}$ — множество выводимых импликаций вида $X \to Y$ таких, что $V(X) \cap V(Y) = \varnothing$, где $V(X)$ — множество переменных, входящих в $X$.
$\hbox{В}$ — множество выводимых импликаций вида $X \to Y$ таких, что $\vdash Y$ или $\vdash \neg X$.

И Sonic86, видимо, хочет, чтобы никакая импликация из $\hbox{Б}$ не была выводимой.

[Sonic86]

epros!
Честно говоря, я не могу сказать, какую логику я имел ввиду, но она должна быть шире, чем классическое исчисление предикатов. Наверное скажу так: вообще вся логика. Существование различных логических исчислений этому не противоречит.
Можно я пример приведу: пусть X - некоторое событие. Тогда высказывание "если Х необходимо, то Х возможно" является истинным по правилам этой логики, в силу определения модальностей "необходимо" и "возможно". Пример проще: верно, что $Y \vee \neg Y$, где $Y$ - какое-то высказывание, опять же хоть с какими терминами. В определение события Х могут входить разнообразные термины из физики, химии, биологии, каких-либо еще неизвестных наук. Поэтому Х не может быть формализовано в исчислении предикатов. Поэтому я и говорю: вся логика. Поэтому нет необходимости формулировать связи в такой логике, или точно определять термин Х. (хотя, если для этого достаточно ИП, то соглашусь и на ИП, хотя модальностей там, например, нету - не подходит).

Еще раз коротко про импликацию и здравый смысл: пусть есть естественный язык Е. При его развитии образовалось нечто, что потом логики формализовали в виде исчисления высказывани ИВ. Потом начали сравнивать Е и ИВ. Обнаружили вещи типа Х: высказывание "Если 2+2=5, то снег черный" истинно (так как ложно "2+2=5". Если считаете неправильным, что я посылку опускаю, то так: "2+2=5" ложно, поэтому импликация "2+2=5" $\to$ "снег черный" истинна). Но когда Х говорят как фразу из Е, то в ответ слышат, что это не истина, а чушь какая-то, бессвязица. В принципе ИВ это не противоречит никак. Но тогда логики (чисто ради интереса) берут и строят $Z^1$, в которой такие высказывания недоказуемы. При этом теория $Z^1$ по смыслу очень простая и, например, для обычных людей, владеющих только Е очень содержательна - она позволяет делать выводы на практике не обращаясь к формализации различных понятий и выявления связей. $Z^1$ и ИВ друг другу не противоречат никак. Обе - вариант формализации какой-то части Е. Если Вы не допускает при анализе вещей вообще ничего, кроме ИВ (то есть даже Е не допускает), то построение $Z^1$ для Вас действительно бессмысленно.
Я понятно объяснил? Я правильно Вашу позицию описал?

Может Вам "Комплексную логику" скинуть (djvu, 10MB) - я не лучший рассказчик - посмотрели бы и высказались. Там все существо описано (где-то 70 страниц)

[epros]

luitzen писал(а):

Вот Вы как думаете: «выделенная» логика могла бы быть другой? Ну, если бы Господь Бог создал чуть-чуть другой мир, или в окрестностях странного астрономического объекта, или при других значениях различных физических констант?

Без всяких сомнений. Для этого не нужно даже "другого мира", достаточно небольших изменений в истории человечества.

Вполне формализованных способов рассуждения, которые по своим выразительным возможностям соответствовали бы классической логике первого порядка, можно придумать сколько угодно. Поэтому нет смысла выбирать из них "единственно правильный", но зато есть смысл позаботиться о том, чтобы наиболее общепринятый (т.е. фактически уже выбранный) способ рассуждения был достаточно универсальным, т.е. в нём было выразимо всё, что выразимо в любых других мыслимых способах рассуждения.

luitzen писал(а):

Если понимать импликацию как формализацию понятия следования в естественном языке, то там нет таких эффектов, как следование истины из всего и следование всего из лжи.

Если правильно ставить вопросы, то таких "эффектов" нет и в формальной теории, записанной в классической логике первого порядка. Дело в том, что "истиной" становится только то, что выведено, а после того, как оно выведено, вопрос "из чего оно следует" теряет смысл, ибо ответ на него уже был дан именно в ходе вывода. С другой стороны, о "следовании всего из лжи" можно говорить только в том случае, если ложь выведена, а такое возможно только в противоречивой теории.

luitzen писал(а):

Эта предметная область встречает неадекватную ей модель возмущением (а не взрывом). Думаю, что его возмущение поддержат и другие элементы предметной области: носители языка и обладатели аттестата зрелости.

Я думаю, что в рамках некоторого метаязыка, который использовался при построении теории, можно как-то описать существо претензий Sonic86.

Поскольку эта специфическая предметная область - это неформальное мышление некоей совокупности индивидов, я считаю более продуктивным попытаться научить её внятно излагать свои мысли, чем пытаться формально описать невнятно высказанные мысли.

Зиновьеву (и иже с ним) не нравится импликация "2+2=5 $\rightarrow$ снег чёрный" просто потому, что такой импликации у него просто нет, т.е. не сформулированы условия, в которых таковая импликация имеет место (они же - "предметная теория"). Просто некто высказал два неких утверждения, которые почему-то "принято" считать ложными, подставил их в качестве аргументов функции с соответствующей таблицей логических значений, а теперь удивляется, что ему непонятно, как одно следует из другого.

Добавлено спустя 35 минут 16 секунд:

Sonic86 писал(а):

Честно говоря, я не могу сказать, какую логику я имел ввиду, но она должна быть шире, чем классическое исчисление предикатов.

Не могу себе вообразить подобного. Ибо все известные мне логики, включая модальные, многозначные и нечёткие, определимы в рамках классической (или, скажем, конструктивной) логики.

Sonic86 писал(а):

Можно я пример приведу: пусть X - некоторое событие. Тогда высказывание "если Х необходимо, то Х возможно" является истинным по правилам этой логики, в силу определения модальностей "необходимо" и "возможно"
....
Поэтому Х не может быть формализовано в исчислении предикатов. Поэтому я и говорю: вся логика.

Это черезчур смелое заявление, что модальности невыразимы в классической логике. Ваше "необходимо" элементарным образом записывается в качестве оператора предметной теории, применяемого к предикатам.

Sonic86 писал(а):

Но когда Х говорят как фразу из Е, то в ответ слышат, что это не истина, а чушь какая-то, бессвязица.

И это правильно - чушь и бессвязица, потому что Вы не представили теории, в которой эта связь была бы определена. Я тоже могу Вам высказать некое утверждение:
"Глокая куздра штеко бодланула бокра и кудрячит бокрёнка".
И всякий нормальный человек тоже скажет, что это чушь и бессвязица. А всё потому, что нет теории, которая бы определила все термины, присутствующие в этой фразе.

Sonic86 писал(а):

Если Вы не допускает при анализе вещей вообще ничего, кроме ИВ ...

Я допускаю всё, что угодно. Но я пока ещё не видел ничего такого, что было бы принципиально невыразимо в нормальной математической логике. Я просто вижу, что Вы мне подсовываете неопределённые понятия, а потом делаете из этого вывод, что, ах, "это в матлогике никак не получается адекватно выразить". Естественно, надо сначала определить, чтобы было что выражать.

Sonic86 писал(а):

Может Вам "Комплексную логику" скинуть (djvu, 10MB) - я не лучший рассказчик - посмотрели бы и высказались. Там все существо описано (где-то 70 страниц)

Не, ранее процитированные части пока что не порождают желания читать.