2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 уравнение x!+1=y^2 в натуральных числах
Сообщение05.05.2006, 15:01 


05/05/06
2
Можете ли вы помочь студенту решить эту задачу? :

$x!+1=y^2$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.05.2006, 15:17 
Заслуженный участник


09/02/06
4342
Москва
Первое решение $x=0,y=1$. Далее $x>1$, следовательно $y$ нечётно и $x!=(y-1)(y+1)$.
Соответствено одно из чисел делится на 2, другое на $2^{v_2(x!)-1}$. А другие простые числа, не превосходящие $x$ полностью содержатся или в $y-1$ или в $y+1$.
Легко находится следующее решение $x=4,y=5$. Однако, как из этих соображений вывести, что нет других решений сразу на ум не приходит.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.05.2006, 17:06 
Заслуженный участник


09/02/06
4342
Москва
Насчёт $0!$ я несколько не прав. Обычно принимается $0!=1$. Что больших решений нет следует из недоказанной $abc$ гипотезы.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.05.2006, 17:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5655
Новосибирск
Пропустили ещё одно: $x=5, y=11$
Кажется мне уже приходилось решать эту задачу, но очень давно, чуть ли не в школе ещё. Если это так, то у неё должно быть очень простое решение.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.05.2006, 17:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/10/05
1142
И ещё одно $x= 0, y = \sqrt{2}$, ведь про $x,y$ ничего не сказано!

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.05.2006, 17:48 
Экс-модератор
Аватара пользователя


23/12/05
11180
Ага, а еще $x=7, y=\pm71$,

и для натуральных $x$ кроме $x=4, x=5, x=7$ до $29$ включительно целых $y$ удовлетворяющих уравнению точно нет.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.05.2006, 18:14 
Экс-модератор
Аватара пользователя


23/12/05
11180
Извините, что немножко не в тему, просто любопытно.
Руст писал(а):
Насчёт $0!$ я несколько не прав. Обычно принимается $0!=1$.

Скажите, а это делается только из соображений, чтобы факториал полностью соответсвовал гамма-функции, или были какие-то еще соображения, когда так полагали?
$n! = \Gamma \left( {n + 1} \right) = \int\limits_0^\infty  {t^n e^{ - t} dt} $

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.05.2006, 18:45 
Заслуженный участник


09/02/06
4342
Москва
$0!=1$ удобнее со многих позиций в том числе
$$e^x=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} .$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.05.2006, 21:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
16842
Москва
photon писал(а):
Извините, что немножко не в тему, просто любопытно.
Руст писал(а):
Насчёт 0! я несколько не прав. Обычно принимается 0!=1.

Скажите, а это делается только из соображений, чтобы факториал полностью соответсвовал гамма-функции, или были какие-то еще соображения, когда так полагали?
$n! = \Gamma \left( {n + 1} \right) = \int\limits_0^\infty  {t^n e^{ - t} dt} $


Да зачем гамма-функцию трогать, факториал и сам по себе удовлетворяет соотношению $(n+1)!=n!\cdot(n+1)$ при целом $n>0$. Почему бы не распространить это соотношение и на $n=0$? Кроме того, в формулах типа $C^m_n=\frac{n!}{m!\cdot(n-m)!}$ просто необходимо считать, что $0!=1$.
И ещё, очень удобно считать, что сумма, не содержащая ни одного слагаемого, равна $0$, а произведение, не содержащее ни одного множителя, равно $1$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.05.2006, 21:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Забавно -- я проверил до 3000. Все решения -- $x \in \{4,5,7\}$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.05.2006, 21:59 
Заслуженный участник


09/02/06
4342
Москва
Похоже доказать, что нет других решений можно только доказав abc гипотезу, за которую обещано миллион долларов.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.05.2006, 23:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Руст писал(а):
Похоже доказать, что нет других решений можно только доказав abc гипотезу, за которую обещано миллион долларов.

А что за гипотеза? и как следует?

 Профиль  
                  
 
 Поправка
Сообщение06.05.2006, 07:12 


05/05/06
2
Я забыл указать, что суть заключается именно в доказательстве несуществования других ответов. :lol:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.05.2006, 07:38 
Заслуженный участник


09/02/06
4342
Москва
$abc$ гипотеза элементарно формулируется. Для этого определим радикал числа $rad(n)$ как произведение всех простых делителей числа $n$ без кратностей ($rad(144)=6$). Фактически оно совпадает с радикалом идеала: $rad(nZ)=rad(n)Z$. Формулировка гипотезы:
Для любого $s>0$ существует $C(s)$, что для любых взаимно простых натуральных чисел $a,b,c=a+b$ выполняется $$rad(abc)>C(s)c^{1-s}.$$
Эта гипотеза намного сильнее ВТФ и имеет не меньше приложений, чем гипотеза Римана.
Взяв $a=x!,b=1,c=y*y$ получаем, что при больших $x$ не существует решения.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.05.2006, 08:58 
Экс-модератор
Аватара пользователя


23/12/05
11180
незваный гость писал(а):
:evil:
Забавно -- я проверил до 3000. Все решения -- $x \in \{4,5,7\}$.

Если не секрет, при помощи чего Вы это проверили?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 67 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group