Латинские квадраты

[Nataly-Mak]

Решая конкурсную задачу о раскрасках, удалось получить весьма интересный набор из 10 попарно ортогональных прямоугольников 9х10 с неполной последней строкой:

(Оффтоп)

1 10 10 10 10 10 10 10 10 2
2 2 2 2 2 2 2 2 3 3
3 3 3 3 3 3 3 4 4 4
4 4 4 4 4 4 5 5 5 5
5 5 5 5 5 6 6 6 6 6
6 6 6 6 7 7 7 7 7 7
7 7 7 8 8 8 8 8 8 8
8 8 9 9 9 9 9 9 9 9
9 1 10       

1 2 4 6 5 8 3 7 9 10
7 3 6 9 8 1 5 4 3 8
1 7 4 9 2 6 5 4 3 5
10 1 7 8 9 6 5 6 4 8
9 7 10 3 1 3 9 7 8 5
4 1 6 10 1 3 4 9 10 8
5 7 6 10 1 5 7 9 3 6
8 4 9 8 6 7 1 3 10 4
5 2 10       

1 4 3 9 6 5 7 2 8 2
9 5 4 6 3 8 1 7 10 7
6 4 5 1 9 2 8 4 2 7
8 5 6 9 10 1 5 8 2 4
7 1 6 9 10 4 5 8 2 10
9 7 6 1 9 6 8 4 3 1
2 7 5 7 4 9 5 2 1 10
8 6 9 6 7 10 2 8 5 1
4 3 10       

1 6 9 4 2 7 8 5 3 2
1 10 3 8 6 9 7 5 3 2
5 9 1 10 7 8 6 10 6 9
1 8 3 5 7 2 5 7 3 1
6 8 9 2 4 7 2 10 9 1
8 3 6 5 6 1 2 5 8 3
4 7 9 4 2 3 6 1 9 5
8 7 9 10 1 2 7 5 3 6
8 4 10       

1 9 8 7 3 5 6 4 2 2
3 4 1 8 7 10 6 9 3 1
7 6 2 9 8 10 4 5 8 2
7 3 9 6 1 4 8 3 7 4
10 2 1 9 6 2 7 8 3 9
1 4 6 5 2 5 6 3 4 8
1 7 9 3 8 10 1 6 7 2
9 4 4 2 8 5 9 1 6 3
7 5 10       

1 3 7 8 4 9 6 2 5 6
9 1 7 2 5 3 8 4 3 2
6 5 8 9 1 4 7 2 8 9
4 7 1 3 6 5 5 2 9 10
1 3 8 7 4 4 3 6 1 2
5 8 9 7 2 5 1 8 9 4
3 7 10 5 9 6 4 7 2 1
8 3 4 7 3 8 5 9 2 10
1 6 10       

1 5 6 4 7 2 3 9 8 4
5 6 9 1 3 7 8 2 2 6
8 4 3 7 9 5 1 8 7 9
6 4 3 1 5 2 5 3 1 7
4 6 2 8 9 1 9 2 8 4
10 5 6 3 2 9 5 6 8 4
3 10 1 1 3 6 8 2 5 7
9 4 3 5 8 1 6 4 7 9
2 7 10       

1 4 2 9 5 3 7 8 6 2
7 5 3 4 1 9 8 6 8 9
3 5 4 2 6 1 7 7 3 1
8 6 9 2 5 4 9 2 5 6
8 3 7 1 4 9 7 1 4 3
8 2 6 5 5 2 3 1 9 7
6 4 8 3 10 4 2 9 6 7
5 1 3 8 5 6 7 4 1 9
2 8 10       

7 6 4 1 5 3 2 8 9 3
4 9 2 1 5 8 6 7 1 6
4 7 8 2 5 9 3 5 7 1
2 6 3 9 8 4 2 7 6 1
4 5 9 8 3 4 7 6 2 9
3 5 8 1 2 6 1 3 7 8
4 9 5 8 9 7 1 5 3 6
4 2 6 7 3 2 1 5 4 9
8 9 10       

1 2 4 6 5 8 3 7 9 1
9 2 5 8 7 3 4 6 1 9
2 8 5 7 3 4 6 1 9 2
8 7 4 5 6 3 1 2 3 4
5 6 7 8 9 7 4 5 6 3
2 8 1 9 4 6 7 3 5 2
8 1 9 4 6 7 3 2 5 8
1 9 1 3 7 2 5 4 6 8
9 10 10

Возникает такая задача: можно ли продолжить заполнение неполных строк в прямоугольниках с сохранением взаимной ортогональности? При этом разрешается изменять уже имеющиеся элементы в прямоугольниках.

[Nataly-Mak]

Ещё нашла комплект из трёх попарно ортогональных обобщённых латинских квадратов 6-го порядка:

3 3 2 5 1 2
2 5 6 3 3 5
2 6 4 4 3 1
1 2 4 1 3 6
4 2 1 5 6 6
4 5 5 1 6 4

6 5 3 5 1 5
1 4 5 4 3 3
2 4 4 2 2 4
6 4 1 2 1 1
3 6 3 2 3 2
6 6 1 5 6 5

2 3 6 1 3 4
2 5 6 4 1 3
1 2 1 5 6 6
1 3 6 4 5 1
4 5 2 2 5 3
3 6 4 5 4 2

А вот комплект из четырёх попарно ортогональных обобщённых ЛК 6-го порядка найти не удаётся. Существует ли такой комплект?

[Nataly-Mak]

И комплект из трёх попарно ортогональных обобщённых латинских квадратов 10-го порядка находится легко:

1 10 5 1 1 1 8 10 1 1
9 2 1 3 3 10 2 2 2 2
2 3 3 3 6 3 3 3 3 4
7 4 4 8 4 7 4 2 4 7
5 5 9 4 6 5 5 5 2 5
6 6 1 6 6 6 1 6 10 7
4 3 4 7 7 10 7 8 8 7
8 9 8 2 8 9 1 5 8 8
5 9 6 9 9 5 9 8 9 9
10 7 10 7 10 4 10 2 6 10

1 2 3 4 5 6 7 4 9 10
8 2 8 1 5 3 7 1 3 10
9 4 3 8 7 6 7 10 9 10
8 2 4 4 5 6 7 8 9 3
6 2 3 8 5 5 7 8 5 10
1 2 3 4 10 6 2 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 1 9
2 2 3 4 5 10 7 4 9 10
9 9 3 1 5 1 7 6 4 6
1 1 8 2 5 6 7 6 9 10

7 5 5 1 3 4 6 7 8 2
2 4 10 2 5 2 3 8 10 1
2 4 7 6 2 8 1 3 9 4
8 2 5 10 6 2 10 5 3 1
1 6 3 1 1 9 8 4 7 10
5 8 6 3 9 10 9 7 1 5
9 10 8 9 4 3 7 3 1 10
7 1 9 6 2 7 5 2 4 8
7 5 4 4 10 3 9 5 8 6
10 6 9 3 8 7 4 9 6 6

Почти решена задача века с той только разницей, что это обобщённые ЛК, а не классические.

[Nataly-Mak]

Возникла задача об изоморфизме ЛК 6-го порядка.
Изоморфизм понимаем относительно перестановок строк, столбцов и символов.
Есть три три неизоморфных ЛК 6-го порядка:

1 2 3 4 5 6
2 1 4 3 6 5
3 4 6 5 2 1
4 3 5 6 1 2
5 6 2 1 3 4
6 5 1 2 4 3

1 2 3 4 5 6
2 6 1 5 4 3
3 5 6 1 2 4
4 1 5 6 3 2
5 4 2 3 6 1
6 3 4 2 1 5

1 2 3 4 5 6
2 6 4 1 3 5
3 5 6 2 4 1
4 3 5 6 1 2
5 1 2 3 6 4
6 4 1 5 2 3

Требуется определить, будет ли изоморфным одному из этих трёх ЛК следующий ЛК:

1 2 3 4 5 6
2 1 4 3 6 5
3 4 5 6 1 2
4 3 6 5 2 1
5 6 1 2 3 4
6 5 2 1 4 3

Если этот ЛК изоморфен одному из трёх ЛК, то привести преобразование, переводящее один ЛК в другой.

[Nataly-Mak]

Задача решена тут

[Nataly-Mak]

В гостевой книге моего сайта появилось интересное сообщение:

Цитата:

Здравствуйте. Я научный сотрудник ИДСТУ СО РАН, программист проекта SAT@home. Мы сейчас ищем пары ОДЛК порядка 10, один уже нашли. В одной из Вашей замечательной статье нашел упоминание, что известны 3 пары ОДЛК порядка 10. Подскажите пожалуйста, какие именно пары известны и откуда эта информация. И насколько будет значимо если найдутся ранее неизвестные пары ОДЛК порядка 10?
http://sat.isa.ru/pdsat/

Может быть, кто-нибудь пожелает присоединиться к проекту.