Что Вас потрясло в математике?

[Утундрий]

$$\lfloor \pi \rfloor=\lceil e \rceil$$

Как тебе такое, Рамануджан?!

P. S. Потрясающе ведь, правда?

[svv]

Только что потрясло

[LexiBender]

svv в сообщении #1636420 писал(а):

Только что потрясло

Если посмотреть на геометрическую интерпретацию, то вся магия исчезает, и становится понятным, как таких конструкций разных можно сделать

ссылка на видео: https://www.youtube.com/watch?v=851U557j6HE

[SomePupil]

Введем отношение на парах карт $A$ и $B$ для игры в покер (техасский холдем): $A > B,$ если при усреднении по ${52-4} \choose {4}$ оставшимся картам, пара $A$ имеет более 50% вероятности выигрыша. Тогда существуют конфигурации распределений карт в покер (техасский холдем) из 5 игроков, при котором ни одна рука не лучше другой относительно заданного отношения, но при сдаче карт одним из игроков, остальные 4 игрока выстраиваются в линейном порядке относительно заданного отношения. Другими словами, ограничение отношения на подмножестве из любых 4 игроков транзитивно. Это как при выпадении камня, ножницы и бумаги: если одного из трех игроков в этот момент убрать, то один из них победит.

Факт приведен в работе Bartholdi L., Mikhailov R. The Topology of Poker //arXiv preprint arXiv:2305.02023. – 2023 и доказан топологическими методами! Для этого вводится симплициальный комплекс, который буквально состоит из таких конфигураций, что ограничение на них исходного отношения транзитивно. Сам факт соответствует утверждению, что этот симплициальный комплекс содержит $S^4$, а следовательно, как утверждают авторы, вычислить его высшие гомотопии (даже гомологии!) доступными на данный момент средствами невозможно. Таким образом, игре соответствует содержательный топологический инвариант.

[Anton_Peplov]

Меня спросили в ЛС, почему мне кажутся красивыми факты вроде такого:

Slav-27 в сообщении #1562408 писал(а):

$\mathbb R$ и $\mathbb C$ -- это единственные полные связные локально компактные хаусдорфовы топологические поля.

Поразмыслив, решил, что ответ вполне подойдет для этой темы.

Много лет назад, когда я только начал изучать математику, меня заворожило существование групп, колец и полей, линейных пространств, но еще больше - метрических и топологических пространств. Первое, что меня поразило - что привычное $\mathbb R$ - капля в океане математических структур, и океан этот необозрим и в самом буквальном смысле бесконечно разнообразен. Как сказал кто-то из великих, "утверждение о произвольной группе либо тривиально, либо неверно". Тогда я придумал афоризм: "Физика - наука о мире, математика - наука обо всех мыслимых мирах".

А второй факт, поразивший меня тогда - что многие свойства $\mathbb R$ на самом деле наследуются из более общих структур, частным случаем которых является это самое $\mathbb R$. Мой любимый пример - вторая теорема Вейерштрасса, которая на самом деле частный случай теоремы "непрерывный образ компактного множества компактен", и даже не сказать, чтобы общая теорема сложнее доказывалась. В общую топологию я влип всерьез и вытаскивал себя из нее медленно и с усилием, приговаривая, что интересной математики много, а времени мало, и штудировать пудового Энгелькинга от корки до корки - это чересчур.

Но если $\mathbb R$ - частный случай среди бесконечного разнообразия алгебраических структур и топологических пространств, встает вопрос: выделен ли этот случай чем-то, кроме нашего внимания к нему? Понятно, что математика развивалась от частного к общему. Понятно, что области математики, так или иначе завязанные на $\mathbb R$, от дифференциальных уравнений до дифференциальной же геометрии, огромны, разрабатываются, наверное, большинством работающих математиков и всегда будут важнее для приложений, чем какая-нибудь абстрактная экзотика. И, наконец, понятно, что человеку трудно усвоить абстракции, не научившись работать с вещественными числами. Все это понятно. Но, спрашивал я себя, предположим, что некий сверхчеловеческий разум изобретает математику, начав сразу с аксиом топологического пространства и алгебраических структур. Он знать не знает ни о каких действительных числах. Откроет ли он $\mathbb R$? Можно ли скомбинировать широко применяемые топологические свойства (хаусдорфовость, связность и т.д.) и алгебраические свойства так, чтобы получилось $\mathbb R$ либо в одиночку, либо с $\mathbb C$? Или нас просто занесло на безымянный островок в математическом океане, потому что сообразительному примату было очень важно считать бананы, позже - кучи зерна, а еще позже - траектории пушечных ядер? И когда оказывается, что - да, можно, да, $\mathbb R$ и $\mathbb C$ выделены, возникает ощущение, что заглянул в чертежи Господа Бога, уж извините за пафос.

(Хотя ехидный червячок внутри нашептывает, что все эти алгебраические и топологические свойства были обобщены как раз с $\mathbb R$ и было бы странно, если бы не существовало их комбинации, дающей это самое $\mathbb R$. А предлагать сверхразуму стартовать с аксиом топологического пространства и групп/колец/полей есть родимое пятно антропоморфизма. Он мог бы стартовать с любого набора аксиом, никогда не приходившего в голову ни одному человеку, и получить совершенно незнакомую нам математику. Но тут Шахерезада прекращает дозволенные речи, ибо она не в силах сказать что-то содержательное о математике, никогда не приходившей в голову ни одному человеку, включая ее саму).

[Sender]

Если уж группы антропоморфны, то они сами по себе оправдывают существование человечества. Кстати, меня, признаться, до сих пор потрясают спорадические группы. Что они такое, откуда взялись и как выросли? Взяли простейшую теорию, чуток развили и получили это. Ну вот такова Вселенная (вроде там даже связь с теорией струн обнаружили в ходе доказательства гипотезы чудовищного вздора).