Когда четырехугольник является вписанным

[SomePupil]

Ende
Выделено из темы «Что Вас потрясло в математике?»

Четырехугольник со сторонами $a, b, c, d$ и диагоналями $p, q$ является вписанным тогда и только тогда, когда $abp-bcq+cdp-daq=0.$

Казалось бы, такой изящный критерий должен быть доказан классиками в веке этак в XIX... но нет! Впервые этот критерий доказал сотрудник Института прикладной математики имени М.В. Келдыша Садов С.Ю., судя по препринту, в 2003 году. Что характерно, в одну сторону (необходимость) это доказать легко: если $ABCD$ вписан в окружность радиуса $R,$ то $p = AC = 2R\sin \angle ABC, q = BD = 2R\sin \angle BAD.$ Тогда $abp = ab\cdot (2R\sin \angle ABC) = 4R\cdot (1/2 ab\sin \angle ABC) = 4R\cdot S_{ABC}.$ Аналогично $bcq=4R\cdot S_{BCD},\;cdp = 4R\cdot S_{CDA},\;daq = 4R\cdot S_{DAB}.$ Таким образом:

$$abp-bcq+cdp-daq=4R(S_{ABC}-S_{BCD}+S_{CDA}-S_{DAB})$$

Заметим, что $S_{ABC}+S_{CDA} = S_{BCD}+S_{DAB} = S_{ABCD},$ откуда следует результат.

Вот вручную доказывать достаточность - дело видимо безнадежное .

[ozheredov]

SomePupil в сообщении #1707435 писал(а):

Четырехугольник со сторонами $a, b, c, d$ и диагоналями $p, q$ является вписанным
тогда и только тогда, когда $abp-bcq+cdp-daq=0.$

А там не нарушится это равенство, если переименовать стороны и диагонали?

[dgwuqtj]

SomePupil в сообщении #1707435 писал(а):

Четырехугольник со сторонами $a, b, c, d$ и диагоналями $p, q$ является вписанным
тогда и только тогда, когда $abp-bcq+cdp-daq=0.$

Там достаточность только для выпуклых четырёхугольников, а в невыпуклом случае приводится контрпример.

[Rak so dna]

SomePupil в сообщении #1707435 писал(а):

Впервые этот критерий доказал сотрудник Института прикладной математики имени М.В. Келдыша Садов С.Ю., судя по препринту, в 2003 году.

По-моему, достаточные условия выпуклости четырехугольника, приводимые в этой работе, неверны.
Условия:

$|a-b|<p<a+b,~|c-d|<p<c+d,$

$|b-c|<q<b+c,~|a-d|<q<a+d,$

$p\left(a^2+d^2-q^2\right)<d\left(a^2+p^2-b^2\right),$

$q\left(a^2+b^2-p^2\right)<a\left(b^2+q^2-c^2\right),$

$q\left(a^2+b^2-p^2\right)<b\left(a^2+q^2-d^2\right).$

Контрпример:

$a\approx 1.0675,~b\approx 1.185,~c\approx 6.7764,~d\approx 6.551,~p\approx 1.9952,~q\approx 6.0637$

f1(a,b,c,d,e,f) := a^2*c^2*(b^2+d^2+e^2+f^2-a^2-c^2) + b^2*d^2*(a^2+c^2+e^2+f^2-b^2-d^2)+
e^2*f^2*(a^2+c^2+b^2+d^2-e^2-f^2) - a^2*b^2*e^2-b^2*c^2*f^2-c^2*d^2*e^2-d^2*a^2*f^2 ;

f2(a,b,c,d,e,f) := e*(a*b+c*d) - f*(a*d+b*c) ;

a0 : 1.06750887 ; b0 : 1.18500603 ; c0 : 6.77639952 ; d0 : 6.55124523 ; 
e0 : 1.99520172 ; f0 : 6.06370749 ;

float(f1(a0,b0,c0,d0,e0,f0));
float(f2(a0,b0,c0,d0,e0,f0));

h1(a,b,c,d,e,f) := e*(a^2+d^2-f^2) - d*(a^2+e^2-b^2) ;
h2(a,b,c,d,e,f) := f*(a^2+b^2-e^2) - a*(b^2+f^2-c^2) ;
h3(a,b,c,d,e,f) := f*(a^2+b^2-e^2) - b*(a^2+f^2-d^2) ;

float(h1(a0,b0,c0,d0,e0,f0));
float(h2(a0,b0,c0,d0,e0,f0));
float(h3(a0,b0,c0,d0,e0,f0));

[talash]

Rak so dna в сообщении #1707668 писал(а):

По-моему, достаточные условия выпуклости четырехугольника, приводимые в этой работе, неверны.

(Оффтоп)

ChatGPT-5 Pro, который рекламируют, что он уровня PHD подтверждает ваши выводы:

Короткий итог: **контрпример корректен**. При ваших числах выполняются и «треугольные» ограничения, и три неравенства (2.7), на которые ссылается автор как на «достаточные для характеристики выпуклых четырёхугольников», однако получающаяся фигура **невыпукла** (точки (B) и (D) оказываются по одну сторону от прямой (AC), диагонали (AC) и (BD) не пересекаются). См. формулировку условий (2.6)–(2.7) и комментарий «трёх неравенств уже достаточно…» в §2.1 препринта. ## Что именно проверил. (подробности пропущены)...

[Rak so dna]

SomePupil в сообщении #1707435 писал(а):

Четырехугольник со сторонами $a, b, c, d$ и диагоналями $p, q$ является вписанным тогда и только тогда, когда $abp-bcq+cdp-daq=0.$

У меня получилось, что четырёхугольник со сторонами $a, b, c, d$ и диагоналями $e, f$ является вписанным тогда и только тогда, когда

\footnotesize\begin{align*} &e(ab+cd)=f(ad+bc)~\text{и}\\ &(ab+cd)(e^2+f^2)e^2 + (ad+bc)(ac+bd)f^2 \ne (ab^3+a^3b+cd^3+c^3d)e^2+(ad+bc)(ac-bd)(a^2-b^2+c^2-d^2) \end{align*}

Доказательство следует из тождества

\footnotesize\begin{align*} &\Bigl(\left(ab+cd\right)e^2+\left(ad+bc\right)\left(ac+bd\right)\Bigr)\left(\begin{array}{c} a^2c^2\left(b^2+d^2+e^2+f^2-a^2-c^2\right) \\ + b^2d^2\left(a^2+c^2+e^2+f^2-b^2-d^2\right) \\ +e^2f^2\left(a^2+c^2+b^2+d^2-e^2-f^2\right)\\ - a^2b^2e^2-b^2c^2f^2-c^2d^2e^2-d^2a^2f^2 \end{array}\right)\\\\ &=\left(f^2\left(ad+bc\right)^2 - e^2\left(ab+cd\right)^2\right)\Bigl((ab+cd)e^2-(ad+bc)(ac+bd)\Bigr)\\\\ &+\left(\left(ac+bd\right)^2 - e^2f^2\right)\left(\begin{array}{c} (ab+cd)(e^2+f^2)e^2 + (ad+bc)(ac+bd)f^2\\ - (ab^3+a^3b+cd^3+c^3d)e^2-(ad+bc)(ac-bd)(a^2-b^2+c^2-d^2) \end{array}\right) \end{align*}

(maxima code)

F(t) := a^2*c^2*(b^2+d^2+e^2+f^2-a^2-c^2) + b^2*d^2*(a^2+c^2+e^2+f^2-b^2-d^2)+
e^2*f^2*(a^2+c^2+b^2+d^2-e^2-f^2) - a^2*b^2*e^2-b^2*c^2*f^2-c^2*d^2*e^2-d^2*a^2*f^2 ;
r(t) :=
+ (f^2*(a*d+b*c)^2 - e^2*(a*b+c*d)^2)*((a*b+c*d)*e^2-(a*d+b*c)*(a*c+b*d))
+ ((a*c+b*d)^2 - e^2*f^2)*(
(a*b+c*d)*(e^2+f^2)*e^2 + (a*d+b*c)*(a*c+b*d)*f^2
- (a*b^3+a^3*b+c*d^3+c^3*d)*e^2-(a*d+b*c)*(a*c-b*d)*(a^2-b^2+c^2-d^2)
) ;
rat( ((a*b+c*d)*e^2+(a*d+b*c)*(a*c+b*d))*F(t)  - r(t) ) ;

Случай

\footnotesize\begin{align*} &e(ab+cd)=f(ad+bc)\\ &ac+bd=ef\\ &(ab+cd)(e^2+f^2)e^2 + (ad+bc)(ac+bd)f^2=(ab^3+a^3b+cd^3+c^3d)e^2+(ad+bc)(ac-bd)(a^2-b^2+c^2-d^2) \end{align*}

возможен, только если четырёхугольник вырожден.