2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 
Сообщение06.05.2006, 19:36 
Экс-админ
Аватара пользователя


23/05/05
2106
Kyiv, Ukraine
Sultan
Замечание за дубли.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.05.2006, 19:48 


31/03/06
1384
Руст, а почему при больших $x$, невозможно $rad(x!\times y)>y^2$?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.05.2006, 20:28 
Заслуженный участник


09/02/06
4342
Москва
Легко оценивается значение мультипликативной функции rad
$$rad(x!y^2)=rad(y)\prod_{p\le x} p \le y* e^{x(1+o(1))},y=O((x/e)^x).$$
Следовательно $$rad(x!y)<y^{(1/2+1/ln x)(1+o(1))}$$, что дает противоречие.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.05.2006, 20:54 


31/03/06
1384
Вы оценили произведение всех простых чисел, которые не превосходят x функцией e^x. Почему? Я также не понял вторую строчку, пожалуйста поподробнее.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.05.2006, 21:22 
Заслуженный участник


09/02/06
4342
Москва
1.Оценка $$\sum_{p\le x} \ln p =x(1+o(1))$$ была выдвинута ещё Гауссом. Чебышев доказал, что если есть предел отношения этой суммы к х то он равен 1. Но существование предела доказали позже, сам Чебышев оценил с двух сторон константами близкими к 1. Это имеется в любом учебнике по аналитической теории чисел.
2. Из формулы Стирлинга $\ln y=(x\ln x -x)/2 +O(\ln x),$ следовательно
$$e^x=y^{\frac{2}{\ln x -1}}, rad(x!y)\le c^{\frac 12 +\frac{1}{\ln x -1}(1+o(1))},c=y^2.$$
А это противоречит тому, что $ rad(x!c)>C(1/4)c^{3/4}$. вытекающему из гипотезы.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.05.2006, 22:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
photon писал(а):
незванный гость писал(а):
:evil:
Забавно -- я проверил до 3000. Все решения -- $x \in \{4,5,7\}$.

Если не секрет, при помощи чего Вы это проверили?

Wolfram's Mathematica

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.05.2006, 22:56 


31/03/06
1384
Теперь понятно. Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.05.2006, 03:36 


31/03/06
1384
Заметим, что если $x!+1=y^2$, то все делители чисел $x!-1$, $x!-7$, ..., $x!-(2^k-1)$ ($k$-нечётное) дают при делении на $8$ остаток $1$ или $-1$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.05.2006, 08:07 
Заслуженный участник


09/02/06
4342
Москва
В этом ничего удивительного, так как
$ord_p(x!)=\sum_i [\frac{x}{p^i}]$
Соответственно при $p=2 \ x>3$ это выражение делится на $8$. Если бы вместо $1$ стояло число не равное $0,1,4$ по модулю $8$, легко бы установили, что нет решений кроме случая $x<4$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.05.2006, 09:14 
Заслуженный участник


09/02/06
4342
Москва
Точнее легко устанавливается, что уравнение:
$x!+a=y^2$
не имеет решений при $x\geq p$, ($a>1$) где $p$ первое простое число, что $(\frac ap )=-1.$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.05.2006, 21:51 


31/03/06
1384
Пусть $x!+1=y^2$ и $x!=z^2 d$. Получается уравнение Пелля: $z^2 d+1=y^2$. Таким образом, достаточно доказать гипотезу $abc$ для решений уравнения Пелля (для них есть формула). :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.05.2006, 22:02 
Заслуженный участник


09/02/06
4342
Москва
не вижу никакой связи.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.05.2006, 22:18 


31/03/06
1384
Если гипотеза $abc$ верна в общем случае, то она верна и для уравнения Пелля $z^2 d+1=y^2$. Я предположил, что доказать эту гипотезу в частном случае уравнения Пелля проще чем в общем случае. Если это сделать, то невозможность уравнения $x!+1=y^2$ следует из Ваших рассуждений.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.05.2006, 22:26 
Заслуженный участник


09/02/06
4342
Москва
Допустим доказали для частного случая и соответствующая константа стала ещё зависящей от $d$. И таким образом не будет никакого применения, так как конечное число решений при каждом $d$, а возможных решений может быть бесконечно из-за бесконечности возможных значений $d$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.05.2006, 23:11 


31/03/06
1384
Во-первых, при каждом $d$ есть бесконечно много решений $(y, z)$. Это числитель и знаменатель подходящих дробей при разложении $\sqrt{d}$ в непрерывную дробь. В моём рассуждении, бесконечность возможных решений не играет роли. Я имею в виду, что если доказать, например, что $rad(zdy)>y^{\frac{3}{2}}$, то в случае $x!=z^2 d$, можно получить противоречие, используя Вашу оценку $rad(x!y)$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 67 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group