два массивных тела связаны прочной упругой нитью (СТО)

[diakin]

epros в сообщении #1665596 писал(а):

(cut..)
Да, нить больше не растягивается.
Да, акселерометры на разных концах показывают разные ускорения.
Да, это "релятивистский эффект" (раз его предсказывает теория относительности).
Величина эффекта : $\frac{1}{a}-\frac{1}{a^+}=\frac{l}{c^2}$.

Спасибо!

[sergey zhukov]

peregoudov в сообщении #1665547 писал(а):

Нет, конечно.

Ну, если мы не считаем очевидным, что если что-то неограниченно растягивается, то оно обязательно порвется, то тогда конечно нужно искать напряжения и показывать, что они тоже в этом случае неограничено растут и всегда рано или поздно превышают предел прочности.

[peregoudov]

sergey zhukov в сообщении #1665669 писал(а):

Ну, если мы не считаем очевидным, что если что-то неограниченно растягивается, то оно обязательно порвется

Считаем. Весь вопрос в том, что вы называете "растягивается". (В частности, в классической механике и в СТО это два разных "растягивается".) И насколько это "растягивается" связано с расстоянием между ракетами в какой-то ИСО (или неИСО, в которую нас постоянно пытаются утянуть правой рукой некоторые товарищи, попутно левой обвиняя в желании "усложнить задачу").

[realeugene]

peregoudov в сообщении #1665547 писал(а):

Это называется "лагранжева координата" и подобное предложение выше уже было. И я считаю, что трос должен присутствовать в задаче, например, в виде закона движения $x(t,s)$, где $s$ --- эта самая лагранжева координата. Одних только законов движения ракет $x_1(t)$, $x_2(t)$ для формулировки условия разрыва троса недостаточно. И как же будет выглядеть ваше "относительное удлинение" на языке $x(t,s)$?

ОК.

Пусть единицы измерения $x$ и $s$ одни и те же.

Рассмотрим участок троса $ds$. $x(t,s)$ - это закон движения точек троса в глобальной ИСО. В ней длина рассматриваемого участка троса равна $x_s ds$. Участок движется со скоростью $u=x_t$. Длина этого участка в системе отсчёта, в которой он покоится, равна $\gamma \left(x_t\right)x_s ds$, длина в нерастянутом состоянии по выбору единиц измерения равна $\left|ds\right|$, а значит, относительное удлинение равно $\epsilon(t, s)=\gamma \left(x_t\right)x_s$, и оно не зависит от системы отсчёта. В той точке, в которой эта величина превысит порог, трос порвётся.

(нижним индексом обозначены частные производные, $\gamma(u)=\frac 1 {\sqrt {1-u^2/c^2}}$)

[peregoudov]

realeugene в сообщении #1665691 писал(а):

относительное удлинение равно $\epsilon(t, s)=\gamma \left(x_t\right)x_s$, и оно не зависит от системы отсчёта

Ну то есть

$$ \epsilon(t, s)=\frac{x_s}{\sqrt{1-x_t^2}} $$

(уж простите, $c=1$) и эта штука лоренцев скаляр? А в классике было $\epsilon(t, s)=x_s$ и это было галилей-инвариантно.

Вы понимаете, что парадокс тем самым снят? И что, это было сложно? Нужно было долго сопротивляться, заявлять, что ни механика сплошной среды ни вообще законы СТО тут не нужны? Приплетать неинерциальные (пусть и "правильные") системы отсчета?

А теперь давайте подумаем, какой же все-таки правильный ответ в задаче? (Что ответ один и тот же в любой ИСО мы уже показали, сформулировав условие разрыва троса в лоренц-инвариантном виде.) Вот давайте я начну, для примера, с классики, переведу рассуждения manul91 на математический язык.

$$ \int_0^L \epsilon(t, s)\,ds=\int_0^L x_s(t,s)\,ds=x(t,L)-x(t,0)=x_2(t)-x_1(t). $$

Здесь $L$ --- длина недеформированного покоящегося троса, $x_{1,2}(t)$ --- законы движения кораблей. Интеграл можно оценить сверху по максимальному значению

$$ \int_0^L \epsilon(t, s)\,ds\leq\epsilon(t, s^*(t))L, $$

откуда получаем оценку снизу на растяжение в некоторой точке троса

$$ \epsilon(t, s^*(t))\geq\frac{x_2(t)-x_1(t)}L. $$

И, если расстояние между кораблями растет, гарантированно растет и растяжение.

А теперь в СТО. Два отличия: растяжение выражается по-другому и корабли не разъезжаются. Какие будут идеи?

[realeugene]

peregoudov в сообщении #1665713 писал(а):

Вы понимаете, что парадокс тем самым снят?

Я не очень понимаю, что за парадокс, но спорить не буду: снят - значит снят.

[peregoudov]

realeugene в сообщении #1665715 писал(а):

Я не очень понимаю, что за парадокс

Парадокс Белла. Разный ответ на вопрос "порвется ли трос" при решении в стартовой ИСО и в ИСО, мгновенно сопутствующей, например, задней ракете.

[realeugene]

peregoudov в сообщении #1665713 писал(а):

$$ \int_0^L \epsilon(t, s)\,ds=\int_0^L x_s(t,s)\,ds=x(t,L)-x(t,0)=x_2(t)-x_1(t). $$

А где гамма-фактор?

-- 17.12.2024, 12:44 --

peregoudov в сообщении #1665717 писал(а):

Разный ответ на вопрос "порвется ли трос" при решении в стартовой ИСО и в ИСО, мгновенно сопутствующей, например, задней ракете.

И разве получаются разные результаты? А, кстати, вы разобрались, как Рэджич из конечности предела расстояния до горизонта переднего корабля делает вывод, что трос не порвётся?

[epros]

peregoudov в сообщении #1665717 писал(а):

Разный ответ на вопрос "порвется ли трос" при решении в стартовой ИСО и в ИСО, мгновенно сопутствующей, например, задней ракете.

А разве был какой-то ответ "в стартовой ИСО"?

[peregoudov]

realeugene в сообщении #1665718 писал(а):

А где гамма-фактор?

Это классика пока, я же написал.

realeugene в сообщении #1665718 писал(а):

И разве получаются разные результаты?

Да, в стартовой корабли не разбегаются, трос не рвется, в мгновенно сопутствующей корабли разбегаются, трос рвется. Если что, это не мое решение, это то, что обычно пишут в связи с парадоксом Белла.

realeugene в сообщении #1665718 писал(а):

А, кстати, вы разобрались, как Рэджич из конечности предела расстояния до горизонта переднего корабля делает вывод, что трос не порвётся?

А так и делает: раз расстояние не растет до бесконечности, то и трос не рвется. У него тоже троса в задаче фактически нет.

epros в сообщении #1665720 писал(а):

А разве был какой-то ответ "в стартовой ИСО"?

Знаете, мне кажется, что вам (да и другим участникам тоже) было бы значительно легче, если бы вы прочли самого Белла и хотя бы статью в английской википедии.

[epros]

peregoudov в сообщении #1665724 писал(а):

epros в сообщении #1665720 писал(а):

А разве был какой-то ответ "в стартовой ИСО"?

Знаете, мне кажется, что вам (да и другим участникам тоже) было бы значительно легче, если бы вы прочли самого Белла и хотя бы статью в английской википедии.

Мне было бы воистину легче, если бы Вы привели цитату, хоть из Белла, хоть из какой-нибудь википедии, где бы прямо утверждалось, что согласно расчётам в стартовой ИСО "нить не порвётся". Заметьте, не "расстояние между кораблями в стартовой ИСО сохраняется", а именно слова про не разрыв нити. Ну, или, при отсутствии возможности такую цитату найти, Ваши собственные рассуждения, приводящие к такому выводу.

Это просто чтобы было понятно, чьи ошибки нам далее обсуждать.

Кстати, относительно критики Реджича:

peregoudov в сообщении #1665724 писал(а):

А так и делает: раз расстояние не растет до бесконечности, то и трос не рвется. У него тоже троса в задаче фактически нет.

У меня создалось стойкое впечатления, что Ваши разногласия с ним тоже исключительно терминологические.

[sergey zhukov]

peregoudov в сообщении #1665682 писал(а):

Считаем. Весь вопрос в том, что вы называете "растягивается"

Тут я вижу только одно место, в правильном ответе на который можно усомниться. Может ли быть так, что расстояние между концами троса (в мгновенно сопутствующей ИСО задней ракеты) неограничено возрастает (очевидно, так и есть), а собственная длина элементов троса в сопутствующей ИСО каждого элемента при этом нигде неограничено не возрастает?

Мне то лично ясно, что этого не может быть. Ведь собственная длина движущегося элемента троса всегда больше того, что измеряет для него неподвижный наблюдатель. Поэтому если сумма наблюдаемых длин движущихся элементов (расстояние между концами троса в мгновенно сопутствующей задней ракете ИСО) неограничено возрастает, то сумма собственных длин этих элементов тем более неограничено возрастает.

[manul91]

sergey zhukov в сообщении #1665726 писал(а):

Тут я вижу только одно место, в правильном ответе на который можно усомниться. Может ли быть так, что расстояние между концами троса (в мгновенно сопутствующей ИСО задней ракеты) неограничено возрастает (очевидно, так и есть), а собственная длина элементов троса в сопутствующей ИСО каждого элемента при этом нигде неограничено не возрастает?

Так это доказывается очень просто, я написал, прямо в двух шагов.
Если расстояние между концами релятивистки-бултыкающегося троса относно некоей ИСО превысило "предельную длину на разрыв троса в покое" - то обязательно существует малый участок троса у которого растяжение превысило предельное (относно той же ИСО) - перейдя в мгновенно-сопутствующей ИСО участка (в ней имеем классический случай для участка) - он тем более будет превышать предельного растяжения - трос в данном участке порван.
Просто требуется найти хотя бы одну ИСО, относно которой расстояние между начала и конца нити превосходит максимальное "классическое удлиннение на разрыв".
Мгновенно-сопутствующая заднего корабля ИСО1 (после какого-то достаточно большого момента $t_1$, по координатном времени исходной ИСО), например сгодится. peregoudov поможет перевести это на математический язык.

[sergey zhukov]

manul91
Да, я согласен.

[chislo_avogadro]

peregoudov в сообщении #1665724 писал(а):

realeugene в сообщении #1665718 писал(а):

И разве получаются разные результаты?

Да, в стартовой корабли не разбегаются, трос не рвется, в мгновенно сопутствующей корабли разбегаются, трос рвется.

Непонятно. Ведь утверждение в формулировке парадокса как раз то, что в стартовой рвётся с очевидностью...