Вероятностная теория чисел

[mihaild]

vicvolf в сообщении #1660164 писал(а):

Вам задана арифметическая функция: $f(1),f(2),...,f(n)$ на интервале $[1,n]$, тогда ее математическое ожидание

Приведите/дайте ссылку на используемое Вами определение понятия "математического ожидания арифметической функции".
Пока что я вижу только "математическое ожидание арифметической функции на интервале". Которое, естественно, параметризовано и функцией, и интервалом.
Но если мы берем последовательность функций на разных интервалах, и говорим, что она в каком-то смысле к чему-то сходится, то то, к чему она сходится, уже от интервала зависеть не может. Порядок кванторов в определении предела знаете? $f_n$ сходится, если $\exists g \forall \varepsilon > 0 \exists N \forall n > N: \|f_n - g\| < \varepsilon$ (для нормированного случая, в пределе по базе аналогично). Как несложно видеть, $g$ никак от $n$ зависеть не имеет права.

Если хочется как-то расширить понятие сходимости, и сказать, например, что последовательность распределений $\mu_n(\{n\}) = 1$ сходится к дельта-распределению с ожиданием $n$, то надо явно написать такое определение.
Ну что-то вроде "последовательность с.в. $f_n$ мер называется vicvolf-сходящейся к нормальному распределению с параметрами $g(n)$, $h(n)$ если последовательность $\frac{f_n - g(n)}{h(n)}$ сходится к стандартному нормальному распределению". И дальше аккуратно проверять, какие из свойств сходимости по распределению переносятся на vicvolf-сходимость.

vicvolf в сообщении #1660164 писал(а):

Например, мат. ожидание функции Эйлера равно $E[\varphi,n]=\frac{3}{\pi^2}n+O(\ln(n))$

Это не мат. ожидание функции Эйлера, это мат. ожидание функций, получающихся ограничением функции Эйлера на интервал.

[vicvolf]

mihaild в сообщении #1660175 писал(а):

Порядок кванторов в определении предела знаете? $f_n$ сходится, если $\exists g \forall \varepsilon > 0 \exists N \forall n > N: \|f_n - g\| < \varepsilon$ (для нормированного случая, в пределе по базе аналогично). Как несложно видеть, $g$ никак от $n$ зависеть не имеет права.

Так оно и есть:

$$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\left\lvert\left\{k\leqslant n:\frac{\omega(k)-\ln\ln n}{\sqrt{\ln\ln n}}\leqslant x\right\}\right\rvert=\Phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x}\mathrm{e}^{-t^{2}/2}\mathrm{d}t.$$

Получаемый предел не зависит от $n$. Мат. ожидание и среднее квадратичное отклонение зависят от $n$, так как они разные в каждом вероятностном пространстве.

[mihaild]

vicvolf в сообщении #1660202 писал(а):

Мат. ожидание и среднее квадратичное отклонение зависят от $n$

Правильно. Поэтому можно сказать "вон та нормированная последовательность случайных величин сходится по распределению к стандартному нормальному". Но нельзя сказать, что последовательность случайных величин $\xi_n$ сходится по распределению к нормальному с параметрами $\mathcal N(f(n), g(n))$. Просто потому что параметры распределения, к которому они сходятся, не могут зависеть от $n$.

[vicvolf]

Эрдеш и Кац доказали также более общую теорему. Пусть $f(m)$ вещественная сильно аддитивная функция, для которой $|f(p)| \leq 1$ и $B(n) \to \infty$, тогда выполняется:

$$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\left\lvert\left\{m\leqslant n:\frac{f(m)-A(n)}{B(n)}\leqslant x\right\}\right\rvert=\Phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x}\mathrm{e}^{-t^{2}/2}\mathrm{d}t,$$

где $A(n)=\sum_{p \leq n}\frac{f(p)}{p}, B(n)=(\sum_{p \leq n}\frac{|f^2(p)|}{p})^{1/2}$ (см стр. 17 http://physics.gov.az/book_V/PROBABILIT ... HEORY.pdf_).
Это утверждение, как и первая теорема Эрдеша Каца, за пределами теоремы Эрдеша Винтнера, так как указанные там ряды, в данном случае, расходятся.

[vicvolf]

http://physics.gov.az/book_V/PROBABILIT ... THEORY.pdf

[drzewo]

vicvolf в сообщении #1656814 писал(а):

"Вероятностная теория чисеп" является полноправным разделом "Теории чисел"

То, что в теории чисел работают вероятностные методы -- очевидно даже и без большого кругозора. Но из этого никак не следует, что участник форума $X$ понимает как они работают, понимает, что такое теория чисел и теория вероятностей. Тут просто не надо смешивать разные вещи.

[vicvolf]

В начале тема планировалась, как анонс к вероятностной теории чисел, отсюда название темы. Я разместил в первом сообщении литературу, сказал о предмете и в качестве примера привел действительную арифметическую функцию $K(n)$, которая на указанном вероятностном пространстве может быть охарактеризована средним значением, дисперсией и функцией распределения.
Потом я подумал, что раздел дискуссионный и вынес на обсуждение вопрос, в каких случаях $K(n)$ может иметь предельное нормальное распределение. Я очень благодарен mihaild, который принимает участие в теме. Этот вопрос ранее не обсуждался, поэтому мы вступили на "не паханное минное поле". Возможны ошибки. Прошу не судить строго.
Выяснили, что в случае, когда $K(n)$ является неограниченной монотонной, то она вообще не имеет предельного распределения. Тогда я предложил рассмотреть другую арифметическую функцию - количество простых делителей натурального $n$ - $\omega(n)$. Эта арифметическая функция также является неограниченной, но не является монотонной, так как существенно колеблется около своего среднего значения. Я привел теорему Эрдеша-Каца, по которой нормализованная величина от $\omega(n)$ имеет предельным стандартное нормальное распределение.
Представляет интерес рассмотрение вопроса, в каких случаях действительная арифметическая функция имеет предельным нормальное распределение? Я думаю это может быть тогда (и этот подход вполне соответствует вероятностной теории чисел), когда действительная арифметическая функция на указанном вероятностном пространстве может быть представлена, как сумма слабо зависимых или независимых случайных величин, подпадающих под Центральную предельную теорему.