Ух! Как много здесь комментариев
И почему латинские квадраты не вызывают у российских математиков никакого интереса? Зарубежные математики столько о них написали!
Задачу о построении групп MOLS 14-го порядка давно одолела. Теперь хочу предложить задачу, которая возникла у меня при разработке метода построения пар ортогональных латинских квадратов порядка
(подробно в
статье).
Метод разработан с применением квази-разностных матриц (КРМ).
В алгоритме есть один изъян. Этот изъян возникает, начиная с порядка 18, для порядка 12 всё прекрасно. Сначала покажу два частных примера. При построении пары ОЛК порядка
получаем такие две строки КРМ (из четырёх):
Код:
3 5 7 9 11 2 3 4 5 6 1 8 7
2 3 4 5 6 3 5 7 9 11 1 13 2
(в строках не записаны символьные элементы, которые в разностях не участвуют).
Проверяется совместимость этих строк КРМ по такому критерию: все разности между соответствующими элементами строк по модулю 13 должны быть различны. Очевидно, что приведённые строки несовместимы по этому критерию. Задача состоит в том, чтобы найти такую перестановку чисел
, при которой совместимость строк будет иметь место. Такая перестановка легко находится по программе. Например:
Код:
3 5 7 9 11 5 6 4 3 2 1 8 7
5 6 4 3 2 3 5 7 9 11 1 13 2
Аналогично для пары ОЛК 24-го порядка. Строки КРМ будут такие:
Код:
3 5 7 9 11 13 15 2 3 4 5 6 7 8 1 10 9
2 3 4 5 6 7 8 3 5 7 9 11 13 15 1 17 2
Здесь разности между соответствующими элементами строк вычисляются по модулю 17. Нужная перестановка чисел снова находится по программе. Например:
Код:
3 5 7 9 11 13 15 2 8 3 7 6 5 4 1 10 9
2 8 3 7 6 5 4 3 5 7 9 11 13 15 1 17 2
Я решила задачу и для порядка 30. Однако совершенно понятно, что с ростом порядка находить нужную перестановку всё сложнее. В том, что такая перестановка существует для любого порядка рассматриваемой серии, я почти не сомневаюсь (по-хорошему, это надо доказать). Но как её найти для больших порядков? В этом изъян данного метода.
Следует отметить, что я оставляю неизменной первую группу чисел в строке: 3, 5, 7, 9, 11 в случае порядка 18, и 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 в случае порядка 24. Мне удалось получить совместимость строк, переставляя числа только во второй группе чисел (2, 3, 4, 5, 6 в случае порядка 18, и 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 в случае порядка 24). Однако можно переставлять числа в обеих группах. Нельзя переставлять только последние три числа в каждой строке.
и 
, то можно составить ортогональные диагональные латинские квадраты порядка 
.
