уравнение x!+1=y^2 в натуральных числах

[Руст]

Я точно не помню, автором был не я. Я там показал только, что из abc гипотезы получается доказательство отсутствия больших решений.

[maxal]

Вот то обсуждение: http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=2500

// темы объединены

[Imperator]

Решить в натуральных числах уравнение
$n!+1=k^{2}.$

[Руст]

Кажется эту задачу уже рассматривали и здесь и в Mathlinks.

[ИСН]

$4!+1=5^2$
$5!+1=11^2$
$7!+1=71^2$
а дальше увы...
http://mathworld.wolfram.com/BrocardsProblem.html

[Imperator]

ИСН

То есть Вы хотите сказать, что больше решений нет или просто неизвестны другие, если таковые вообще имеются?


Все, понял.

[Батороев]

Highwind писал(а):

Ну приходит в голову его написать так

\[1 \cdot 2 \cdot 3... \cdot (x - 1) \cdot x = y^2 - 1\]

А потом помутить с делимостью что-нибудь

По-моему, разумное предложение.
Выражение $ y^2-1 $ предполагает, что множители числа $ n! $ можно разделить на две группы, произведение которых будет отличаться друг от друга на $ 2 $.

Это возможно лишь тогда, когда одно из указанных произведений имеет степень четности $ 2^1 $.
Тогда все остальные степени двойки четных чисел должны быть во второй группе.

Кроме того, в обеих группах не должно быть и других общих простых множителей, т.е. полученные произведения должны быть взаимнопростыми числами по всем простым числам за исключением одной степени двойки.