Доказательство теоремы Ферма

[Руст]

Мат писал(а):

В данном случае утверждение верно, если $n\neq (m\cdot k)$.

Я привёл контрпример для любых n и k.

[Коровьев]

Мат писал(а):

никакой полином степени $k$ не может иметь общих множителей с полиномом степени $n$, где $k$ и $n$ - взаимно простые

Чушь. Контропример был. Правда, не в расчёте на склеротиков.

Мат писал(а):

коровьев писал(а):

Вот для простого 10 000 079 нет суммы пятых степеней, а для простого 9 999 991 есть.
Для обеих чисел существуют суммы одинадцатой степени.

Никто не опроверг и не подтвердил. коровьев? Но он занимается сейчас другими задачами и теорема Ферма ему не интересна.

Это была проверка на...чуть не сказал банное слово...уровень знаний.
Если клиент не знает даже каков вид любых делителей полинома от двух переменных

\[ \frac{{a^p + b^p }}{{a + b}} \]

при p простом и a,b целых, то ему пренепременно нада перво-наперво обратиться к книгам по теории чисел для школьников, проще не бывает. И главное забыть про этот форум. Нет, конечно, вопросы задавать можно, но ни в коем случае не теоретизировать! Не ровен час, кто-то не выдержит и грубо нарушит правила форума.
Что до Ферма, то я не такой полный дурак, чтобы заниматься проблемой, не решённой Великими в рамках существующей теории чисел, доступной моему пониманию.

[Мат]

Руст писал(а):

Мат писал(а):

В данном случае утверждение верно, если $n\neq (m\cdot k)$.

Я привёл контрпример для любых n и k.

Но не когда $a=x$, $b=y$.

Добавлено спустя 3 минуты 23 секунды:

Коровьев писал(а):

Если клиент не знает даже каков вид любых делителей полинома от двух переменных

\[ \frac{{a^p + b^p }}{{a + b}} \]

при p простом и a,b целых.

Так докажите Руст и shwedka, что полиномы

$$\frac{x^n+y^n}{x+y}$$

и

$$\frac{x^k+y^k}{x+y}$$

всегда взаимно просты, когда $n, k$ - взаимно просты. Мне никто не верит.

[Коровьев]

Мат писал(а):

Так докажите Руст и shwedka, что полиномы

$$\frac{x^n+y^n}{x+y}$$

и

$$\frac{x^k+y^k}{x+y}$$

всегда взаимно просты, когда $n, k$ - взаимно просты. Мне никто не верит.

Не передёргивайте. У вас раньше было

$$\frac{x^n+y^n}{x+y}$$

и

$$\frac{a^k+b^k}{a+b}$$

У меня склероз тока в ранней стадии. Но рыться в вашем 10-ти страничном мусоре я не собираюсь.

[Мат]

Коровьев писал(а):

Не передёргивайте. У вас раньше было

$$\frac{x^n+y^n}{x+y}$$

и

$$\frac{a^k+b^k}{a+b}$$

У меня склероз тока в ранней стадии. Но рыться в вашем 10-ти страничном мусоре я не собираюсь.

Да было. Даже цитата осталась. Вы потом привели контрпример про общий множитель $71$ у степеней $5$ и $7$ и вопрос был исчерпан.
Руст же и shwedka требуют доказательства что полиномы

$$\frac{x^n+y^n}{x+y}$$

и

$$\frac{x^k+y^k}{x+y}$$

всегда взаимно просты, когда $n, k$ - взаимно просты.
Неужели этот факт никому не известен?

[Руст]

Мат писал(а):

.
Руст же и shwedka требуют доказательства что полиномы

$$\frac{x^n+y^n}{x+y}$$

и

$$\frac{x^k+y^k}{x+y}$$

всегда взаимно просты, когда $n, k$ - взаимно просты.
Неужели этот факт никому не известен?

Я ничего не требовал. Тем более что это очевидно, если ещё добавить условие $(x,y)=1$ (иначе не верно) и n,k оба нечётны (иначе выражения не целые для взаимно простых x,y). Достаточно локализовать по простому p и в вычетах получается $z^n=-1,z^k=-1$, где $z=x/y$ если $y\not =0\mod p$ иначе $z=y/x$ (x и y одновременно не делятся на р из-за взаимной простоты). Отсюда получается $z=-1\mod p$ или $p|x+y$. В последнем случае выражаем $y=cp^k-x$ и получаем что чотя бы одно выражение не делится на р из-за того, что хотя бы одно из чисел n,k не делится на р.

[sceptic]

Бесполезно объяснять. Он же не понимает даже терминологии. Или прикидывается?

[maxal]

Мат в сообщении #188026 писал(а):

Не существует никакой суммы кубов, которая делится нацело на числа $17$, $29$, $71$, и ее основание не содержит данных чисел.

Переводя на формальный язык, вы утверждаете, что если 17 делит $x^3+y^3$ для целых $x,y$, то оно также делит $x+y$. И аналогично для 29 и 71.

Эти утверждения легко следуют из разложения:

$$x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2) = (x+y)\frac{(2x - y)^2 + 3y^2}{4}$$

Дело в том, что, если простое $p$ делит второй множитель и $-3$ не является квадратичным вычетом по модулю $p$, то оно обязано делить оба числа $x$ и $y$ (а, значит, и их сумму $x+y$).

Как нетрудно, $-3$ не является квадратичным вычетом по модулю простого $p>3$ если и только если $p\equiv 5\pmod6$.

Таким образом, ваше утверждение справдливо, например, для следующих простых $p$ в пределах первой сотни:
5, 11, 17, 23, 29, 41, 47, 53, 59, 71, 83, 89

[Мат]

Руст писал(а):

Тем более что это очевидно, если ещё добавить условие $(x,y)=1$ (иначе не верно) и n,k оба нечётны (иначе выражения не целые для взаимно простых x,y).

Именно для теоремы Ферма справедливо $(x,y)=1$ и $k, n$ - взаимно простые.
Что же качается нечетности, то в доказательстве п.3. рассматривается не

$$\frac{x^n+y^n}{x+y}$$

и

$$\frac{x^k+y^k}{x+y}$$

, а взаимная простота чисел

$$\frac{x^n+y^n}{x+y}$$

и $x^{n-1}-y^{n-1}$, поэтому требование целостности снимается, а взаимная простота легко вытекает из приведенного выше рассуждения.
Таким образом вы должны признать, что никакие уравнения $a^nx^n+b^ny^n=(a^n+b^n)^n$ не могут иметь решений при $n>2$.

[Руст]

Мат писал(а):

Таким образом вы должны признать, что никакие уравнения $a^nx^n+b^ny^n=(a^n+b^n)^n$ не могут иметь решений при $n>2$.

Не должен. Я не вижу связи предыдущего с этим.

[Мат]

maxal
Не существует никакой суммы одиннадцатых степеней $x^{11}+y^{11}$, которая делится нацело на числа $17$, $29$, $71$, и $x+y$ не содержит данных чисел.
И вообще никакой степени, что найдутся суммы этой степени, делящиеся поочередно на каждое из данных чисел.

[Батороев]

По этому поводу есть более общее утверждение, когда-то подсказанное Коровьевым (только, нынче он что-то склерозом прикрывается ).

Коровьев писал(а):

Если $ (a;b)=1$ и $a+b$ не делится на простое $p$, то
$ \frac{a^p+b^p}{a+b}$ и $a+b$ не содержат общих множителей /взаимно простые/.
Причём
$ \frac{a^p+b^p}{a+b}=a^{p-1} - a^{p-2}b + ...+ b^{p-1} $
содержит только простые множители вида
$m=2kp+1$

[Мат]

Руст
К сожалению я не умею давать ссылки на конкретные сообщения, вот номер страницы с доказательством:
http://dxdy.ru/topic18834-75.html
в данной теме.

Добавлено спустя 1 минуту 25 секунд:

Батороев писал(а):

По этому поводу есть более общее утверждение, когда-то подсказанное Коровьевым (только, нынче он что-то склерозом прикрывается ).

Коровьев писал(а):

Если $ (a;b)=1$ и $a+b$ не делится на простое $p$, то
$ \frac{a^p+b^p}{a+b}$ и $a+b$ не содержат общих множителей /взаимно простые/.
Причём
$ \frac{a^p+b^p}{a+b}=a^{p-1} - a^{p-2}b + ...+ b^{p-1} $
содержит только простые множители вида
$m=2kp+1$

А если $p$ - не простое?

[maxal]

Мат в сообщении #189131 писал(а):

Не существует никакой суммы одиннадцатых степеней $x^{11}+y^{11}$, которая делится нацело на числа $17$, $29$, $71$, и $x+y$ не содержит данных чисел.
И вообще суммы никаких степеней.

Если $x^{11} + y^{11}$ делится на простое $p$, но $x+y$ не делится на $p$, то оба $x,y$ взаимно-просты с $p$, и тогда $(x/y)^{11}\equiv -1\pmod{p}$, но $x/y\not\equiv -1\pmod{p}$. Откуда следует, что мультипликативных порядок $x/y$ по модулю $p$ равен $22$, и $22$ является делителем $p-1$.
Таким образом, $p\equiv 1\pmod{22}$. Ни одно из чисел 17, 29, 71 не удовлетворяет этому сравнению.

Ваш пассаж о "сумме никаких степеней" неверен. Например, $1^7 + 4^7=16385$ делится на 29, в то время как $1+4$ - нет.

[Руст]

Батороев писал(а):

По этому поводу есть более общее утверждение, когда-то подсказанное Коровьевым (только, нынче он что-то склерозом прикрывается ).

Коровьев писал(а):

Если $ (a;b)=1$ и $a+b$ не делится на простое $p$, то
$ \frac{a^p+b^p}{a+b}$ и $a+b$ не содержат общих множителей /взаимно простые/.
Причём
$ \frac{a^p+b^p}{a+b}=a^{p-1} - a^{p-2}b + ...+ b^{p-1} $
содержит только простые множители вида
$m=2kp+1$

Первое следует из $\frac{a^p+b^p}{a+b}=(a+b)[a^{p-2}-2a^{p-3}b+...-(p-1)b^{p-2}]+pb^{p-1}$ p- нечётное простое.
Второе из общеизвестного $p|\Phi_n(a,b)\to p=1\mod n$, здесь

$$\Phi_n(a,b)=\prod_{(k,n)=1}(a-\epsilon^kb), \epsilon =exp(\frac{2\pi i}{n})$$

круговой многочлен, вы используете круговой многочлен для $n=2p$.