Магические квадраты

[maxal]

Nataly-Mak
Наверное, все ограничено размером памяти. Скажем, на 8 GB памяти реально можно разместить в памяти квадрат порядка 60000.
Хотя, если квадрат целиком в явном виде не строить, а лишь выводить его на печать строчка за строчкой, то можно таким образом напечатать квадрат, скажем, миллиардного порядка. Только непонятно, что с ним потом делать - его даже записать на жёсткий диск не получится в виду чрезмерного размера.

[MaximKat]

Nataly-Mak в сообщении #169160 писал(а):

Он пишет, что по программе можно строить МК до порядка 9998! И только следующий 10002 порядок у него не получился, нужная память превысила 2 Гб.

поправка: 9998 тоже не проходит
8002 проходит, 10002 - нет. промежуточные значения я не тестировал
кроме того, есть вторая версия, которая сразу в файл пишет. там можно любой размер задавать, главное терпение

[maxal]

На самом деле несложно даже дать явную аналитическую формулу для полустрок. Например, в случае $n=8k+6$, т.е. как в примере:

maxal в сообщении #169155 писал(а):

n=14: [[8, 5, 4, 3, 2, 13, 14], [6, 9, 10, 11, 12, 1, 0]]
n=22: [[10, 9, 14, 7, 6, 5, 4, 3, 20, 21, 22], [12, 13, 8, 15, 16, 17, 18, 19, 2, 1, 0]]
n=30: [[14, 13, 12, 11, 10, 21, 8, 7, 6, 5, 4, 27, 28, 29, 30], [16, 17, 18, 19, 20, 9, 22, 23, 24, 25, 26, 3, 2, 1, 0]]

определим

$$t=\left\lceil \frac{1 + \sqrt{32k^2 + 56k + 33}}{2} \right\rceil.$$

Тогда полустрока имеет вид $4k+3 \pm j$, где $j=1,2,\dots,4k+3$ и знак плюс берется только для $j\geq t$ и особого значения:

$$j_0=\frac{t(t-1)}{2} - (4k^2 + 7k + 3).$$

Например, для $k=2$ (т.е. $n=22$) имеем $t=9$ и $j_0=3$, что дает полустроку:
11-1=10, 11-2=9, 11+3=14, 11-4=7, 11-5=6, 11-6=5, 11-7=4, 11-8=3, 11+9=20, 11+10=21, 11+11=22.

[MaximKat]

maxal
сильно сложно
проще так:
$n=2k$
тогда
$0\ 3k-4\ 3k-6\ \ldots\ 2k+1\ 2k-1\ 2k-2\ k-3\ k-5\ \ldots\ 4\ 2$
$3k-3\ 1\ 3\ \ldots\ k-4\ k-2\ k-1\ 2k\ 2k+2\ \ldots\ 3k-7\ 3k-5$

Добавлено спустя 1 минуту 16 секунд:

хотя нет, почти то же самое фактически выходит

[Nataly-Mak]

maxal
Вы дали аналитическую формулу для полустрок в случае n = 8k + 6.
А для других случаев будет другая формула?
Аналитическая формула, которую дал MaximKat, годится для любого n = 4k + 2. Я это доказала в общем виде (используя данную аналитическую формулу для полустрок).
Интересно отметить, что когда я составляла полустроки простым подбором, у меня в некоторых случаях получались полустроки с парой (0,n), а в других случаях не получались, приходилось число Х в паре (0,Х) брать больше порядка квадрата n. Вы как раз и дали формулу для случая, когда Х = n. Правильно?

[maxal]

Nataly-Mak
Для других случев формула будет другая, но примерно такого же вида.
Как я уже писал ранее, $X=n$ возможно только если $n$ имеет вид $8k$ или $8k+6$. Во остальных случаях (т.е. $n=8k+2$ или $8k+4$), с необходимостью имеем $X>n$, и наименьшим возможным $X$ является $X=n+2$.

[Nataly-Mak]

Какое разнообразие решений! Вот, например, для n=22:
решение, найденное мной вручную (без формулы, просто подбором):
0 21 19 17 15 14 13 10 6 4 2
22 1 3 5 7 8 9 12 16 18 20
решение по формуле maxal:
0 1 2 19 18 17 16 15 8 13 12
22 21 20 3 4 5 6 7 14 9 10
решение по формуле MaximKat:
0 29 27 25 23 21 20 8 6 4 2
30 1 3 5 7 9 10 22 24 26 28
Интересный момент: то, что maxal нашёл решение для любого чётного n, навело меня на мысль, что данный метод можно применять и для построения нетрадиционных идеальных квадратов порядка n = 4k. Хотя для данной серии порядков существуют традиционные идеальные квадраты (кроме n = 4), тем не менее, построение нетрадиционных идеальных квадратов тоже можно рассматривать.
Вот полустроки для латинских квадратов 8-го порядка:
0 7 6 3
8 1 2 5
A это нетрадиционный идеальный квадрат 8-го порядка, построенный с использованием данных полустрок:

1 72 55 36 28 63 64 9
80 11 26 47 53 20 17 74
7 66 61 30 34 57 70 3
76 15 22 51 49 24 13 78
4 69 58 33 31 60 67 6
79 12 25 48 52 21 16 75
8 65 62 29 35 56 71 2
73 18 19 54 46 27 10 81

Нетрадиционный идеальный квадрат 4-го порядка мне удалось составить только с повторяющимися числами:

1 16 13 4
16 1 4 13
4 13 16 1
13 4 1 16

Вдруг японцам потребуется срочно для нанотехнологий идеальный квадрат 4-го порядка, а у нас и не было такого Вот теперь есть.
С разными числами составить квадрат с ходу не получается. Возможно ли вообще составить нетрадиционный идеальный квадрат 4-го порядка с разными числами
MaximKat, вам задание (на после сессии ): найти такие же красивые формулы для полустрок в случае n = 4k (k>1). Мне кажется, что ваши формулы, полученные для порядков n = 4k + 2, не работают для порядков n = 4k. Правильно?

[MaximKat]

Да, не работают

[Aleks-Sid]

Nataly-Mak

Вот это уже другой разговор! Половина моей проблемы решена! Идеальный нетрадиционный квадрат 4х4 есть! Теперь только осталось найти точно такой же, но 3х3. Или же доказать, что невозможно составить. Тогда будет покрыто все поле идеальных квадратов.

[MaximKat]

Вы что, издеваетесь? Для таких маленьких порядков элементарно вводятся n*n неизвестных, состовляется соответствующая СЛАР и решается
Дело на 20 минут

[Aleks-Sid]

MaximKat

У тебя есть вернейший шанс попасть на страницы моей книги! Если за 20 минут сумеешь найти нетрадиционный, пандиагональный и ассоциативный квадрат даже с повторяющими числами (но не со всеми!), то на всю жизнь человечества войдешь в историю.

[Nataly-Mak]

Aleks-Sid писал(а):

Половина моей проблемы решена!

Вообще-то эта проблема – построение нетрадиционного идеального квадрата 4-го порядка – была решена мной больше года назад. В статье “Ассоциативные магические квадраты” я доказала, что традиционные магические квадраты 4-го порядка не могут быть одновременно и ассоциативными, и пандиагональными. Вы мне ещё систему уравнений, составленную для этого доказательства, решили в пакете Maple. Запамятовали? Там же показан нетрадиционный идеальный квадрат, построенный с помощью решения этой самой системы уравнений. Вот этот квадрат:

3 14 9 8
14 3 8 9
8 9 14 3
9 8 3 14

Сейчас я показала нетрадиционный идеальный квадрат 4-го порядка, построенный рассматриваемым методом, для полноты картины.
Решение второй половины вашей проблемы предоставляю вам

[Aleks-Sid]

Nataly-Mak

Зачем мне тратить годы на поиски последней вершины идеальности, если мне всего за 20 минут обещали решить проблему путем "составления соответствующей СЛАР" ?

[MaximKat]

Aleks-Sid
Такого квадрата не существует.
Думаю для вас не составит сложность доказать это.

[Aleks-Sid]

MaximKat

Если это так, то получается, что 3х3 - единственный случай, когда невозможно создать идеальный магический квадрат (даже с повторами чисел!). Откуда взялась такая уникальность? Только потому, что матрица 3х3 появилась на панцире черепахи? Мне это кажется очень странным.