2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 
Сообщение04.05.2008, 22:22 
Заблокирован


24/04/08

56
Интересовался чем именно?
Задам вам вопрос по-другому: Что вас настораживает или непонячтно?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.05.2008, 13:07 
Заслуженный участник


08/04/08
8505
Мне очень интересен этот человек, поэтому я нахожу нужным узнать, каков статус его логической теории у математиков. Тем более, что я считаю, что могу отличить нечто сколь-нибудь стоящее от лажи (лажи от нелажи). Я считаю, что комплексная логика Зиновьева заслуживает хотя бы какой-то оценки. Настораживает то, что эта оценка отсутствует, хотя, например, на форуме сидит алеф-нуль ферматистов и пишут они по алеф-один страниц, качать замучаешься. А про Зиновьева никто ничесго толком не сказал: другая логическая теория и ладно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.05.2008, 13:22 
Заблокирован


24/04/08

56
С точки зрения госнауки Зиновьев - математик.
С точки зрения профи - нет.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.05.2008, 17:54 
Заслуженный участник


08/04/08
8505
Маленький кусочек из логической физики.
Под логической физикой понимается раздел логики, в котором исследуется терминология, относящаяся к пространству, времени, движению, причинности и т. д. … Самый любопытный, пожалуй результат логического анализа языка в рамках логической физики – это возможность доказательства или опровержения ряда утверждений, которые на первый взгляд представляются чисто эмпирическими или физическими гипотезами. Таковы, например, доказательства существования минимальной протяженности (длины и длительности), максимальной и минимальной скорости и т.д.. Доказательство не предполагает никаких внелогических гипотез и опирается исключительно на определение выражений «минимальная протяженность», «максимальная скорость» и т.д. в системе терминологии логической физики.
Для абстрактных предметов принимаются допущения, согласно которым протяженность предметов может быть равна нулю, а для каждого интервала между предметами, который больше нуля, имеется другой интервал, который меньше первого и больше нуля. … Для эмпирических предметов дело обстоит иначе. Здесь имеет место следующее: индивиды a и b либо соприкасаются, либо нет. Если соприкасаются, то между ними нет никаких индивидов и невозможно поместить никакой индивид. Если же неверно, что они соприкасаются, то надо учесть следующее.
Выражение «интервал $(a,b,\alpha)$» уместно лишь при том условии, что $a>\alpha b$ (читается: a больше b по способу установления порядка $\alpha$). Но в таком случае исключается $\sim(a>\alpha b) \wedge \sim(b>\alpha a)$, так как ($\vdash$ - знак «логически выводимо», $\sim$ - внешнее отрицание, косая черта - внутреннее отрицание)
$\vdash(a>\alpha b) \to (a>\alpha b) \vee (b>\alpha a)$
$(a>\alpha b) \vee (b>\alpha a) \to \sim(\sim(a>\alpha b) \wedge \sim(b>\alpha a))$
$\vdash(a>\alpha b) \to \sim(\sim(a>\alpha b) \wedge \sim(b>\alpha a))$
Исключается также $(b>\alpha I) \wedge (I>\alpha a)$, так как
$\vdash(b>\alpha I) \wedge (I>\alpha a) \to (b>\alpha a)$
$\vdash(b>\alpha a) \to \sim(a>\alpha b)$
$\vdash((b>\alpha I) \wedge (I>\alpha a) \to (b>\alpha a)) \to (\sim(b>\alpha a) \to \sim((b>\alpha I) \wedge (I>\alpha a)))$
$\vdash \sim(b>\alpha a) \to \sim((b>\alpha I) \wedge (I>\alpha a))$
$\vdash (a>\alpha b) \to \sim((b>\alpha I) \wedge (I>\alpha a))$
В результате получим, что при условии $a>\alpha b$ (M – модальность «возможен»)
$\vdash \sim(a ||\alpha b) \leftrightarrow (\sim(a>\alpha b) \wedge \sim(b>\alpha a)) \vee \sim(\neg M I)((a>\alpha I) \wedge (I>\alpha b) \vee ((b>\alpha I) \wedge (I>\alpha a)))$
$\vdash \sim(\sim(a>\alpha b) \wedge \sim(b>\alpha a))$
$\vdash \sim((b>\alpha I) \wedge (I>\alpha a))$
$\vdash (\neg M)((b>\alpha I) \wedge (I>\alpha a))$
$\vdash \sim(a ||\alpha b) \leftrightarrow \sim(\neg M I)((a>\alpha I) \wedge (I>\alpha b))$
$\vdash \sim(a ||\alpha b) \leftrightarrow (M I)((a>\alpha I) \wedge (I>\alpha b)) \vee (?M I)((a>\alpha I) \wedge (I>\alpha b))$.
(? – оператор неопределенности $?P(a) -||- \sim P(a) \vee \sim(\neg P(a))$)
Если заменить M на $\exists$, получим:
$\vdash \sim (a ||\alpha b) \leftrightarrow (\exists I)((a>\alpha I) \wedge (I>\alpha b)) \vee (?\exists I)((a>\alpha I) \wedge (I>\alpha b))$. Но если $(M I)((a>\alpha I) \wedge (I>\alpha b))$ или $(\exists I)((a>\alpha I) \wedge (I>\alpha b))$, то между a и b можно поместить хотя бы один индивид. А если $(?M I)((a>\alpha I) \wedge (I>\alpha b))$ или $(?\exists I)((a>\alpha I) \wedge (I>\alpha b))$, то между a и b можно поместить не более одного индивида (если больше одного, то неопределенность отпадает) и не меньше нуля.
Символами
$l(a,b,\alpha) = min$
$l(a,b,\alpha) \geqslant min$
будем записывать высказывания соответственно «интервал (a,b,\alpha) имеет минимальную величину» и «интервал (a,b,\alpha) имеет величину, которая больше или равна минимальной». Учитывая сказанное выше, естественно принять такие определения этих выражений:
АФ7. $(l(a,b,\alpha) = min) -||- (a ||\alpha b)$
АФ8. $(l(a,b,\alpha) \geqslant min) -||- \sim(a ||\alpha b)$.
Поскольку согласноД12
1. $\vdash (a ||\alpha b) \vee \sim(a ||\alpha b),$
из АФ7 и АФ8 по правилу Д11 и У7 получим
2. $\vdash (a ||\alpha b) \vee \sim(a ||\alpha b) \to (l(b,a,\alpha)=min) \vee (l(b,a,\alpha) \geqslant min).$
По правилу Д16 имеем
3. $\vdash (1) \wedge (2)$
и по правилу У1
4. $\vdash (l(a,b,\alpha)=min) \vee (l(a,b,\alpha) \geqslant min).$
Поскольку $(l(a,b,\alpha) \geqslant min)$ есть лишь сокращенная запись для $( l(a,b,\alpha)=min) \vee l(a,b,\alpha)>min)$, из 4 имеем
5. $\vdash (l(a,b,\alpha)=min) \vee (l(a,b,\alpha)=min \vee (l(a,b,\alpha)>min).$
Поскольку $x \vee x -||- x$, имеем
7. $\vdash (l(a,b,\alpha) \geqslant min).$
По правилам УП и Д14
8. $(l(a,b,\alpha)>min) \vdash \sim(l(a,b,\alpha)<min)$
9. $(l(a,b,\alpha) = min) \vdash \sim(l(a,b,\alpha)<min)$
10. $(l(a,b,\alpha) \geqslant min) \vdash \sim(l(a,b,\alpha)<min)$
11. $\vdash \sim(l(a,b,\alpha)<min)$.
Поскольку сказанное выше имеет силу для любого интервала, то по правилу введения переменной z для терминов интервалов получим:
ТФ4 $\vdash (\forallz)(lz \geqslant min)$
$\vdash (\forallz)\sim(lz<min)$
Поскольку по правилам К $(\forallz) \sim(lz<min)\vdash (\neg \exists z) \sim(lz<min)$, имеем $\vdash (\neg \exists z) \sim(lz<min)$.
Пусть x и y – переменные для интервалов. В логике отношений доказуемо
$\vdash (lx=ly) \vee (lx=ly) \vee (lx>ly) \vee (lx<ly) \vee (lx?>ly)$
Пусть z есть такой интервал, что $lz=min$. Подставив z на место x, получим
$\vdash (lz=ly) \vee (lz=ly) \vee (lz>ly) \vee (lz<ly) \vee (lz?>ly)$
В силу того, что $\sim (ly<min)$ и в силу правил логики отношений
$(lz>ly) \wedge (lz=min) \vdash (ly<min)$
$(lz?>ly) \vdash \sim(lz>ly)$
получим:
1. $\vdash ((lz=ly) \vee (lz>ly) \vee (lz<ly) \vee \sim(lz>ly)) \wedge (lz=min)$
2. $\vdash ((lz=ly) \vee (lz<ly) \vee \sim(lz>ly) \vee(lz>ly)) \wedge (lz=min)$
3. $\vdash ((lz>ly) \wedge(lz=min)) \to (ly<min)$
4. $\vdash((lz=ly) \vee (lz<ly) \vee \sim(lz>ly) \vee(lz>ly)) \wedge (ly<min)$
5. $\vdash (4) \wedge (ly<min)$
6. $\vdash (4) \wedge (5) \to ((lz=ly) \vee (lz<ly) \vee \sim(lz>ly))$
7. $(lz=ly) \vee (lz<ly) \vee \sim(lz>ly)$
8. $\vdash(lz=ly) \vee (lz<ly) \to \sim(lz>ly)$
9. $\vdash \sim(lz>ly)$
10. $\vdash (\forall y) \sim(lz>ly)$.
Наконец, по правилу введения переменной, получим
ТФ5. $\vdash (\exists x)(\forall y) \sim(lx>ly)$
то есть утверждение о существовании интервала, который не больше любого другого интервала.
Напоминаем, что определение протяженности эмпирического индивида сводится к определению протяженности интервала, то есть
АФ9. $\vdash l(c,\alpha)= l(asx,bsx,\alpha)$,
где x есть $(a ||\alpha c) \wedge (c ||\alpha b)$ (здесь ysx обозначается эмпирический индивид y, такой, что для него верно x).
Поскольку верно x, имеем
$\vdash \sim(a ||\alpha b)$
$\vdash l(asx,bsx,\alpha) \geqslant min$
$\vdash l(a,b,\alpha) \geqslant min$
и, следовательно, $\vdash l(с,\alpha) \geqslant min$. Так как c – любой эмпирический индивид, имеем
ТФ6. $\vdash (\forall x)l(x,\alpha) \geqslant min$
$\vdash (\forall x) \sim l(x,\alpha)<min$
где х – переменная для эмпирических индивидов. По правилам для кванторов и предикатов =, > и < имеем
$\vdash (\neg \exists x)l(x,\alpha) \geqslant min$
$\vdash (\neg \exists x) \sim l(x,\alpha)<min$.
Мы получили, таким образом, что протяженность всякого эмпирического индивида относительно заданного способа установления порядка $\alpha$ не может быть больше некоторого минимума. Причем здесь $\alpha$ есть любой способ установления порядка, так что имеем
$\vdash (\forall \alpha) (\forall x) \sim l(x,\alpha)<min$
Возьмем, далее, интервал $(a,b,\alpha)$, который больше минимального и будем сближать a и b. Это сближение равносильно выбору интервала $(c,d,\alpha)$, который короче $(a,b,\alpha)$. При сближении a и b (или при сравнении интервалов) будет иметь место следующее. Либо сближение не влияет на величину интервала (между a и b помещается такой же индивид, как и раньше, или такое же число индивидов, как и ранее), либо величина интервала скачком изменится на длину одного индивида: он перестанет помещаться между а (или b) и индивидами, которые помещены между a и b и через которые определяется протяженность $(a,b,\alpha)$. А поскольку протяженность индивидов не может быть меньше некоторого минимума, сближение a и b будет серией скачкообразного уменьшения интервала до тех пор, пока он не достигнет минимума (между a и b уже оказывается невозможным вставить какой-либо эмпирический индивид). Так что если интервал х превышает интервал у лишь на минимальную длину некоторого индивида, а у превышает длину минимального интервала также на один индивид, то для у не найдется такой интервал z, такой, что $(у>min)\wedge (z>min) \wedge (y>z)$. Если y>z, то при этих условиях z=min.
Таким образом, имеет силу утверждение
ТФ7. $\vdash(\exists x)(\forall y)(l(x,\alpha)< l(y,\alpha) \wedge (l(x,\alpha)>0))$.
Сказанное выше относится как к длинам, так и к длительностям.
Из сказанного выше также следует, что пространственно-временные отношения эмпирических индивидов изменяются скачкообразно, квантами.

Добавлено спустя 12 минут 3 секунды:

Что-то я сейчас подробно посмотрел и интерес потерял, исключая АФ7 и АФ8 - либо они противоречивы, либо ...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.05.2008, 19:49 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Sonic86 писал(а):
|-- - знак «логически выводимо», не нашел, как он в Техе пишется


Знак $\vdash$ пишется как

Код:
$\vdash$


Можно ещё такой знак использовать: $\rhd$

Код:
$\rhd$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.05.2008, 21:30 
Заблокирован


24/04/08

56
Sonic86, не занннимайтесь пустыми рассужденниями.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.05.2008, 21:46 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
SAN_666 писал(а):
Sonic86, не занннимайтесь пустыми рассужденниями.


Кто бы говорил :D

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.05.2008, 18:07 
Заслуженный участник


08/04/08
8505
За запись следования спасибо!
Я особо и не рассуждаю, я жду многоуважаемых собеседников :(

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.05.2008, 15:13 
Заслуженный участник


08/04/08
8505
Кстати, автор по-моему АФ7 и АФ8 загнул: из первой следует отрицание второй. Но можно без вреда в АФ8 поменять знак больше либо равно на знак больше - итоговое рассуждение упростится. В целом-то оказывается все понятно - минимальное расстояние изначально заложено в этой концепции - точки имеют ненулевую протяженность. А про максимальную скорость я ничего не вижу, может ее здесь нет, а есть где-то в другом месте?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.05.2008, 11:09 
Заслуженный участник


08/04/08
8505
А вывод о существовании максимальной скорости делается элементарно.
Все выводы приведены протяженности в целом, то есть и для времени тоже.
Любая скорость по определению $v=s/t$, а $t$ не меньше некоторого минимума, значит, скорость не больше некоторого максимума.
Если я не ошибаюсь, постулат о конечности скорости света - аксиома минимум специальной теории относительности. Наверное, физикам было бы интересно знать, что этот постулат - элементарное следствие принятии аксиом о том, что протяженность не меньше некоторого минимума в вышеприведенном смысле.
(Да простят меня физики за такие речи)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.10.2008, 16:06 
Заслуженный участник


08/04/08
8505
До меня тут кое-что дошло, поэтому считаю нужным изложить.
Зиновьев А.А. в его "Логической физике" в предисловии пишет:
"Логической физикой мы называем раздел логики, в котором исследуются некоторые языковые выражения, относящиеся к пространству, времени, движению, причинности и т.д. В отличие от философии и физики ... логическая физика интересуется исключительно логическими свойствами этих выражений и содержащих их выражений, т.е. такими их свойствами этих выражений и содержащих их утверждений, которые вытекают из логических правил построения языковых выражений. ...
Приведем два примера. На вопрос о том, может ли физическое тело находится одновременно в разных местах, обычно отрицательно, а на вопрос о том, почему это невозможно, отвечают: так устроен мир. Однако дело здесь не в устройстве мира. Да и откуда взять гарантии, что наше заявление будет верно на все времена в прошлом и будущем и во всех местах Вселенной? Наша уверенность в том, что физической тело не может одновременно находиться в разных местах, есть логическое следствие неявного определения выражения "разные места". В самом деле, в каком случае места (области пространства) считаются разными? Интуитивно предполагается, что два места $x$ и $y$ различны, если и только если они не имеют общих точек. ... Из этого определения логически следует утверждение: физическое тело не может одновременно находиться в разных местах."

Мне вот это рассуждение всегда казалось странным. Сегодня получилось эксплицировать ощущение таким образом:
Следует различать термины "истинный" и "адекватный". Я не знал до сегодня точного определения слова "адекватный". Если кто знает, прошу написать его здесь.
Утверждение Х будет истинным $\Leftrightarrow$ Х есть аксиома или теорема логики (пока не рассматриваем разные логические концепции). В простом языке можно сказать так: если Х верно само по себе (логически истинно), то оно истинно. Далее, Х истинно в теории Т $\Leftrightarrow$ Х есть аксиома или теорема этой теории Т. В принципе я не исключаю возможность того, что я тут одно и то же написал - это пока не играет роли. Возможны более сложные случаи, пока их не рассматриваем, можно считать это определение неполным. Получается, что Х здесь отношения к реальному миру вообще не имеет, а проверка Х происходит теоретическими способами.
Далее, Х называется адекватным ситуации С $\Leftrightarrow$ задано соответствие реальным объектам и их отношениям терминам объектов и терминов отношений, содержащихся в Х, и при замене терминов объектов и терминов отношений в Х на сами объекты и отношения мы получаем утверждение, не противоречащее реальности (тут прошу меня понять правильно, сам вижу, что криво сформулировал). Здесь Х имеет отношение к реальному миру, а проверка происходит эмпирически.
Очевидно, что некоторые (например, я вчера) эти термины отождествляют и путаница порождает разные "философские вопросы" типа: имеет математика или теорфизика предметное содержание или это игра слов и символов (путаются адекватное и истинное).
Приходится признать, что истинность высказывания не влечет его адекватность в общем случае. Например, геометрия Евклида и геометрия Лобачевского истинны, но адекватна-то только одна (или не одна?!). Адекватность, видимо, можно проверить только эмпирически для утверждений теории Т.
Попробую привести несколько утверждений для адекватных и истинных утверждений. Пока на естественном языке.
Если Х логически истинно и задано произвольное соответствие терминов Х реальной ситуации С, то Х адекватно С.
Если Х адекватно С, то Х не содержит термина $\vdash$ логического следования.
Неверно, что из адекватности Х ситуации С логически следует истинность Х в теории Т для ситуации С (строго говоря не Х, а то, что получается при отвлечении от смысла терминов в Х).
Истинность утверждения проверяется в теории и кроме теории ни от чего больше не зависит, в то время как адекватность может зависеть, вообще говоря, от времени.
Проверка адекватности теории Т - самая слабая часть теории Т для ее применения, она проводится многократной практикой ее использования. С другой стороны, от этого обстоятельства обычно отвлекаются и пытаются строить теорию по правилам аксиоматики, логики. Чем лучше это удается, тем качественнее считается теория. Соответственно, я товарища Зиновьева тогда буду интерпретировать так: когда говорят, что тело не находится в разных местах потому, что так устроен мир, то правы, так как имеют ввиду адекватность этого высказывания реальности. Но в плане адекватности дальше этого утверждения идти нельзя. Поэтому Зиновьев обращает внимание на необходимость логического построения теории, делает ее истинной. В то же время ни логическая обработка, ни адекватность сейчас не дают уверенности в адекватности потом, они дают уверенность лишь в истинности, так как истинность от времени не зависит.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.10.2008, 16:49 
Заслуженный участник


11/05/08
31937
Sonic86 писал(а):
Если я не ошибаюсь, постулат о конечности скорости света - аксиома минимум специальной теории относительности. Наверное, физикам было бы интересно знать, что этот постулат - элементарное следствие принятии аксиом о том, что протяженность не меньше некоторого минимума в вышеприведенном смысле.
(Да простят меня физики за такие речи)

Боюсь, что не простят. Независимо от арифметики, конечность (а правильнее сказать, постоянство) скорости света -- чисто эмпирический факт. Который в силу этого и был принят в качестве аксиомы теории относительности. Насчёт нижнего предела протяжённостей никаких опытных фактов, насколько я слышал, пока не поступало.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.10.2008, 17:56 
Заслуженный участник


08/04/08
8505
Насчет того, что Вы сказали о скорости света я согласен. Эмпирический факт или нет, но все равно принят как аксиома (тут у нас расхождений нет). Насчет конечности - такой же эмпирический и совсем уж обыденный факт (ну атом и расстояния между атомами например). Надо слишком глубоко лезть, чтобы найти расстояния меньше. Насчет существования минимальной протяженности во времени, наверное именно в силу конечности скорости света.
В конце концов - просто теория, интересная.
Я тут ничего утверждать и опровергать не берусь - разобраться охота было. Расхождений между мной и Вами пока нету.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.11.2008, 13:00 
Заслуженный участник


08/04/08
8505
О "Комплексной логике" Зиновьева А.А. Текст в скобках можно не читать.

Видимо, это книгу можно считать включающей все наиболее значительное и пока опубликованное у Зиновьева. (У Клини этого точно нет)

"Очерк многозначной логики" - довольно интересный и разнообразный раздел, но особого ничего не нашел :-(. Для математиков - не знаю, вряд ли там что есть. Есть там некоторые мысли, которые полезно запомнить. Например, мысль о том, что истинностные значения логики есть некоторое построение, которое не является в ней обязательным - это изобретенное средство исследования. Есть мысль о "привилегированности" двузначной логики.

Раздел "Логическое следование" показался мне более глубоким с идейной точки зрения. Я смогу изложить только то, что понял. Автор рассматривает проблему логического следствия. Ее можно сформулировать так: нет в логике некоторой конструкции, которая более-менее удовлетворительно отражала понятие следования, в частности следствия в математике, которое привычно обозначают $\Rightarrow$. В терминологии Зиновьева: нет экспликации понятия "логического следования". В матлогике конструкцией, претендующей на такую роль является импликация $\to$, причем единственной.
(Лично я, когда мне показали таблицу истинности для импликации, очень удивился, что она - формальное описание понятия "следовательно". Я попробовал составить свою таблицу и у меня получилась конъюнкция! В общем с помощью таблиц истинности ничего другого и не подберешь. Потом быстро привык - противоречий-то не возникает.
Если есть математики, которые считают импликацю адекватной логическому следованию, то хотелось бы услышать аргументацию.)
Автор рассматривает существующие попытки решить эту проблему: импликация Рассела и Уайтхеда, сильная импликация Аккермана, логические системы Льюиса, Орлова, интуиционистская логика - и высказывает свою критику. Очень грубо говоря, ход экспликации идет так:
строится импликация как логическая конструкция, выясняется непротиворечивость хотя бы исчисления высказываний. Но при интерпретации формул импликации как высказываний естественного языка получается бессмыслица. Например, если $A,B$ - ложны, то $A \to B$ - истинно. Но если взять A="2+2=5", B="снег черный", то получаем, что высказывание "если 2+2=5, то снег черный" - истинно. Но по смыслу - выглядит как чепуха. Формулы, при интерпретации которых возможно получение таких бессмысленных высказываний, называются парадоксальными. Требуется построить исчисление, где есть знак $\vdash$ логического следования - здесь он читается именно так - где нет парадоскальных формул. При построении класса доказуемых формул должен быть сужением класса доказуемых соответствующих формул, где знак логического следования заменен на знак импликации. Автор попытки построить такое исчисление - в них не произошло исключение этого класса. Впрочем, само понятие "парадоксальная формула" оказывается строго не определенным. Автор перечисляет необходимые требования к логическому следованию, рассматривае разные варианты. Рассмотренны: значения истинности высказываний, принцип дедукции, связь посылки и следствия по смыслу - наличие общих для посылки и следствия терминов, логическое следование как конструкци метатеории (из "А" следует "В"), количество знаков логического следования в доказуемых формулах, аксиоматизация теории, парадоксальность интуиционистского следования. Причем, некоторые из них он, видимо, оставляет без последующего развития (если я правильно понял). В каких-то случаях он получает несколько вариантов, удовлетворяющих условиям - получаются разные исчисления. Наиболее строгое получается так: выбрасываются вообще все формулы, которые содержат хоть какой-то намек на парадоксальность, перечисляются набор допустимых схем и объявляется искомым исчислением. В целом есть некоторый ряд исчислений, ослабляющийся по непарадоксальности. Парадоксальные формулы оказываются недоказуемыми. В самом строгом исчислении оказываются доказуемыми формулы, которые автор считает бесперспективными для дедукции: $X \vdash X \vee \sim X, \sim X \wedge X \vdash X$, ... - автор считает их "законной платой за дедуктивный метод".
В разделе также есть конструкции для логики предикатов и для логики с кванторами, рассматривается теория терминов.
(Хочу от себя заметить, что мне кажется, что сложное терминологическое строение в матлогике отразить вообще нельзя)

Вообще кроме этого есть еще куча интересных мыслей (например, критика интуиционистской логики). Возможно, что одна из построенных экспликаций и есть логический вывод в математике. Всем советую почитать! :-)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.12.2008, 17:12 
Заслуженный участник


08/04/08
8505
И еще - терминология немного иная, мое знание TeXа мне не позволяет точно написать авторские знаки, я буду их заменять и пояснять в квадратных скобках. После текста пишу список терминов, которые автором были определены, определения которых я могу написать.

Мир [в формулах M](Вселенная) есть скопление эмпирических индивидов, в которое включаются все эмпирические индивиды, т.е. если $x$ есть переменная для эмпирических индивидов, то
$\vdash (\forall x) x \in M$.
Из определения следует, что Мир есть эмпирический индивид. Из определения также следует единственность Мира в смысле следующего утверждения
$\vdash (\forall x)(\forall y)((x \rightharpoonup M) \wedge (y \rightharpoonup M)) \to ((x \rightharpoonup y) \wedge (y \rightharpoonup x))$
где x и y суть индивидные переменные (т.е. если х есть Мир и у есть Мир, то термины х и у тождественны по значению или х и у суть один и тот же индивид).
[Определяется примерно так: "a \rightharpoonup b" есть "а является b, а суть b, b есть часть содержания а". Например: кошка \rightharpoonup млекопитающее]
Из определения также следует:
$\vdash E(M) \equiv (\exists x) E(x)$
$\vdash \neg E(M) \equiv (\forall x) \neg E(x)$,
т.е. Мир не существует, если и только если существует хотя бы один эмпирический индивид, и Мир не существует, если и только если не существует ни один эмпирический индивид.
["Е(х)" читается как "х существует" - унарный предикат существования.]
Мир есть скопление индивидов и к нему (как ко всякому скоплению) применимы предикаты, определенные для скоплений. Но здесь нужно соблюдать осторожность, связанную с особенностью определения этого скопления и двусмысленностью языковых выражений со словами "возникает", "бесконечен" и т.п.
Возьмем выражение "Мир не возник во времени" (или "Мир не имеет начала во времени", "Мир вечен в прошлом" и т.п.). Оно двусмысленно. Во-первых его можно понимать как отрицание утверждения "Мир возник во времени", которое есть сокращение для
$\neg E(M) \Rightarrow E(M)$
и в котором Мир берется просто как эмпирический индивид [здесь знак $\Rightarrow$ означает двухместный предикат изменения состояния (одного на другое)]. Но чтобы принять или отвергнуть такое утверждение, необходимо иметь точку отсчета времени - некоторое эмпирическое событие а, иметь метки времени - эмпирические события $b_1, b_2, ...$, иметь возможность наблюдать состояние $s \neg E(M)$, причем индивиды $a, b_1, b_2, ...$ не должны включаться в Мир. А это исключено по определению. Если же $a, b_1, b_2, ...$ включаются в Мир, то из определений и из $E(a), E(b_1), E(b_2),...$ получим, что $E(M)$, то есть состояние $s \neg E(M)$ в принципе невозможно наблюдать в принципе. Таким образом, в рассматриваемом смысле наше утверждение неопределенно, т.е. неверно, что "Мир возник" и неверно, что "Мир не возник".
Таким образом, мы имеем нечто противоположное кантовским антиномиям: отрицание обоих противоположных суждений. Но здеь это не ведет к противоречию, ибо имеется третья возможность - неопределенность.
Второй смысл рассматриваемого выражения заключается в следующем. Мир рассматривается как процесс, т.е. как ряд различных состояний во времени. При этом наше утверждение означает, что Мир не имеет начального элемента, т.е.
$(\forall x)(\exists y)(x > \alpha y)$
где х и у - переменные для состояний Мира, а $\alpha$ - способ упорядочивания их во времени относительно некоторого события, принадлежащего к Миру (здесь это не запрещается) [автор отношение порядка в общем случае пишет как $> \alpha, = \alpha$ - больше, равно по способу измерения $\alpha$, здесь имеется ввиду измерение во времени: х раньше у].
Оставляя без внимания вопрос о том, можно ли проверить это утверждение практически, с чисто логической точки зрения оно не вступает в конфликт с принятыми определениями. В частности из того, что мир не имеет начала во времени (во втором смысле) не следует невозможность его существования. Принятие этого утверждения или его отрицания само по себе не ведет ни к какому логическому противоречию.
Аналогично нельзя принять или отвергнуть утверждения о том, что Мир не перемещается в пространстве, если рассмаривать просто Мир как индивид, так как невозможны тела, относительно которых фиксируется перемещение или покой Мира и которые не включались бы в Мир.
[Термины и предикаты, которые определены: скопление, эмпирический индивид, переменная, термин, предикат $\rightharpoonup$, предикат существования Е, событие, состояние, состояние $sx$, процесс, предикаты $> \alpha, = \alpha$.]

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 90 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group