Симметричные кортежи из последовательных простых чисел

[Yadryara]

Evgeniy101 в сообщении #1672513 писал(а):

Вам, конечно, не составит труда словами пояснить машинный алгоритм?

Так я вручную эту таблицу расписал. "Своим" способом вверху и Вашим внизу. Узнаёте последнюю строку? Это Ваша строка:

Evgeniy101 в сообщении #1672361 писал(а):

Остатки по младшему простому из кортежа ${0, 2, 6, 8, 1, 7, 9, 4, 8, 10, 3, 9}$

[Yadryara]

Evgeniy101 в сообщении #1672513 писал(а):

Вам, конечно, не составит труда словами пояснить машинный алгоритм?

Составит, но я уже словами пояснил:

Yadryara в сообщении #1667429 писал(а):

Чётные числа сразу отбрасываем. Иными словами, допустимый остаток по модулю 2 только один и равен 1-це.
Наименьшее нечётное простое — 3. Ставим его на первую позицию. Тогда следующее число 9. Остаток по модулю 3 в обоих случаях равен 0. Это недопустимый остаток. Для любого модуля. Ну не может число быть простым, если оно делится нацело на простое, кроме самого этого числа.

Берём следующее простое — 5. Остаток по модулю 3 равен 2. Остаток для числа на 2-й позиции, то есть для числа 11 по модулю 3 тоже равен 2-м. Нетрудно увидеть, что и для всех остальных чисел кортежа он будет равен 2-м.

Берём следующее простое — 7. Остаток по модулю 3 равен 1.
Снова смотрим числа на всех позициях паттерна. Тщательно расписываем остатки по самым маленьким модулям.

Evgeniy101 в сообщении #1672513 писал(а):

Последняя строка как получена в Razr?
(1-4 это остатки по модулям от кортежа), а последняя?

Так не только от кортежа. Эти остатки справедливы для любых натуральных чисел. Я сразу, в самом верху перешёл от кортежа к паттерну и дальше работал уже только с паттерном.

Если первое число имеет остаток 1 по модулю 2, то и все числа предполагаемого кортежа по этому паттерну будут иметь остаток 1.

А если первое число имеет остаток 6 по модулю 11, то все числа предполагаемого кортежа по этому паттерну будут иметь такие остатки, какие указаны в той строке, что для модуля 11. Это я считал в уме.

[Evgeniy101]

Yadryara в сообщении #1672521 писал(а):

Так я вручную эту таблицу расписал. "Своим" способом вверху и Вашим внизу. Узнаёте последнюю строку? Это Ваша строка:

Для полного понимания спрошу по строкам таблицы:

Yadryara в сообщении #1672384 писал(а):

Kortezh 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53
Pattern 0 2 6 8 12 18 20 26 30 32 36 42

12-42-1 0 2 6 8 12 18 20 26 30 32 36 42
Razr
mod 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
mod 3 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2
mod 5 1 3 2 4 3 4 1 2 1 3 2 3
mod 7 4 6 3 5 2 1 3 2 6 1 5 4
mod 11 6 8 1 3 7 2 4 10 3 5 9 4

12-42-1 0 2 6 8 12 18 20 26 30 32 36 42 Ostav
mod 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
mod 3 0 2 0 2 0 0 2 2 0 2 0 0 1
mod 5 0 2 1 3 2 3 0 1 0 2 1 2 4
mod 7 0 2 6 1 5 4 6 5 2 4 1 0 3
mod 11 0 2 6 8 1 7 9 4 8 10 3 9 5

В таблице 14 строк с числами, из них верхние 7 строк полностью понятны (причем строки 4 - 7 показывают остатки по модулям от кортежа простых, не паттерна).

Восьмая строка mod 11 (6 8 1 3 7 2 4 10 3 5 9 4) как рассчитана?
Ожидал полного совпадения с остатками, рассчитанными мной, и что по модулю 11 остатки по кортежу и паттерну совпадают. Поэтому и возник вопрос этот.

В девятой строке столбец Ostav что означает? Числа строки и всех строк ниже (отображают остатки по модулям от паттерна) без этого столбца понятны, только термин и что отображает нужны.

[Yadryara]

Ну во-первых лучше цитируйте таблицу через , а не через
Чтобы тег code не пропадал и выравнивание не портилось:

Pattern    0  2  6  8 12 18 20 26 30 32 36 42
                                                Ostav
mod  2     0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0       1 '
mod  3     0  2  0  2  0  0  2  2  0  2  0  0       1 '
mod  5     0  2  1  3  2  3  0  1  0  2  1  2       4 '
mod  7     0  2  6  1  5  4  6  5  2  4  1  0       3 '
mod 11     0  2  6  8  1  7  9  4  8 10  3  9       5 '

12-42-1    0  2  6  8 12 18 20 26 30 32 36 42
        Razr
mod  2   ' 1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1
mod  3   ' 2  1  2  1  2  2  1  1  2  1  2  2
mod  5   ' 1  3  2  4  3  4  1  2  1  3  2  3
mod  7   ' 4  6  3  5  2  1  3  2  6  1  5  4
mod 11   ' 6  8  1  3  7  2  4 10  3  5  9  4

Кортеж вообще убрал, чтобы он Вас не путал и переставил местами способы. То есть начинаем с Вашего способа. И даже с Вашей строки "mod 11". Последовательно слева направо прибавляем гэпы паттерна к нулю:

$0 + 0 \equiv 0 \mod 11$.
$0 + 2 \equiv 2 \mod 11$.
$0 + 6 \equiv 6 \mod 11$.
$0 + 8 \equiv 8 \mod 11$.
$0 + 12 \equiv 1 \mod 11$.
$0 + 18 \equiv 7 \mod 11$.
$0 + 20 \equiv 9 \mod 11$.
$0 + 26 \equiv 4 \mod 11$.
$0 + 30 \equiv 8 \mod 11$.
$0 + 32 \equiv 10 \mod 11$.
$0 + 36 \equiv 3 \mod 11$.
$0 + 42 \equiv 9 \mod 11$.

Получили ту самую Вашу строку остатков. Единственный ОСТАВшийся так и не встретившийся остаток это та самая 5-ка. Вычитаем её из модуля $11-5=6$. И получаем РАЗРешённое значение остатка равное 6 для начального числа самой последней строки, где тот же простой модуль 11.

Убеждаемся что это именно разрешённый остаток, то есть тот при котором ни одно из чисел кортежа на всех позициях не даст нулевого остатка по модулю 11. Считаем последнюю строку, последовательно слева направо прибавляя гэпы паттерна к 6-ке:

$6 + 0 \equiv 6 \mod 11$.
$6 + 2 \equiv 8 \mod 11$.
$6 + 6 \equiv 1 \mod 11$.
$6 + 8 \equiv 3 \mod 11$.
$6 + 12 \equiv 7 \mod 11$.
$6 + 18 \equiv 2 \mod 11$.
$6 + 20 \equiv 4 \mod 11$.
$6 + 26 \equiv 10 \mod 11$.
$6 + 30 \equiv 3 \mod 11$.
$6 + 32 \equiv 5 \mod 11$.
$6 + 36 \equiv 9 \mod 11$.
$6 + 42 \equiv 4 \mod 11$.

Получили строку остатков и убедились, что среди них нет ни одного нулевого.

Другие строки считаются аналогично: Переходим от Ostav к Razr ддя того же модуля, например для модуля 7: $Razr = 7 - Ostav = 7 - 3 = 4$. Снова считаем строку остатков и убеждаемся, что остаток 4 по модулю 7 для начального числа кортежа разрешён:

$4 + 0 \equiv 4 \mod 7$.
$4 + 2 \equiv 6 \mod 7$.
$4 + 6 \equiv 3 \mod 7$.
$4 + 8 \equiv 5 \mod 7$.
$4 + 12 \equiv 2 \mod 7$.
$4 + 18 \equiv 1 \mod 7$.
$4 + 20 \equiv 3 \mod 7$.
$4 + 26 \equiv 2 \mod 7$.
$4 + 30 \equiv 6 \mod 7$.
$4 + 32 \equiv 1 \mod 7$.
$4 + 36 \equiv 5 \mod 7$.
$4 + 42 \equiv 4 \mod 7$.

Получили строку остатков и убедились, что среди них нет ни одного нулевого. И так далее для всех простых модулей не превышающих длины паттерна.

[Evgeniy101]

Yadryara в сообщении #1672642 писал(а):

Ну во-первых лучше цитируйте таблицу через , а не через
Чтобы тег code не пропадал и выравнивание не портилось:

Замечание принято.

Yadryara в сообщении #1672642 писал(а):

[code]
...
Получили строку остатков и убедились, что среди них нет ни одного нулевого. И так далее для всех простых модулей не превышающих длины паттерна.

Буду разбираться.
Похоже, дойдет до меня уже, только снова вынужден отключиться на некоторое время.

Попутно еще один для меня не решенный вопрос.

До сих пор считал, что не для всех простых модулей не превышающих длины паттерна, а достаточно тех, которые равны длине паттерна или меньше ее на одно (может - пока не определился - на два) простое.
Есть догадка, что кортежы с простыми со значениями меньше длины кортежа существуют в ограниченном количестве - один, два или несколько больше.
Если это так, то нет смысла по таким простым считать.

Изложите, пожалуйста, что означают термины: гэп; Razr; Ostav

[Yadryara]

Evgeniy101 в сообщении #1672651 писал(а):

Есть догадка, что кортежы с простыми со значениями меньше длины кортежа существуют в ограниченном количестве - один, два или несколько больше.
Если это так, то нет смысла по таким простым считать.

Вы серьёзно?? То есть что по-Вашему по модулю 5 годятся любые остатки кроме нуля?? Но ведь подробно расписано же:

Pattern    0  2  6  8 12 18 20 26 30 32 36 42
                                                Ostav
mod  5     0  2  1  3  2  3  0  1  0  2  1  2       4

Разрешённый остаток $5-4=1$. И он уже расписан в таблице выше.

Ну возьмём, допустим, остаток для начального числа равный двум.
Не стану всю строку расписывать, а сразу гляну строчку выше, не забуду, что $5-2=3$ и посмотрю под каким гэпом (прибавкой к первому числу паттерна) стоит ближайшая 3-ка. Увижу её под 8-кой. Вот и возьму в качестве прибавки 8-ку:
$2 + 8 \equiv 0 \mod 5$. Приплыли. Не может быть в 4-й позиции кортежа простого числа, потому что оно будет делиться нацело на 5.

Ну возьмём, допустим, остаток для начального числа равный трём.
Не стану всю строку расписывать, а сразу гляну строчку выше, не забуду, что $5-3=2$ и посмотрю под какой прибавкой стоит ближайшая 2-ка. Увижу её под 2-кой. Вот и возьму в качестве прибавки 2-ку:
$3 + 2 \equiv 0 \mod 5$. Приплыли. Не может быть во 2-й позиции кортежа простого числа, потому что оно будет делиться нацело на 5.

Ну возьмём, допустим, остаток для начального числа равный четырём.
Не стану всю строку расписывать, а сразу гляну строчку выше, не забуду, что $5-4=1$ и посмотрю под какой прибавкой стоит ближайшая 1-ка. Увижу её под 6-кой. Вот и возьму в качестве прибавки 6-ку:
$4 + 6 \equiv 0 \mod 5$. Приплыли. Не может быть в 3-й позиции кортежа простого числа, потому что оно будет делиться нацело на 5.

Evgeniy101 в сообщении #1672651 писал(а):

Изложите, пожалуйста, что означают термины: гэп; Razr; Ostav

Всё-таки обычно гэп это несколько другое, так что заменил на прибавку к начальному числу, см. выше.

Razr — массив РАЗРешённых остатков.
Ostav — массив ОСТАВшихся, то есть не встретившихся остатков.

[Yadryara]

Evgeniy101, будем считать, что подход Вам понятен. А теперь назовите наименьшее натуральное число, которое как раз имеет именно те самые разрешённые остатки:

1 по модулю 2;
2 по модулю 3;
1 по модулю 5;
4 по модулю 7;
6 по модулю 11.

[Yadryara]

И тишина... Тогда вернусь к статистике.

Yadryara в сообщении #1672152 писал(а):

Пока не поздно, отмечу засуху по 16/16. На данный момент их ожидалось 3-4 штуки, но пока не найдено ни одной:

         G19   G20     Total

  15/15    9    28        37
  16/16    0     0         0
  17/17    1     0         1

Засуха ожидаемо прекратилась после того как 15/15 набралось 44 штуки. После чего 16/16 нападали в должном количестве. Табличка сейчас такая:

         G19   G20     Total

  15/15    9   147       156
  16/16    0    11        11
  17/17    1     0         1

Ну и отдельно в 20-й группе уже подравнялись кэфы после обнаружения в ней свыше 7.5 миллионов цепочек:

valids/len  Штук           K1         K2         K3
     0/0    2664
     1/1    27872          96      
     2/2    131749        212       2213     
     3/3    389250        338       1600       1383
     4/4    807203        482       1425       1123
     5/5    1245497       648       1344       1060
     6/6    1476662 Max   843       1301       1033
     7/7    1378931      1071       1270       1025
     8/8    1024529      1346       1257       1010
     9/9    608805       1683       1250       1005
    10/10   289836       2101       1248 Min   1002
    11/11   110108       2632       1253        996
    12/12   32781        3359       1276        982
    13/13   7492         4375       1303        980
    14/14   1256         5965       1363        956
    15/15   147          8544       1432        952
    16/16   11          13364       1564        916

По последним подсчётам для 20-й группы в среднем ожидается всего лишь одна 17/17 на 28-29 штук 16/16.

[Yadryara]

У меня сразу несколько новостей. Может и не буду их все в одном посте выкладывать. Обсчёт G20 закончил ещё вчера утром. Свыше 10,5 млн цепочек найдено.

valids/len   Штук           K1         K2         K3
     0/0     3765
     1/1     38629          97
     2/2     183658        210       2158
     3/3     542735        338       1609       1341
     4/4     1125199       482       1425       1129
     5/5     1736953       648       1343       1061
     6/6     2057670 Max   844       1303       1031
     7/7     1922419      1070       1268       1028
     8/8     1428598      1346       1257       1009
     9/9     848953       1683       1251       1005
    10/10    404269       2100       1248 Min   1002
    11/11    153147       2640       1257        993
    12/12    45615        3357       1272        988
    13/13    10442        4368       1301        977
    14/14    1751         5963       1365        953
    15/15    211          8299       1392        981 *
    16/16    14          15071       1816        766
____________________________________________________
             10504028

Флуктуацию вызвавшую изменение тенденции отметил звёздочкой.

Yadryara в сообщении #1673429 писал(а):

По последним подсчётам для 20-й группы в среднем ожидается всего лишь одна 17/17 на 28-29 штук 16/16.

А теперь оценка изменилась до одной центральной 17-ки на 26 штук 16/16.

За почти 21 час посчитал константы до C12 для 17-240-1:

C = 204267977.27052456200777283266142295380;
C1 = 28369943870.637190788534643770043972079;
C2 = 1882883655575.2751806520561345784915500;
C3 = 79503105963393.861809247903002671637974;
C4 = 2398827502988278.8370655540475223328881;
C5 = 55074965123455739.447710661923258904122;
C6 = 1000416540944375388.0187642856124195935;
C7 = 14758896545153395725.133106678751045429;
C8 = 180135207704639236660.04431081745470654;
C9 = 1843508522105389154920.2079423776847750;
C10 = 15976735452546972140644.699138258911564;
C11 = 118110008829338916615925.77414401339348;
C12 = 748718657628235865318447.22288937771585;

И посчитал матожидания для трёх периодов:

Счёт     MO штук     Доля чистых
         0 - 59#
До C6      1.740          0.1541
До C7      0.150          0.0133
До C8      0.567          0.0503
До C9      0.474          0.0420
До C10     0.492          0.0436
До C11     0.489          0.0433
До C12     0.490          0.0434

Счёт     MO штук     Доля чистых
         0 - 61#
До C6     19.814          0.1183
До C7      6.983          0.0417
До C8     10.052          0.0600
До C9      9.435          0.0563
До C10     9.540          0.0570
До C11     9.525          0.0569
До C12     9.527          0.0569

Счёт     MO штук     Доля чистых
         0 - 67#
До C6    317.619          0.1072
До C7    188.570          0.0637
До C8    216.984          0.0733
До C9    211.730          0.0715
До C10   212.555          0.0718
До C11   212.444          0.0717
До C12   212.457          0.0717

[Evgeniy101]

Yadryara в сообщении #1672918 писал(а):

Evgeniy101, будем считать, что подход Вам понятен.

Стыдно признать, но не понятен

Откуда появляются паттерны, которые так длинно надо тестировать?
Есть ли простая теория рождения и тестирования паттернов? Где ознакомиться?

Почему недостаточно протестировать по модулям младших простых не превосходящих количества элементов наименьшего кортежа?

Yadryara в сообщении #1673429 писал(а):

И тишина...

Не решался задавать такие тривиальные вопросы, хотел додумать сам - не получилось.

Возьмем небольшой кортеж из семи элементов:
${5, 7, 11, 13, 17, 23, 31}$,
младшие элементы по величине не превосходят количества их, тогда проверяем остатки по модулям этих младших простых.

Получим
$(5,0,4,6,3,2,3)$ - не полный набор по модулю $7$
и
$(0,2,1,3,2,3,1)$ - не полный набор по модулю $5$
- оба набора не полные, следовательно, кортеж допустимый.

Возьмем иной кортеж тоже с семью элементами:
${5, 7, 11, 13, 17, 19, 23}$, где те же условия.

Проверяем:
$(5,0,4,6,3,5,2)$ - не полный набор по модулю $7$
и
$(0,2,1,3,2,4,3)$ - полный набор по модулю $5$, следовательно, кортеж недопустимый.
Больше проверки не требуется.

Вот таковы мои рассуждения-сомнения.

[Dmitriy40]

Evgeniy101
Мне кажется или Вы действительно не читаете что Вам пишут и просто переповторяете своё?
Кортеж не может быть недопустимым! Он же из РЕАЛЬНЫХ простых чисел!! А они не могут быть недопустимыми! И значит и любой кортеж допустим, ВСЕГДА!
И проверять кортежи по остаткам нет никакого смысла.

А паттерны, которые и могут быть недопустимыми, удобно записывать начиная с 0 - и значит проверять их по простым до 0 что ли по Вашему?!

-- 10.02.2025, 23:39 --

Evgeniy101 в сообщении #1674095 писал(а):

Почему недостаточно протестировать по модулям младших простых не превосходящих количества элементов наименьшего кортежа?

Потому что наименьший кортеж может быть сильно больше длины паттерна, при этом достаточно протестировать лишь по простым до длины паттерна, а не до наименьшего кортежа (по всем простым большим длины паттерна количество разрешённых остатков будет больше нуля).
Например паттерн [0,6,8] достаточно протестировать лишь по простым 2 и 3, а не по простым 2...23, где и будет минимальный кортеж [23,29,31].
Как Вы собрались тестировать кортеж [23,29,31]? И зачем?
Или кортеж [113,127,131,137,139]?

[Yadryara]

Да, я тоже уже говорил:

Yadryara в сообщении #1672368 писал(а):

Evgeniy101, Вы не заметили, что мы говорим именно о допустимости паттернов (шаблонов), а не кортежей по этим паттернам?

Что такое недопустимый кортеж ??? Кортеж или есть или нет.

А вот паттерн может быть недопустим. Тут обычное дело: чтобы зарубить теорию достаточно одного-единственного контрпримера.

Чтобы зарубить паттерн достаточно отсутствия разрешённых остатков всего лишь по одному-единственному модулю:

Evgeniy101 в сообщении #1674095 писал(а):

$(0,2,1,3,2,4,3)$ - полный набор по модулю $5$, следовательно, кортеж недопустимый.
Больше проверки не требуется.

Будем считать, что у Вас вместо "кортеж" написано "паттерн". Тогда да, правильно: больше проверок не требуется. Зарубили паттерн по модулю 5.

Ещё раз.

Для того, чтобы установить недопустимость (зарубить, запретить) порой достаточно проверить паттерн лишь по одному простому модулю.

А вот для того, чтобы установить допустимость (разрешить) необходимо проверить все простые модули не превышающие длину паттерна. Чтобы убедиться что нет ни одного запрета.

[Evgeniy101]

Dmitriy40 в сообщении #1674104 писал(а):

Evgeniy101
Кортеж не может быть недопустимым! Он же из РЕАЛЬНЫХ простых чисел!! А они не могут быть недопустимыми! И значит и любой кортеж допустим, ВСЕГДА!
И проверять кортежи по остаткам нет никакого смысла.

А паттерны, которые и могут быть недопустимыми, удобно записывать начиная с 0

Читал и:

Dmitriy40 в сообщении #1672377 писал(а):

Кортеж - цепочка реальных простых чисел. Кортеж не может быть недопустим, по определению. Примеры: [5,7,11,13], [11,13,17,19], [101,103,107,109], [71,73,79,87,97].
Паттерн - список разностей между ними, не привязанная к конкретным простым числам. Может быть недопустимым. Пример: [0,2,6,8], одинаков для первых трёх кортежей выше, [0,2,8,16,26]. Пример недопустимого: [0,2,6,8,14] по модулю 5.

Признаю, дал я очередную пенку. Впредь буду пользоваться нужными терминами.

Вечером продолжу

[Yadryara]

Вот и хорошо. Чего ж путаться в трёх соснах.

Не пойми чем занимаются триста компов. Даже толком не приблизились к 17-240-1. Я сегодня начал считать 21-ю группу и сразу же нашёл ещё один такой кортеж. Настоящий, а не приближение. Говорите, они имеют самостоятельную ценность? OK, вот он: 4246610002636339828954837.

[Dmitriy40]

Evgeniy101
Совет: рассматривайте только кортежи с простыми числами в миллионы раз больше его длины. Ну или хотя бы в сотни/десятки если в уме считаете.
Потому что любые кортежи с числами до миллиарда (на самом деле многих триллионов) - уже давным давно проверены. И даже если вдруг выдумается среди них что-то ещё интересное - проверить их это минуты/часы, выдумывать дольше.
И уж совершенно не интересны кортежи в самом начале числового ряда, длиной с простые числа в него входящие. Любые мыслимые такие находятся мгновенно, просто полным перебором всех простых подряд.