Симметричные кортежи из последовательных простых чисел

[Yadryara]

Yadryara в сообщении #1671940 писал(а):

Зато мне повезло, в первый же день уже нашёл ключевую 17-ку.

Пока не поздно, отмечу засуху по 16/16. На данный момент их ожидалось 3-4 штуки, но пока не найдено ни одной:

         G19   G20     Total

  15/15    9    28        37
  16/16    0     0         0
  17/17    1     0         1

Группа G19 была полностью обсчитана за 11 часов, а G20 мне считать 11 дней.

[Evgeniy101]

Dmitriy40 в сообщении #1671264 писал(а):

PS. Yadryara, простите что так прямо в лоб определения и разъяснения, но читать ещё 20 страниц вопросов и ответов на базовые моменты

Благодарю вас двоих за терпеливые пояснения!

Дошла теперь первая часть в проводимой вами работе, а именно, алгоритм проверки кортежей на допустимость.

Допустимый кортеж должен НЕ иметь полный набор с шагом $1$ остатков по модулю младшего простого из кортежа, т.к. иначе при любой добавке (модулю, периоду) к элементам кортежа, которая (добавка) сама имеет некоторый остаток по младшему модулю, сама и поимеет сумму своего остатка с набором - число обязательно делящееся на модуль младшего простого с нулевым остатком.
Нулевой остаток в каждом новом наборе $(p1,p2,...pn)+a$, где $a$ - добавка вычеркивает этот новый получаемый набор чисел из кортежа простых чисел, т.е. такой кортеж не может быть допустимым для многократного повторения по своему шаблону, а может быть в единственном экземпляре. Исключений пока не знаю.

Так длинно изложил, чтобы показать левую и правую щеки для бития, если надо.

Тот пример с которым упражнялся:

$Mod[({11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53})$,$11$]

Остатки по младшему простому из кортежа ${0, 2, 6, 8, 1, 7, 9, 4, 8, 10, 3, 9}$
Тут отсутствует один из необходимого набора для недопустимого кортежа остаток $5$, следовательно кортеж допустимый.

[Yadryara]

Evgeniy101, Вы не заметили, что мы говорим именно о допустимости паттернов (шаблонов), а не кортежей по этим паттернам?

Вижу, Вы снова взяли тот самый паттерн 12-42, для которого мы искали кортежи.

Да, он допустимый, это давным-давно установлено. Допустимый паттерн — это такой паттерн, по которому, как ожидается, можно найти неограниченно много кортежей.

Evgeniy101 в сообщении #1672361 писал(а):

Остатки по младшему простому из кортежа ${0, 2, 6, 8, 1, 7, 9, 4, 8, 10, 3, 9}$
Тут отсутствует один из необходимого набора для недопустимого кортежа остаток $5$, следовательно кортеж допустимый.

То есть остатки по простым модулям меньшим чем 11, то есть по 2, 3, 5, 7 даже проверять по-Вашему не надо?? Интересно.

[Yadryara]

Evgeniy101 в сообщении #1672361 писал(а):

Тут отсутствует один из необходимого набора для недопустимого кортежа остаток $5$, следовательно кортеж допустимый.

Дмитрий, Вы понимаете о чём тут речь идёт?

Evgeniy101, приведите числовые примеры, пожалуйста. При чём здесь остаток 5?

[Dmitriy40]

Yadryara в сообщении #1672374 писал(а):

Дмитрий, Вы понимаете о чём тут речь идёт?

Конкретно тут - да: из всех возможных остатков 0...10 по модулю 11 остаток 5 не присутствует в списке и значит паттерн (указанный в виде кортежа) допустим.
Другое дело что вычисление запрещённых (и соответственно разрешённых) остатков тут неверное, но вот их количество - верное (почему - вопрос отдельный), так что в рамках разговора лишь об количествах всё норм.
Про соответствие модуля и наименьшего простого в кортеже мне по прежнему непонятно. И похоже связь есть, но не полная - проверять очевидно надо не по одному модулю, а по нескольким (вплоть до длины паттерна). К сожалению не получается быстро подобрать контрпримеров чтобы продемонстрировать недостаточность условий.

Evgeniy101
Давайте договоримся об определениях.
Кортеж - цепочка реальных простых чисел. Кортеж не может быть недопустим, по определению. Примеры: [5,7,11,13], [11,13,17,19], [101,103,107,109], [71,73,79,87,97].
Паттерн - список разностей между ними, не привязанная к конкретным простым числам. Может быть недопустимым. Пример: [0,2,6,8], одинаков для первых трёх кортежей выше, [0,2,8,16,26]. Пример недопустимого: [0,2,6,8,14] по модулю 5.
Вы их смешиваете/путаете и это мешает понять что Вы хотите сказать.

-- 02.02.2025, 00:03 --

Dmitriy40 в сообщении #1672377 писал(а):

Пример недопустимого: [0,2,6,8,14] по модулю 5.

Несмотря на то что паттерн недопустим, кортеж с таким паттерном существует: [5,7,11,13,19]. Да, простые числа не последовательные, однако они действительно все простые.
Чуть лучше пример недопустимого паттерна с существующим кортежем: [0,2,6,8,12,14] по тому же модулю 5 и кортеж [5,7,11,13,17,19].
Однако такие кортежи не интересны - в них обязательно входит простое число не большее длины паттерна (кортежа). И такие кортежи единственны и неповторимы (потому и не интересны). Кое-где их называют сингулярными кортежами/паттернами (потому что они в единственном экземпляре).

[Yadryara]

Перепроверил. Вычислил разрешённые остатки и так и сяк. Единственный разрешённый остаток по модулю 11 — 6. И его можно получить из той самой пятёрки, о которой сказал Evgeniy101. Просто эта 5-ка дополняет разрешённый остаток до модуля. То же справедливо и для других остатков. Формула:

Razr[mod,i] = mod - Ostav[mod,i]

Kortezh   11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53
Pattern    0  2  6  8 12 18 20 26 30 32 36 42

12-42-1    0  2  6  8 12 18 20 26 30 32 36 42
        Razr
mod  2     1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1
mod  3     2  1  2  1  2  2  1  1  2  1  2  2
mod  5     1  3  2  4  3  4  1  2  1  3  2  3     
mod  7     4  6  3  5  2  1  3  2  6  1  5  4       
mod 11     6  8  1  3  7  2  4 10  3  5  9  4       

12-42-1    0  2  6  8 12 18 20 26 30 32 36 42   Ostav
mod  2     0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0       1
mod  3     0  2  0  2  0  0  2  2  0  2  0  0       1
mod  5     0  2  1  3  2  3  0  1  0  2  1  2       4
mod  7     0  2  6  1  5  4  6  5  2  4  1  0       3
mod 11     0  2  6  8  1  7  9  4  8 10  3  9       5

Почему Evgeniy101 не стал считать другие модули — пока непонятно.

[Yadryara]

Dmitriy40 в сообщении #1672377 писал(а):

Другое дело что вычисление запрещённых (и соответственно разрешённых) остатков тут неверное, но вот их количество - верное (почему - вопрос отдельный),

Верное вычисление у Evgeniy101. Просто он вычисляет не сами запрещённые остатки, а их дополнения до модуля 11.

Вот в программе в этом посте используется Ваш приём: Set(-v%p).

Берём эти числа

Evgeniy101 в сообщении #1672361 писал(а):

${0, 2, 6, 8, 1, 7, 9, 4, 8, 10, 3, 9}$

записываем в вектор и даём эту самую команду в PARI уже с указанием конкретного модуля:

gp > v=[0, 2, 6, 8, 1, 7, 9, 4, 8, 10, 3, 9]; Set(-v%11)
%1 = [0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10]

И это уже в точности список запрещённых остатков для первого числа кортежа. Единственный разрешённый остаток — 6.

[Dmitriy40]

Yadryara в сообщении #1672385 писал(а):

Верное вычисление у Evgeniy101. Просто он вычисляет не сами запрещённые остатки, а их дополнения до модуля 11.

Вот поэтому я и сказал что неверно. А Вы показали как сделать верным.

-- 02.02.2025, 15:11 --

Yadryara в сообщении #1672384 писал(а):

Формула:
Razr[mod,i] = mod - Ostav[mod,i]

Это кстати тоже неверно: она даёт mod при Ostav[mod,i]=0, а должна давать 0 при этом.
Соответственно выражение "дополнение до 11" тоже даёт 11 если было 0, а должно 0 превращать снова в 0. Сравните:

? v=[0, 2, 6, 8, 1, 7, 9, 4, 8, 10, 3, 9]; Set(-v%11)
%1 = [0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10]
? v=[0, 2, 6, 8, 1, 7, 9, 4, 8, 10, 3, 9]; Set(vector(#v,i,11)-v%11)
%2 = [1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11]

Выражение же -v даёт правильный результат потому что -0=0, как и должно быть. Вот такой финт.

[Yadryara]

Dmitriy40 в сообщении #1672406 писал(а):

Это кстати тоже неверно: она даёт mod при Ostav[mod,i]=0, а должна давать 0 при этом.
Соответственно выражение "дополнение до 11" тоже даёт 11 если было 0,

Лично я говорил именно об остатках, а нет такого остатка mod и нет такого остатка 11 по модулю 11. Так что везде я имел в виду именно что 0 даёт ноль в результате.

Я пытался считать 17-240-1 по HL1 и обнаружил, что констант до C6 явно недостаточно. Для C8 у меня получилось не 213, а 217 кортежей до 67#:

10^20: 0.084      0.047607
10^21: 0.366      0.049221
10^22: 1.760      0.053611
10^23: 8.966      0.059565
10^24: 47.524     0.066494
  67#: 216.984    0.073258
10^25: 259.486    0.074076

Стартовал по расчёту с $10^7$.

C   = 204267977.27052456200777283266142295380;
C1  = 28369943870.637190788534643770043972079;
C2  = 1882883655575.2751806520561345784915500;
C3  = 79503105963393.861809247903002671637974;
C4  = 2398827502988278.8370655540475223328881;
C5  = 55074965123455739.447710661923258904122;
C6  = 1000416540944375388.0187642856124195935;
C7  = 14758896545153395725.133106678751045429;
C8  = 180135207704639236660.04431081745470654;

Так Вы получается больше констант посчитали? Ещё и C9? Но вроде не показывали.

[Dmitriy40]

Yadryara в сообщении #1672418 писал(а):

Так Вы получается больше констант посчитали? Ещё и C9? Но вроде не показывали.

Все 10: C =204267977.27052456200777283266142295380; vC=[28369943870.637190788534643770043972081, 1882883655575.2751806520561345784915527, 79503105963393.861809247903002671639737, 2398827502988278.8370655540475223333614, 55074965123455739.447710661923258974378, 1000416540944375388.0187642856124257079, 14758896545153395725.133106678751045429, 180135207704639236660.04431081745470654, 1843508522105389154920.2079423776847750, 15976735452546972140644.699138258911564];
Когда посчитал и почему не показал уже не помню, извините, у меня их (паттернов и разного количества констант для каждого) полтора десятка разных в одном файле.
Интеграл беру обычно с 1e9, лень каждый раз проверять где там у него минимум. Но разница в штуках (от 1e9 vs 1e7) должна быть несущественной (менее тысячной доли штуки).

[Yadryara]

Спасибо.

Dmitriy40 в сообщении #1672440 писал(а):

Но разница в штуках (от 1e9 vs 1e7) должна быть несущественной (менее тысячной доли штуки).

Может забыли. Разница для интересующего диапазона 0-67# составляет 23 штуки:

Счёт       MO штук     Доля чистых

До C6  :   317.619        0.107234
До C7  :   188.570        0.063665
До C8  :   216.984        0.073258
До C9  :   211.730        0.071484
До C10 :   212.555        0.071763

[Dmitriy40]

Yadryara в сообщении #1672450 писал(а):

Может забыли. Разница для интересующего диапазона 0-67# составляет 23 штуки:

Я говорил о нижней границе интеграла, или 1e9 или 1e7, от её изменения разница ничтожна:

1e7...67#: 212.5548124160251606460152618 +- 14.57925966625278128066734509 *n
1e9...67#: 212.5546093466135382927766346 +- 14.57925270192589597850379351 *n

Потому что у Вас 1e7, а у меня обычно 1e9, но значимо влиять это не должно.

[Evgeniy101]

Yadryara в сообщении #1672368 писал(а):

Evgeniy101, Вы не заметили, что мы говорим именно о допустимости паттернов (шаблонов), а не кортежей по этим паттернам?

Вижу, Вы снова взяли тот самый паттерн 12-42, для которого мы искали кортежи.

Пока мне удобнее оперировать кортежами с переходом иногда к паттернам - с кортежей начинал, а в паттернах не ясен алгоритм расчета допустимых.

Тот самый взял для примера, т.к. на нем я заполучил ошибку и не только ошибку, но и способ понять алгоритм расчета недопустимых кортежей могущих повторяться многократно (в предположении - бесконечно много).
Со временем перейду на паттерны, когда усвою алгоритм расчета допустимых из них.

Yadryara в сообщении #1672368 писал(а):

То есть остатки по простым модулям меньшим чем 11, то есть по 2, 3, 5, 7 даже проверять по-Вашему не надо?? Интересно.

Полагаю не надо проверять по простым модулям меньше меньшего члена кортежа, т.к. рассматриваем в кортеже простые числа, а они не дают нулевой остаток по любому модулю, кроме себя. Следовательно, по этим модулям не будут получены всевозможные различные остатки, что всегда пропускает исследуемый кортеж в допустимые.

Yadryara в сообщении #1672374 писал(а):

Evgeniy101, приведите числовые примеры, пожалуйста. При чём здесь остаток 5?

Остаток 5 тут не имеет значения, как конкретное число. Просто получены не всевозможные различные остатки, а с одной прорехой на месте пятерки. Тогда критерий недопустимости не работает, следовательно, кортеж допустимый.

Dmitriy40 в сообщении #1672377 писал(а):

Другое дело что вычисление запрещённых (и соответственно разрешённых) остатков тут неверное, но вот их количество - верное (почему - вопрос отдельный), так что в рамках разговора лишь об количествах всё норм.

Хотелось бы изучить вычисление запрещенных остатков верным способом. Это пока главное препятствие у меня для перехода на паттерны.

Dmitriy40 в сообщении #1672377 писал(а):

Evgeniy101
Давайте договоримся об определениях.

Да. пока чехарда с моими терминами есть. И привязка допустимости к паттернам логична.
Поясните, пожалуйста, как рассчитывать допустимость-недопустимость по паттернам, каков алгоритм?

[Yadryara]

Evgeniy101 в сообщении #1672492 писал(а):

Остаток 5 тут не имеет значения, как конкретное число.

А Вы не заметили, что пока Вы молчали, мы уже разобрались с Вашим методом и даже успели тонкости перехода 0 в 0 обсудить.

Evgeniy101 в сообщении #1672492 писал(а):

Поясните, пожалуйста, как рассчитывать допустимость-недопустимость по паттернам, каков алгоритм?

Ну так я же уже даже таблицу подробную нарисовал. Видите столбец Razr ? Вот в нём и содержатся все допустимые остатки для начального числа кортежа.

[Evgeniy101]

Yadryara в сообщении #1672503 писал(а):

Ну так я же уже даже таблицу подробную нарисовал. Видите столбец Razr ? Вот в нём и содержатся все допустимые остатки для начального числа кортежа.

Вам, конечно, не составит труда словами пояснить машинный алгоритм?

Дело в том, что я знаком только с Wolfram Mathematica на любительском уровне, на этом языке я и экспериментирую, могу понять простые программы.
Словесный алгоритм могу перевести в код этого языка.

-- 02.02.2025, 19:49 --

Yadryara в сообщении #1672384 писал(а):

Kortezh 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53
Pattern 0 2 6 8 12 18 20 26 30 32 36 42

12-42-1 0 2 6 8 12 18 20 26 30 32 36 42
Razr
mod 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
mod 3 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2
mod 5 1 3 2 4 3 4 1 2 1 3 2 3
mod 7 4 6 3 5 2 1 3 2 6 1 5 4
mod 11 6 8 1 3 7 2 4 10 3 5 9 4

Последняя строка как получена в Razr?
(1-4 это остатки по модулям от кортежа), а последняя?