Симметричные кортежи из последовательных простых чисел

[Dmitriy40]

Evgeniy101 в сообщении #1674635 писал(а):

Отсюда происходят и утверждения о том, надо или не надо тестировать паттерны на все простые не большие его длины.

Тестировать можно на любые простые, хоть до гугола, хоть дальше. Просто легко доказывается что по простым большим длины паттерна он всегда не запрещён. ВСЕГДА! И по любым (большим длины)! Ну и зачем тогда по ним тестировать если результат тестирования известен заранее? Правильно, незачем. Потому и говорят что тестировать на них не нужно. Можно, но не нужно. Потому что запрета точно не будет.

Evgeniy101 в сообщении #1674635 писал(а):

Младший кортеж не является сингулярным крошечным,

Именно им (сингулярным) он и является потому что по модулю 11 он имеет не разрешённый остаток 6, а запрещённый остаток 0 и потому больше таких кортежей (с остатком 0 по модулю 11) быть не может в принципе никогда.

-- 13.02.2025, 16:58 --

Evgeniy101 в сообщении #1674635 писал(а):

и любыми добавками из списка $(15, 21, 30, 35, 210)$.

Как-то маловат у Вас список, забыли про 14, 42, 70, 105. Потому что должны быть все возможные произведения (больше 11) чисел 2, 3, 5, 7.

-- 13.02.2025, 17:01 --

Evgeniy101
Вы правы в том что выбор модуля 2310 вызван желанием быстрее перебирать числа. А так-то конечно же можно считать по любому модулю. Вообще по любому.
А неправы в том что по модулю 2310 есть какие-то другие разрешённые остатки кроме 1271 - нет таковых, только этот один. За единственным исключением сингулярного кортежа с 11.

-- 13.02.2025, 17:03 --

Evgeniy101
Но в который раз повторю: сингулярные кортежи нас не интересуют! Потому что они все начинаются с малых чисел и найти их все можно за доли секунды.

[Yadryara]

Evgeniy101, нет проблем, лично я очень рад, что Вы хотите именно разобраться, вникнуть и совершенно не обязаны верить на слово. И критический подход здесь уместен.

Лично я готов спокойно объяснить и 5-10 раз, а вот Дмитрий похоже порой теряет терпение. Хотя согласно нику, должен объяснять все 40 раз

Опять началась путаница с терминологией. Модуль это то, что в формуле стоит справа от $\mod$.

Evgeniy101 в сообщении #1674635 писал(а):

добавка (модуль)

Нет, "добавка" это не синоним слова "модуль", "добавка" это синоним слова "остаток". А синоним слова "модуль" это, в некоторых случаях, "период".

Так что пока буду говорить только остаток и модуль, без синонимов.

Evgeniy101 в сообщении #1674395 писал(а):

Для проверки Вы можете указать близкую позицию к обнаружению нужного кортежа по модулю $1271$

Нет, это остаток равен $1271$, а модуль равен $2310$.

Evgeniy101 в сообщении #1674367 писал(а):

Для заинтересовавшего паттерна 12-42 подходят:не единственная добавка 1271, а, например, добавки 15, 21, 30, 35 или 210 тоже удовлетворяют

Это не добавки и не остатки, это модули. Вот же, Вы сами поставили эти числа справа от $\mod$:

Evgeniy101 в сообщении #1674635 писал(а):

большем количестве, находятся с начальным числом 11 и любыми добавками из списка $(15, 21, 30, 35, 210)$.

$380284918609481 \equiv 11 \mod 15$

$380284918609481 \equiv 11 \mod 21$

Так что не давайте не путаться. Неудивительно, что Вас не понимают.

Evgeniy101 в сообщении #1674635 писал(а):

В табличном $380284918609481 \equiv 1271 \mod 2310$ начальное число и добавка (модуль) стоят исключительно по причине наибыстрейшего получения отвечающих заданному паттерну кортежей.

Нет, конечно. Не наибыстрейшего. Когда я искал кортежи для Вас по программе, я искал не по модулю $2310$, а по модулю $13082761331670030$.

[Dmitriy40]

Yadryara в сообщении #1674644 писал(а):

Лично я готов спокойно объяснить и 5-10 раз, а вот Дмитрий похоже порой теряет терпение. Хотя согласно нику, должен объяснять все 40 раз

Не лучше ли этим заняться в отдельной теме? К симметричным кортежам это имеет довольно малое отношение (имеет отношение к любым кортежам и паттернам, основы же, для них есть ПРР(М)).
А про недостаток терпения Вы правы.

Yadryara в сообщении #1674644 писал(а):

Нет, конечно. Не наибыстрейшего.

Наибыстрейшего по любым модулям не больше 2310. В этом он прав.
Вы же правы что с увеличением модуля скорость обычно растёт (хотя есть и контрпримеры). И ещё не забывайте что не только праймориалы допустимы в качестве модулей, а вообще любое натуральное число. Праймориалы просто удобнее (сразу по нескольким причинам), не более того. Но чтобы не путаться в основах проще говорить только о простых и праймориалах, это да.

[Yadryara]

Dmitriy40 в сообщении #1674645 писал(а):

Не лучше ли этим заняться в отдельной теме?

Уже обсуждали. Я не за и не против.

Dmitriy40 в сообщении #1674645 писал(а):

Наибыстрейшего по любым модулям не больше 2310. В этом он прав.

Evgeniy101 ни слова об этом ограничении модуля сверху не говорил.

Dmitriy40 в сообщении #1674645 писал(а):

И ещё не забывайте что не только праймориалы допустимы в качестве модулей, а вообще любое натуральное число.

Я и не забывал.

Evgeniy101, если сингулярный крошечный кортеж не рассматривать, Вы согласны что остаток $1271$ по модулю $2310$ единственный возможный для начального числа всех остальных кортежей?

Просто ранее Вы не ответили на этот важный вопрос, а зачем-то перешли к другим модулям, да ещё и назвали их добавками.

[Dmitriy40]

Подтверждаю минимальность двух КПППЧ минимальных диаметров:
824871967574850703732309: [0, 4, 10, 12, 18, 22, 28, 30, 40, 42, 52, 54, 60, 64, 70, 72, 78, 82], n=18 - найдена Врублёвским
824871967574850703732303: [0, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 34, 36, 46, 48, 58, 60, 66, 70, 76, 78, 84, 88, 94], n=20 - получена Макаровой из предыдущей

[Dmitriy40]

Dmitriy40 в сообщении #1178519 писал(а):

После длительных поисков нашлась минимальная КПППЧ16 диаметром 116 (минимальный) из близнецов:
n=16, 2119293064326658975367: 0 2 30 32 42 44 54 56 60 62 72 74 84 86 114 116

А вот первая и единственная известная STPT18, да ещё и с минимальным диаметром, нашлась буквально за несколько дней (вот что новая программа с КТО делает):
285904951175611837949819: [0, 2, 18, 20, 30, 32, 42, 44, 60, 62, 78, 80, 90, 92, 102, 104, 120, 122], n=18
Она же и минимальная с таким диаметром.

С меньшей длиной были найдены давно здесь и здесь.

[Yadryara]

Evgeniy101, вот важный вопрос, который я задал Вам 10 дней назад, когда подробно расписал как считаются все разрешённые остатки по всем простым модулям для паттерна 12-42-1, причём стартуя с Вашего же метода:

Yadryara в сообщении #1672918 писал(а):

будем считать, что подход Вам понятен. А теперь назовите наименьшее натуральное число, которое как раз имеет именно те самые разрешённые остатки:

1 по модулю 2;
2 по модулю 3;
1 по модулю 5;
4 по модулю 7;
6 по модулю 11.

Ответа пока нет. Вполне можно ведь было и без компа найти, даже вручную, перебором.

Быстрее перебирать от бо́льших модулей к меньшим.

Какие числа имеют остаток $6$ по модулю $11$ ? $6, 17, 28, 39, 50, ...$ Шаг у этого списка равен модулю — $11$. Идём по этому списку и смотрим теперь уже на остатки по модулю $7$:

6 имеет остаток 6 по модулю 7, не годится;
17 имеет остаток 3 по модулю 7, не годится;
28 имеет остаток 0 по модулю 7, не годится;
39 имеет остаток 4 по модулю 7, ОК;
50 имеет остаток 1 по модулю 7, не годится;
61 имеет остаток 5 по модулю 7, не годится;
72 имеет остаток 2 по модулю 7, не годится;
83 имеет остаток 6 по модулю 7, не годится;
94 имеет остаток 3 по модулю 7, не годится;
105 имеет остаток 0 по модулю 7, не годится;
116 имеет остаток 4 по модулю 7, ОК;
...

Видим, что имеется периодичность подходящих чисел с шагом $116-39 = 77 = 11\cdot7$. Составляем новый список пока подходящих чисел: $39, 116, 193, 270, ...$ Идём по этому списку и смотрим теперь уже на остатки по модулю 5:

39 имеет остаток 4 по модулю 5, не годится;
116 имеет остаток 1 по модулю 5, ОК;
193 имеет остаток 3 по модулю 5, не годится;
270 имеет остаток 0 по модулю 5, не годится;
347 имеет остаток 2 по модулю 5, не годится;
424 имеет остаток 4 по модулю 5, не годится;
501 имеет остаток 1 по модулю 5, ОК;
578 имеет остаток 3 по модулю 5, не годится;
655 имеет остаток 0 по модулю 5, не годится;

Видим, что имеется периодичность подходящих чисел с шагом $501-116 = 385 = 11\cdot7\cdot5$. Составляем новый список пока подходящих чисел: $116, 501, 886, ...$ Идём по этому списку и смотрим теперь уже на остатки по модулю 3:

116 имеет остаток 2 по модулю 3, ОК;
501 имеет остаток 0 по модулю 3, не годится;
886 имеет остаток 1 по модулю 3, не годится;
1271 имеет остаток 2 по модулю 3, ОК;
1656 имеет остаток 0 по модулю 3, не годится;
2041 имеет остаток 1 по модулю 3, не годится;

Видим, что имеется периодичность подходящих чисел с шагом $1271-116 = 1155 = 11\cdot7\cdot5\cdot3$. Составляем новый список пока подходящих чисел: $116, 1271, 2426, ...$ Идём по этому списку и смотрим теперь уже на остатки по модулю 2:

116 имеет остаток 0 по модулю 2, не годится;
1271 имеет остаток 1 по модулю 2, ОК;
2426 имеет остаток 0 по модулю 2, не годится;
3581 имеет остаток 1 по модулю 2, ОК;

Видим, что имеется периодичность подходящих чисел с шагом

$3581-1271 = 2310 = 11\cdot7\cdot5\cdot3\cdot2 = 11\#$.

Составляем окончательный список чисел подходящих по всем остаткам по всем модулям:

$ 1271, 3581, 5891, ...$

И все эти числа имеют остаток 1271 по модулю 2310.

Вопросы?

[Evgeniy101]

Dmitriy40 в сообщении #1674639 писал(а):

Evgeniy101 в сообщении #1674635 писал(а):

Отсюда происходят и утверждения о том, надо или не надо тестировать паттерны на все простые не большие его длины.

Тестировать можно на любые простые, хоть до гугола, хоть дальше. Просто легко доказывается что по простым большим длины паттерна он всегда не запрещён. ВСЕГДА! И по любым (большим длины)! Ну и зачем тогда по ним тестировать если результат тестирования известен заранее? Правильно, незачем. Потому и говорят что тестировать на них не нужно. Можно, но не нужно. Потому что запрета точно не будет.

Вы обладаете знаниями, которые я хотел тоже заиметь, только на слово не способен верить - нужны теоретические основания.
Вполне понимаю, что Вы правы, вполне понимаю, что я не имею оснований пользоваться Вашими утверждениями без уяснения основ почему надо так, а не иначе.

Когда надоем своими тривиальными вопросами, просто исчезну из темы.

Теперь по сообщению.
Я не давал оснований полагать, что надо тестировать паттерны на числа простые больше длины паттерна (может снова неправильно выражаюсь: длина паттерна - это количество элементов в нем, тогда все числа по модулю большие длины не нужны для тестирования). Я всегда так говорил.
Еще говорил, что и не все простые не большие длины паттерна для тестирования нужны - вот это пока из меня не вышиблено, но с моим подходом к отысканию подходящих кортежей. В подходе эксплуатируемом в теме не спорю.

Dmitriy40 в сообщении #1674639 писал(а):

Evgeniy101 в сообщении #1674635 писал(а):

Младший кортеж не является сингулярным крошечным,

Именно им (сингулярным) он и является потому что по модулю 11 он имеет не разрешённый остаток 6, а запрещённый остаток 0 и потому больше таких кортежей (с остатком 0 по модулю 11) быть не может в принципе никогда.

Это совершенно не понятно утверждение (хоть по каким-то критериям и относите его к сингулярным).

Тут надо пояснить мое понимание кортежа простых чисел по выбранному шаблону - это перечень простых чисел отстоящих друг от друга на расстояниях указанных в паттерне.
Если это так, то что в малом (рассмотреном начиная с 11), что в больших эти расстояния одинаковые.
Тогда чем не подходит (сейчас не интересуют модули, добавки и др.) малый кортеж к сообществу определенному паттерном?

Dmitriy40 в сообщении #1674639 писал(а):

Evgeniy101 в сообщении #1674635 писал(а):

и любыми добавками из списка $(15, 21, 30, 35, 210)$.

Как-то маловат у Вас список, забыли про 14, 42, 70, 105. Потому что должны быть все возможные произведения (больше 11) чисел 2, 3, 5, 7.

Вы правы и тут - при движении по списку простых чисел с шагами равными произведениям любым чисел 2,3,5,7 (больше 11) математически отыскиваются все кортежи с заданным паттерном.
Почему, кроме ускорения поиска, надо находить и выбирать модули максимально возможные?

Время закончилось

[Dmitriy40]

Evgeniy101 в сообщении #1674744 писал(а):

Еще говорил, что и не все простые не большие длины паттерна для тестирования нужны

По моему нужны все - по любому из них паттерн может оказаться запрещённым. Я такие примеры уже приводил выше.
Да, некоторые простые модули можно исключить сразу, не проверяя, например 2 - паттерны изначально строятся так (только чётные числа в паттерне) чтобы по этому модулю они обязательно не были запрещены и потому по нему их можно не проверять. Для симметричных паттернов можно не проверять модули 2 и 3 - паттерны сразу так строятся. Сингулярные исключения игнорируем.
Можно наверное строить паттерны сразу гарантированно допустимые и по модулям 2, 3, 5, 7, и так далее - но это сильно сложнее (за некоторыми интересными исключениями) и проще заставить комп их проверять.

Evgeniy101 в сообщении #1674744 писал(а):

Тогда чем не подходит (сейчас не интересуют модули, добавки и др.) малый кортеж к сообществу определенному паттерном?

Ровно вот этим:

Dmitriy40 в сообщении #1674639 писал(а):

потому что по модулю 11 он имеет не разрешённый остаток 6, а запрещённый остаток 0 и потому больше таких кортежей (с остатком 0 по модулю 11) быть не может в принципе никогда.

Больше кортежей с таким остатком по модулю 11 не будет. Этим и не подходит, что он ровно один всего (т.е. сингулярный).
И при поиске кортежей можно смело не проверять кортежи с таким остатком по модулю 11, среди них подходящих больше не будет.

Evgeniy101 в сообщении #1674744 писал(а):

Почему, кроме ускорения поиска, надо находить и выбирать модули максимально возможные?

Ни почему, не надо. Полезно именно для ускорения вычислений. Если эту причину исключить, то можно брать совершенно любой модуль.

[Yadryara]

Evgeniy101 в сообщении #1674744 писал(а):

Это совершенно не понятно утверждение (хоть по каким-то критериям и относите его к сингулярным).

Ну что тут непонятного-то. Все простые числа нечётные. Так? Нет, лишь чуть-чуть не так: приходится делать оговорку, что все кроме 2-ки, которая как раз крошечная сингулярная.

Если мы ищем огромные простые числа, мы будем искать их только среди нечётных, не интересна нам крошечная сингулярная 2-ка.

То же и с кортежем, который начинается с 11. Мы будем искать другие кортежи среди огромных чисел только с остатком 6 по модулю 11, а не с остатком 0 по модулю 11, не интересен нам крошечный сингулярный кортеж.

Evgeniy101 в сообщении #1674744 писал(а):

Еще говорил, что и не все простые не большие длины паттерна для тестирования нужны - вот это пока из меня не вышиблено, но с моим подходом к отысканию подходящих кортежей.

Если хотите найти именно допустимый паттерн — нужны все. Я выше специально подробно расписал остатки по модулям 11, 7, 5, 3, 2 — после каждого цикла проверок итоговый модуль увеличивался пока не достиг $11\cdot 7\cdot 5\cdot 3\cdot 2 = 2310$.

Пока что Вы не привели контрпримера. Годится лишь один остаток по модулю $2310$. Возьмёте любой другой остаток не равный $1271$ — легко будет показать, что найти такой кортеж не удастся. (Крошечный сингулярный не считаем.)

Evgeniy101 в сообщении #1674744 писал(а):

Почему, кроме ускорения поиска, надо находить и выбирать модули максимально возможные?

Пока других причин не видно. Считайте что только для ускорения. Но это важнейшая причина. Посмотрите в новом проекте в течение полутора месяцев считали три с половиной сотни компов. В том диапазоне где они ищут, имеется около 5 тысяч кортежей 17-240-1 (центральных 17-к). Почему же они так и не нашли ни одного?

Почему другие люди, с гораздо меньшим количеством компов, нашли уже 13 штук?

[Yadryara]

И опять тишина...

Кстати, уже пришла пора показать не только внутренние но и внешние сравнения. Между группами. По которым как раз и можно понять, а какой вообще толк от разбиения на группы.

Пока 3.5 месяца считал 19-252, я далеко не сразу догадался что надо попутно собирать гораздо больше статистики по чистым цепочкам, и собирал её примерно последние 35 дней. И вот внешние сравнения по 5 группам 2-х периодов:

19-252

                 Посчитано      Найдено        Цепочек       Соотношение
                  в группе      цепочек        на юнит             между
                                 тысячи                         группами
2-й период 67# G25     1 %          326         340.48
2-й период 67# G26     7 %         1253         313.47            1.0862
2-й период 67# G27     7 %          767         274.27            1.1429

3-й период 67# G21   100 %          575         508.32
3-й период 67# G22    79 %         1986         462.09            1.1000

Как видим, нет ни одного соотношения между полностью посчитанными группами.

А чего ж ты не досчитал G22, оставалась пятая часть всего лишь, спросите вы. Потому что именно тогда, 6 января пришло долгожданное известие о находке 19-252. Так что я предпочёл полностью досчитать текущий файл, спуститься во второй период и помочь досчитать его, чтобы таким способом установить минимальность. Мы управились уже 24-го января.

Мне оставалось меньше 3-х дней счёта. В принципе могу досчитать и сейчас. Если решу, что это важно.

Ну а вот он новый счёт, паттерн 17-240-1, диапазон $0-67\#$. На компе у меня всего-то 12 потоков, так что полный обсчёт этого диапазона занял бы 17 лет.

17-240-1

                 Посчитано      Найдено        Цепочек       Соотношение
                  в группе      цепочек        на юнит             между
                                 тысячи                         группами
1-й период 67# G19   100 %          490          11152
1-й период 67# G20   100 %        10504          10139            1.1000
1-й период 67# G21     6 %         4695           9013            1.1250

Занятно, что и в той и в другой таблице есть значение 1.1000. Причём оно получено именно для самых полно обсчитанных групп.

Внешние соотношения между отдельными цепочками тоже конечно считал. И, предположительно, они полностью (с поправкой на флуктуации) равны среднему соотношению между группами. То есть, по-простому говоря, если я беру кандидата из группы G20, то вероятность, что это и есть центральная 17-ка в 1.1 раза меньше, чем если взять кандидата из группы G19.

Полный обсчёт G21 затянется на 80 дней и я конечно не планирую его заканчивать. Видимо, 14-15% посчитаю и хорош. Примерно до 11 миллионов цепочек буду считать, чтоб превысить рекорд.

Возможно, попрошу Дмитрия сделать прогу для центральной 15-ки, 15-228-2. Чтобы более полный обсчёт сделать для всех групп.

Кстати, один такой кортеж, центральную 15-ку я у себя видел: 448237194675357013716883. Они довольно редкие, их вроде бы известно менее 10 штук. Может их и больше у меня найдено из 300+ цепочек 15/15, пока не смотрел.

[Yadryara]

Пишу для всех, кто порой не въезжает даже в простые, вроде бы, вещи. В первую очередь для Демиса.

Допустим, у нас стоит задача найти 10 штук симметричных кортежей из последовательных простых чисел по паттерну 3-12, то есть [0, 6, 12].

А чего мудрить. Давайте посмотрим глазками на ряд последовательных простых чисел, небось увидим там какие надо.

Ну да, вот один есть уже в первой сотне:

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 ...

Как будем дальнейшие искать? Дальше уже 3-значные числа, уже утомительнее. Не утомимся глазками проверять? Может лучше как-то автоматизировать? А как, например?

[DemISdx]

Вы о том, что значения 47 53 59 имеют разностность = 6 ?
Ну как это автоматизировать - я ни бум-бум...
И что? Мне это как-то не особо мешает жить.

Хотя понятно, что можно просто проверять пул значений и высчитывать, проверять этот момент.
Но вряд ли это будет эффективный метод, с точки зрения быстродействия подобного поиска.
Т.о. нужно применять некий алгоритмический подход. Которых не знаю, но и не особо расстраиваюсь...

[Yadryara]

DemISdx в сообщении #1675047 писал(а):

И что? Мне это как-то не особо мешает жить.

В нынешней теме речь обычно не идёт о помехах для жизни.

Разбираемся потихоньку как работает поиск.

DemISdx в сообщении #1675047 писал(а):

Вы о том, что значения 47 53 59 имеют разностность = 6 ?

Конечно. В полном соответствии с паттерном.

Разрешённые остатки по модулям 2 и 3 мы знаем, так? Посмотрим по модулю 5?

[Dmitriy40]

Yadryara в сообщении #1675057 писал(а):

Разрешённые остатки по модулям 2 и 3 мы знаем, так? Посмотрим по модулю 5?

По 3 тоже не знаем, тоже смотрите/объясняйте. По 2 знаем - только нечётные (остаток 1 по модулю 2). Но в терминах "разрешённых остатков" - тоже надо показывать как получить что только 1.