Метод латинский квадратов (или метод Делаира) для построения магических квадратов нечётного порядка получил неожиданное продолжение.
Данный метод описан мной в статье
“Методы построения магических квадратов” по двум книгам: М.М. Постников “Магические квадраты” (М.: Наука, 1964) и Ю.В. Чебраков (эта книга здесь уже несколько раз упоминалась). В обоих источниках метод основан на построении пары ортогональных латинских квадратов, но квадраты эти не диагональные.
(Диагональными латинскими квадратами называются такие латинские квадраты, в каждой диагонали которых числа различны).
Другие пары ортогональных латинских квадратов для метода Делаира в данных источниках не строятся.
Недавно, занимаясь исследованием вопроса составления пар ортогональных диагональных латинских квадратов разных порядков, я обнаружила две пары таких квадратов 5-го порядка. Одна из них найдена в книге М. Гарднера “Математические досуги” (М.: Мир, 1972).
Если использовать эту пару ортогональных диагональных латинских квадратов для построения магического квадрата 5-го порядка, получается квадрат, эквивалентный квадрату, построенному методом Москопула (метод коня). Поэтому данную пару я не буду здесь рассматривать (хотя в статье, конечно, о ней напишу).
Больший интерес представляет вторая пара ортогональных диагональных латинских квадратов 5-го порядка. Эту пару составил
maxal. Он установил, что для порядка 5 существуют только две пары ортогональных диагональных латинских квадратов. Вот эта пара:
Код:
0 1 2 3 4
4 2 3 0 1
3 4 1 2 0
1 3 0 4 2
2 0 4 1 3
Код:
0 1 2 3 4
3 4 1 2 0
4 2 3 0 1
2 0 4 1 3
1 3 0 4 2
С помощью этой пары построен такой магический квадрат 5-го порядка:
Код:
1 7 13 19 25
24 15 17 3 6
20 23 9 11 2
8 16 5 22 14
12 4 21 10 18
Это существенно новый магический квадрат, который не строится ни методом Делаира, ни методом Москопула.
Точно так же строим по данному варианту метода латинских квадратов квадрат следующего порядка – 7-го. Для порядка 7 существуют, по крайней мере, 6 пар ортогональных диагональных латинских квадратов. Вот одна из пар ортогональных диагональных латинских квадратов 7-го порядка:
Код:
0 1 2 3 4 5 6
2 3 4 5 6 0 1
4 5 6 0 1 2 3
6 0 1 2 3 4 5
1 2 3 4 5 6 0
3 4 5 6 0 1 2
5 6 0 1 2 3 4
Код:
0 1 2 3 4 5 6
3 4 5 6 0 1 2
6 0 1 2 3 4 5
2 3 4 5 6 0 1
5 6 0 1 2 3 4
1 2 3 4 5 6 0
4 5 6 0 1 2 3
Из данной пары ортогональных латинских квадратов построен такой магический квадрат 7-го порядка:
Код:
1 9 17 25 33 41 49
18 26 34 42 43 2 10
35 36 44 3 11 19 27
45 4 12 20 28 29 37
13 21 22 30 38 46 5
23 31 39 47 6 14 15
40 48 7 8 16 24 32
Этот квадрат тоже эквивалентен квадрату, построенному методом Москопула.
Таким образом, получается, что метод Москопула (метод коня) является частным случаем метода Делаира (метода латинских квадратов).
Следует отметить, что все рассмотренные здесь пары ортогональных диагональных латинских квадратов нормализованные, то есть в первой строке квадратов стоит тождественная перестановка чисел. Понятно, что, например, для порядка 5 можно получить 120 пар ортогональных диагональных латинских квадратов для каждого из двух рассмотренных вариантов. Каждая такая пара даст новый магический квадрат. Вот один из вариантов магических квадратов:
Код:
1 13 25 7 19
17 24 8 5 11
9 20 12 21 3
15 6 4 18 22
23 2 16 14 10
Таким образом, представленное дополнение к методу Делаира даёт для квадратов 5-го порядка 120 новых магических квадратов. 120 квадратов, построенные с помощью другой пары ортогональных диагональных латинских квадратов, будут эквивалентны квадратам, построенным методом коня.
, 
перед запуском макроса. Так как число столбцов в Экселе ограничено, то максимально строится квадрат 
Пойду совершенствовать мир...
