Геометрия для не особо одарённых

[horda2501]

Предыдущая задача была такова, мол, точки А,В,С лежать на окружности. Чему равна хорда АС, если угол АВС=30, а диаметр 10 см.
Очевидно, что предлагается вспомнить данный факт о прямоугольном треугольнике (по крайней мере я другого варианта решения не нашла). Поэтому и эту задачу так стала решать. В конечном счёте всё прекрасно решалось, просто это моя первая задача на вписанные углы, поэтому и не дошло, что там просто точка по другую сторону может ведь быть Ну и далее развёрнутый угол минус 30 градусов.

[miflin]

horda2501 в сообщении #1668211 писал(а):

Очевидно, что предлагается вспомнить данный факт о прямоугольном треугольнике

Эк как зацепил вас прямоугольный треугольник.
Уже вам несколько раз писали, что он тут ни при чем...
Уж и не знаю, что сказать...

[мат-ламер]

horda2501 в сообщении #1668211 писал(а):

если угол АВС=30

Попробуйте найти угол $AOC$ , где $O$ центр окружности.

[dgwuqtj]

horda2501 в сообщении #1668211 писал(а):

Очевидно, что предлагается вспомнить данный факт о прямоугольном треугольнике (по крайней мере я другого варианта решения не нашла).

Проблема в том, что это неправильно с логической точки зрения. У вас тройка точек в условии почти произвольная, а вы дополнительно предполагаете, что они образуют прямоугольный треугольник. То есть решаете другую задачу.

[miflin]

horda2501
Помедитируйте над этой картинкой.

[horda2501]

мат-ламер в сообщении #1668217 писал(а):

horda2501 в сообщении #1668211 писал(а):

если угол АВС=30

Попробуйте найти угол $AOC$ , где $O$ центр окружности.

Видимо, я именно тут что-то и не понимаю. Решая следующую задачу, столкнулась с осознанием того, что не могу внять почему углы, вершины которых вписаны по разные стороны от хорд и опирающиеся на неё (в точках лежащих на окружности) состоят именно в таком отношении? То есть, на примере упражнения. Даны 4 точки лежащие на окружности A, B, C, D. Угол АВС = Z. Чему равен угол ADC, рассмотрите 2 случая. Первый мне ясен - это когда вершины B и D лежат на одной дуге (по одну сторону от общей хорды). Такие углы равны, это понимаю. А вот почему ABD = 180-Z во втором случае пока увидеть не получается

[мат-ламер]

Вы употребили интересные выражения (лично с моей точки зрения):

horda2501 в сообщении #1668413 писал(а):

Видимо, я именно тут что-то и не понимаю.

horda2501 в сообщении #1668413 писал(а):

не могу внять почему

horda2501 в сообщении #1668413 писал(а):

это понимаю. А вот почему

horda2501 в сообщении #1668413 писал(а):

пока увидеть не получается

Когда я учился в школе, у меня была своя точка зрения на эти дела. (Не значит, что с меня надо брать пример - геометрию я недолюбливал). С моей точки зрения тут ничего особо понимать не надо. Просто надо помнить, что на этот счёт есть соответствующие теоремы. Доказательств на память помнить не обязательно. Я и не помнил. Но если надо, мог их воспроизвести. (Не уверен, что это необходимо уметь каждому - тут смотря какие цели преследуешь). Опять же - это моя примитивная точка зрения на эти дела. Может у знатоков своё понимание предмета.

-- Сб янв 04, 2025 17:14:39 --

miflin в сообщении #1668224 писал(а):

Помедитируйте над этой картинкой.

У вас картинка открывается?

[wrest]

horda2501 в сообщении #1668413 писал(а):

Решая следующую задачу, столкнулась с осознанием того, что не могу внять почему углы, вершины которых вписаны по разные стороны от хорд и опирающиеся на неё (в точках лежащих на окружности) состоят именно в таком отношении?

Потому, что хорда "делит" окружность на две дуги (лежащие по разные стороны от содержащей хорду прямой), сумма которых составляет эту окружность.
Угловая мера всей окружности - 360 градусов. Угловая мера вписанного угла, опирающегося на дугу, равна половине угловой меры дуги. Ну раз имеем два угла, которые опираются на дуги, сумма угловых мер которых равна 360 градусов, то сумма угловых мер этих углов равна половине от 360, т.е. 180 градусам.
На рисунке показаны два вписанных угла и соответствующие им дуги окружности ("соотвествующие" тут означает что дуга лежит внутри угла, а "внутри" -- означает с той стороны где угол меньше развернутого). Видно что красная и зеленые дуги составляют вместе всю окружность, т.е. 360 градусов. Значит сумма опирающихся на эти дуги углов (красный и зеленый) есть половина от 360, т.е. 180 градусов...

[miflin]

(Оффтоп)

мат-ламер в сообщении #1668434 писал(а):

У вас картинка открывается?

Пока да. Я сам её сделал и загрузил на хостинг, иначе бы и не постил.
А вообще последние месяцы, с появлением ограничений на youtube, с открытием многих ссылок возникают проблемы.

[horda2501]

wrest, спасибо за подробное объяснение!

Угловая мера вписанного угла, опирающегося на дугу, равна половине угловой меры дуги.
Этого факта я в объяснении к параграфу не помню, если честно. Там было о том, что "мера дуги равна таковой у центрального угла, её создающего", если правильно помню и воспроизвожу. В любом случае, всё это просто заучивать бесполезно, пока в упражнениях не столкнёшься теория в знание не перейдёт.

Я для себя по вопросу так поняла. Два угла, опирающиеся на хорду когда она есть диаметр (по разные стороны от неё), углы прямые, сумма 180. Когда хорда двигается в разные положения, отличные от диаметра, то эти углы, по её разные стороны и опирающиеся на концы этого отрезка, взаимно изменяются, но сумма остаётся прежней. Если взять эти углы и наложить их друг на друга одной из сторон, то из оставшихся сторон получится развёрнутый угол 180 градусов. Что наиболее очевидно в случае с двумя прямыми углами.

[wrest]

horda2501 в сообщении #1668604 писал(а):

Там было о том, что "мера дуги равна таковой у центрального угла, её создающего", если правильно помню и воспроизвожу. В любом случае, всё это просто заучивать бесполезно,

Не, это очень базовые вещи. Их желательно понять, а если не выходит то заучить. На мой взгляд...

-- 06.01.2025, 04:11 --

horda2501 в сообщении #1668604 писал(а):

то эти углы, по её разные стороны и опирающиеся на концы этого отрезка, взаимно изменяются, но сумма остаётся прежней.

Я даже нарисовал вам почему именно так. Красным и зеленым, чтобы наглядно было. Но увы...

[horda2501]

Здравствуйте! У меня вопрос по задаче на доказательство. Дан треугольник АВС. АВ и АС - диаметры для двух окружностей. Нужно доказать, что точка пересечения этих окружностей, отличная от А, лежит именно на отрезке ВС.

Цепочка доказательства, приведённая в учебнике:
1) Пусть точка Р пересечение окружностей, отличная от А;
2) Так как АВ и АС - диаметры, то углы АРВ и АРС - прямые;
3) Следовательно, прямые РВ и РС совпадают.

Вопрос: из чего следует этот вывод? То есть, визуально факт понятен - если бы эти углы были не прямые, то это был бы не треугольник. Однако, на чём это обосновано с точки зрения логики геометрического доказательства, я понять не могу. Нужна помощь

[dgwuqtj]

Можно чуть с другой стороны зайти: возьмём точку $Q$ на прямой $BC$ такую, что $AQ \perp BC$. Она существует и единственна. А потом уже проверим, что $Q$ лежит на обеих окружностях (и отлична от $A$, разумеется).

[мат-ламер]

horda2501 в сообщении #1674169 писал(а):

3) Следовательно, прямые РВ и РС совпадают.

Очень странно сформулировано. Это вообще не прямые, а отрезки. И они не совпадают. Можно исследовать - лежат ли они на одной прямой? Они начинаются из одной точки. Подсчитайте для начала угол между ними.

[dgwuqtj]

Кстати, точка же может оказаться и на продолжении отрезка $BC$, и даже на его конце. Если $P = B$, то не получится говорить про угол $APB$.