2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 уравнение x!+1=y^2 в натуральных числах
Сообщение05.05.2006, 15:01 


05/05/06
2
Можете ли вы помочь студенту решить эту задачу? :

$x!+1=y^2$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.05.2006, 15:17 
Заслуженный участник


09/02/06
4342
Москва
Первое решение $x=0,y=1$. Далее $x>1$, следовательно $y$ нечётно и $x!=(y-1)(y+1)$.
Соответствено одно из чисел делится на 2, другое на $2^{v_2(x!)-1}$. А другие простые числа, не превосходящие $x$ полностью содержатся или в $y-1$ или в $y+1$.
Легко находится следующее решение $x=4,y=5$. Однако, как из этих соображений вывести, что нет других решений сразу на ум не приходит.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.05.2006, 17:06 
Заслуженный участник


09/02/06
4342
Москва
Насчёт $0!$ я несколько не прав. Обычно принимается $0!=1$. Что больших решений нет следует из недоказанной $abc$ гипотезы.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.05.2006, 17:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5655
Новосибирск
Пропустили ещё одно: $x=5, y=11$
Кажется мне уже приходилось решать эту задачу, но очень давно, чуть ли не в школе ещё. Если это так, то у неё должно быть очень простое решение.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.05.2006, 17:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/10/05
1142
И ещё одно $x= 0, y = \sqrt{2}$, ведь про $x,y$ ничего не сказано!

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.05.2006, 17:48 
Экс-модератор
Аватара пользователя


23/12/05
11180
Ага, а еще $x=7, y=\pm71$,

и для натуральных $x$ кроме $x=4, x=5, x=7$ до $29$ включительно целых $y$ удовлетворяющих уравнению точно нет.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.05.2006, 18:14 
Экс-модератор
Аватара пользователя


23/12/05
11180
Извините, что немножко не в тему, просто любопытно.
Руст писал(а):
Насчёт $0!$ я несколько не прав. Обычно принимается $0!=1$.

Скажите, а это делается только из соображений, чтобы факториал полностью соответсвовал гамма-функции, или были какие-то еще соображения, когда так полагали?
$n! = \Gamma \left( {n + 1} \right) = \int\limits_0^\infty  {t^n e^{ - t} dt} $

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.05.2006, 18:45 
Заслуженный участник


09/02/06
4342
Москва
$0!=1$ удобнее со многих позиций в том числе
$$e^x=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} .$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.05.2006, 21:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
16842
Москва
photon писал(а):
Извините, что немножко не в тему, просто любопытно.
Руст писал(а):
Насчёт 0! я несколько не прав. Обычно принимается 0!=1.

Скажите, а это делается только из соображений, чтобы факториал полностью соответсвовал гамма-функции, или были какие-то еще соображения, когда так полагали?
$n! = \Gamma \left( {n + 1} \right) = \int\limits_0^\infty  {t^n e^{ - t} dt} $


Да зачем гамма-функцию трогать, факториал и сам по себе удовлетворяет соотношению $(n+1)!=n!\cdot(n+1)$ при целом $n>0$. Почему бы не распространить это соотношение и на $n=0$? Кроме того, в формулах типа $C^m_n=\frac{n!}{m!\cdot(n-m)!}$ просто необходимо считать, что $0!=1$.
И ещё, очень удобно считать, что сумма, не содержащая ни одного слагаемого, равна $0$, а произведение, не содержащее ни одного множителя, равно $1$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.05.2006, 21:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Забавно -- я проверил до 3000. Все решения -- $x \in \{4,5,7\}$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.05.2006, 21:59 
Заслуженный участник


09/02/06
4342
Москва
Похоже доказать, что нет других решений можно только доказав abc гипотезу, за которую обещано миллион долларов.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.05.2006, 23:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Руст писал(а):
Похоже доказать, что нет других решений можно только доказав abc гипотезу, за которую обещано миллион долларов.

А что за гипотеза? и как следует?

 Профиль  
                  
 
 Поправка
Сообщение06.05.2006, 07:12 


05/05/06
2
Я забыл указать, что суть заключается именно в доказательстве несуществования других ответов. :lol:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.05.2006, 07:38 
Заслуженный участник


09/02/06
4342
Москва
$abc$ гипотеза элементарно формулируется. Для этого определим радикал числа $rad(n)$ как произведение всех простых делителей числа $n$ без кратностей ($rad(144)=6$). Фактически оно совпадает с радикалом идеала: $rad(nZ)=rad(n)Z$. Формулировка гипотезы:
Для любого $s>0$ существует $C(s)$, что для любых взаимно простых натуральных чисел $a,b,c=a+b$ выполняется $$rad(abc)>C(s)c^{1-s}.$$
Эта гипотеза намного сильнее ВТФ и имеет не меньше приложений, чем гипотеза Римана.
Взяв $a=x!,b=1,c=y*y$ получаем, что при больших $x$ не существует решения.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.05.2006, 08:58 
Экс-модератор
Аватара пользователя


23/12/05
11180
незваный гость писал(а):
:evil:
Забавно -- я проверил до 3000. Все решения -- $x \in \{4,5,7\}$.

Если не секрет, при помощи чего Вы это проверили?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 67 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: george66


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group