уравнение x!+1=y^2 в натуральных числах

[Sultan]

Можете ли вы помочь студенту решить эту задачу? :

$x!+1=y^2$

[Руст]

Первое решение $x=0,y=1$. Далее $x>1$, следовательно $y$ нечётно и $x!=(y-1)(y+1)$.
Соответствено одно из чисел делится на 2, другое на $2^{v_2(x!)-1}$. А другие простые числа, не превосходящие $x$ полностью содержатся или в $y-1$ или в $y+1$.
Легко находится следующее решение $x=4,y=5$. Однако, как из этих соображений вывести, что нет других решений сразу на ум не приходит.

[Руст]

Насчёт $0!$ я несколько не прав. Обычно принимается $0!=1$. Что больших решений нет следует из недоказанной $abc$ гипотезы.

[bot]

Пропустили ещё одно: $x=5, y=11$
Кажется мне уже приходилось решать эту задачу, но очень давно, чуть ли не в школе ещё. Если это так, то у неё должно быть очень простое решение.

[Capella]

И ещё одно $x= 0, y = \sqrt{2}$, ведь про $x,y$ ничего не сказано!

[photon]

Ага, а еще $x=7, y=\pm71$,

и для натуральных $x$ кроме $x=4, x=5, x=7$ до $29$ включительно целых $y$ удовлетворяющих уравнению точно нет.

[photon]

Извините, что немножко не в тему, просто любопытно.

Руст писал(а):

Насчёт $0!$ я несколько не прав. Обычно принимается $0!=1$.

Скажите, а это делается только из соображений, чтобы факториал полностью соответсвовал гамма-функции, или были какие-то еще соображения, когда так полагали?
$n! = \Gamma \left( {n + 1} \right) = \int\limits_0^\infty {t^n e^{ - t} dt} $

[Руст]

$0!=1$ удобнее со многих позиций в том числе

$$e^x=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} .$$

[Someone]

photon писал(а):

Извините, что немножко не в тему, просто любопытно.

Руст писал(а):

Насчёт 0! я несколько не прав. Обычно принимается 0!=1.

Скажите, а это делается только из соображений, чтобы факториал полностью соответсвовал гамма-функции, или были какие-то еще соображения, когда так полагали?
$n! = \Gamma \left( {n + 1} \right) = \int\limits_0^\infty {t^n e^{ - t} dt} $

Да зачем гамма-функцию трогать, факториал и сам по себе удовлетворяет соотношению $(n+1)!=n!\cdot(n+1)$ при целом $n>0$. Почему бы не распространить это соотношение и на $n=0$? Кроме того, в формулах типа $C^m_n=\frac{n!}{m!\cdot(n-m)!}$ просто необходимо считать, что $0!=1$.
И ещё, очень удобно считать, что сумма, не содержащая ни одного слагаемого, равна $0$, а произведение, не содержащее ни одного множителя, равно $1$.

[незваный гость]

Забавно -- я проверил до 3000. Все решения -- $x \in \{4,5,7\}$.

[Руст]

Похоже доказать, что нет других решений можно только доказав abc гипотезу, за которую обещано миллион долларов.

[незваный гость]

Руст писал(а):

Похоже доказать, что нет других решений можно только доказав abc гипотезу, за которую обещано миллион долларов.

А что за гипотеза? и как следует?

[Sultan]

Я забыл указать, что суть заключается именно в доказательстве несуществования других ответов.

[Руст]

$abc$ гипотеза элементарно формулируется. Для этого определим радикал числа $rad(n)$ как произведение всех простых делителей числа $n$ без кратностей ($rad(144)=6$). Фактически оно совпадает с радикалом идеала: $rad(nZ)=rad(n)Z$. Формулировка гипотезы:
Для любого $s>0$ существует $C(s)$, что для любых взаимно простых натуральных чисел $a,b,c=a+b$ выполняется

$$rad(abc)>C(s)c^{1-s}.$$

Эта гипотеза намного сильнее ВТФ и имеет не меньше приложений, чем гипотеза Римана.
Взяв $a=x!,b=1,c=y*y$ получаем, что при больших $x$ не существует решения.

[photon]

незваный гость писал(а):

:evil:
Забавно -- я проверил до 3000. Все решения -- $x \in \{4,5,7\}$.

Если не секрет, при помощи чего Вы это проверили?