Вероятностная теория чисел

[mihaild]

vicvolf в сообщении #1660164 писал(а):

Вам задана арифметическая функция: $f(1),f(2),...,f(n)$ на интервале $[1,n]$, тогда ее математическое ожидание

Приведите/дайте ссылку на используемое Вами определение понятия "математического ожидания арифметической функции".
Пока что я вижу только "математическое ожидание арифметической функции на интервале". Которое, естественно, параметризовано и функцией, и интервалом.
Но если мы берем последовательность функций на разных интервалах, и говорим, что она в каком-то смысле к чему-то сходится, то то, к чему она сходится, уже от интервала зависеть не может. Порядок кванторов в определении предела знаете? $f_n$ сходится, если $\exists g \forall \varepsilon > 0 \exists N \forall n > N: \|f_n - g\| < \varepsilon$ (для нормированного случая, в пределе по базе аналогично). Как несложно видеть, $g$ никак от $n$ зависеть не имеет права.

Если хочется как-то расширить понятие сходимости, и сказать, например, что последовательность распределений $\mu_n(\{n\}) = 1$ сходится к дельта-распределению с ожиданием $n$, то надо явно написать такое определение.
Ну что-то вроде "последовательность с.в. $f_n$ мер называется vicvolf-сходящейся к нормальному распределению с параметрами $g(n)$, $h(n)$ если последовательность $\frac{f_n - g(n)}{h(n)}$ сходится к стандартному нормальному распределению". И дальше аккуратно проверять, какие из свойств сходимости по распределению переносятся на vicvolf-сходимость.

vicvolf в сообщении #1660164 писал(а):

Например, мат. ожидание функции Эйлера равно $E[\varphi,n]=\frac{3}{\pi^2}n+O(\ln(n))$

Это не мат. ожидание функции Эйлера, это мат. ожидание функций, получающихся ограничением функции Эйлера на интервал.

[vicvolf]

mihaild в сообщении #1660175 писал(а):

Порядок кванторов в определении предела знаете? $f_n$ сходится, если $\exists g \forall \varepsilon > 0 \exists N \forall n > N: \|f_n - g\| < \varepsilon$ (для нормированного случая, в пределе по базе аналогично). Как несложно видеть, $g$ никак от $n$ зависеть не имеет права.

Так оно и есть:

$$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\left\lvert\left\{k\leqslant n:\frac{\omega(k)-\ln\ln n}{\sqrt{\ln\ln n}}\leqslant x\right\}\right\rvert=\Phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x}\mathrm{e}^{-t^{2}/2}\mathrm{d}t.$$

Получаемый предел не зависит от $n$. Мат. ожидание и среднее квадратичное отклонение зависят от $n$, так как они разные в каждом вероятностном пространстве.

[mihaild]

vicvolf в сообщении #1660202 писал(а):

Мат. ожидание и среднее квадратичное отклонение зависят от $n$

Правильно. Поэтому можно сказать "вон та нормированная последовательность случайных величин сходится по распределению к стандартному нормальному". Но нельзя сказать, что последовательность случайных величин $\xi_n$ сходится по распределению к нормальному с параметрами $\mathcal N(f(n), g(n))$. Просто потому что параметры распределения, к которому они сходятся, не могут зависеть от $n$.

[vicvolf]

Эрдеш и Кац доказали также более общую теорему. Пусть $f(m)$ вещественная сильно аддитивная функция, для которой $|f(p)| \leq 1$ и $B(n) \to \infty$, тогда выполняется:

$$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\left\lvert\left\{m\leqslant n:\frac{f(m)-A(n)}{B(n)}\leqslant x\right\}\right\rvert=\Phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x}\mathrm{e}^{-t^{2}/2}\mathrm{d}t,$$

где $A(n)=\sum_{p \leq n}\frac{f(p)}{p}, B(n)=(\sum_{p \leq n}\frac{|f^2(p)|}{p})^{1/2}$ (см стр. 17 http://physics.gov.az/book_V/PROBABILIT ... HEORY.pdf_).
Это утверждение, как и первая теорема Эрдеша Каца, за пределами теоремы Эрдеша Винтнера, так как указанные там ряды, в данном случае, расходятся.

[vicvolf]

http://physics.gov.az/book_V/PROBABILIT ... THEORY.pdf

[drzewo]

vicvolf в сообщении #1656814 писал(а):

"Вероятностная теория чисеп" является полноправным разделом "Теории чисел"

То, что в теории чисел работают вероятностные методы -- очевидно даже и без большого кругозора. Но из этого никак не следует, что участник форума $X$ понимает как они работают, понимает, что такое теория чисел и теория вероятностей. Тут просто не надо смешивать разные вещи.

[vicvolf]

В начале тема планировалась, как анонс к вероятностной теории чисел, отсюда название темы. Я разместил в первом сообщении литературу, сказал о предмете и в качестве примера привел действительную арифметическую функцию $K(n)$, которая на указанном вероятностном пространстве может быть охарактеризована средним значением, дисперсией и функцией распределения.
Потом я подумал, что раздел дискуссионный и вынес на обсуждение вопрос, в каких случаях $K(n)$ может иметь предельное нормальное распределение. Я очень благодарен mihaild, который принимает участие в теме. Этот вопрос ранее не обсуждался, поэтому мы вступили на "не паханное минное поле". Возможны ошибки. Прошу не судить строго.
Выяснили, что в случае, когда $K(n)$ является неограниченной монотонной, то она вообще не имеет предельного распределения. Тогда я предложил рассмотреть другую арифметическую функцию - количество простых делителей натурального $n$ - $\omega(n)$. Эта арифметическая функция также является неограниченной, но не является монотонной, так как существенно колеблется около своего среднего значения. Я привел теорему Эрдеша-Каца, по которой нормализованная величина от $\omega(n)$ имеет предельным стандартное нормальное распределение.
Представляет интерес рассмотрение вопроса, в каких случаях действительная арифметическая функция имеет предельным нормальное распределение? Я думаю это может быть тогда (и этот подход вполне соответствует вероятностной теории чисел), когда действительная арифметическая функция на указанном вероятностном пространстве может быть представлена, как сумма слабо зависимых или независимых случайных величин, подпадающих под Центральную предельную теорему.

[vicvolf]

Нахождение предельного распределения $\ln(\varphi(n)/n)$:

1. **Представление $\varphi(n)/n$ через простые делители:**
- Для $n = p_1^{k_1} p_2^{k_2} \dots p_r^{k_r} $, где $ p_i $ — простые числа, имеем:
$\frac{\varphi(n)}{n} = \prod_{p \mid n} \left(1 - \frac{1}{p}\right)$
- Логарифмируя:
$ \ln\left(\frac{\varphi(n)}{n}\right) = \sum_{p \mid n} \ln\left(1 - \frac{1}{p}\right)$
- Эта сумма является аддитивной функцией, обозначенной как:
$ f(n) = \ln\left(\frac{\varphi(n)}{n}\right) = \sum_{p \mid n} f(p)$
где $ f(p) = \ln\left(1 - \frac{1}{p}\right) $.

2. **Проверка условий теоремы Эрдős–Винтнера:**
- Проверяем сходимость трех рядов для некоторого положительного $ r $:
1. $\sum_{|f(p)| > r} \frac{1}{p}$
2. $\sum_{|f(p)| \leq r} \frac{f(p)^2}{p}$
3. $\sum_{|f(p)| \leq r} \frac{f(p)}{p}$

- Для больших $ p $, $ f(p) \approx -\frac{1}{p} $. Таким образом:
- Первый ряд сходится для достаточно большого $ r$
- Второй ряд $\sum_{p} \frac{1}{p^3}$ сходится.
- Третий ряд $\sum_{p} \frac{1}{p^2}$ сходится.

3. **Характеристическая функция:**
- Характеристическая функция имеет вид:
$ \phi(\tau) = \prod_p \left[1 - \frac{1}{p} + \frac{1}{p} e^{i\tau f(p)}\right]$
- Приближая для больших $ p $:
$ e^{i\tau f(p)} \approx (1 - 1/p)^{i\tau} \approx e^{-i\tau/p}$
- Следовательно:
$ \phi(\tau) \approx \prod_p \left(1 - \frac{i\tau}{p^2}\right) $
- Это предполагает форму гауссова распределения.

4. **Среднее и дисперсия:**
- Среднее и дисперсия $ f(n) $ равны:
$ \mu = \sum_p \frac{\ln(1 - 1/p)}{p} \approx -\sum_p \frac{1}{p^2} $
$ \sigma^2 = \sum_p \frac{(\ln(1 - 1/p))^2}{p^2} (1 - 1/p) \approx \sum_p \frac{1}{p^3} $
- Эти суммы сходятся к известным константам, связанным с дзета-функцией римана.

[vicvolf]

Функция $ f(n) = \ln\left(\frac{n}{\varphi(n)}\right) $, где $ \varphi(n) $ — функция Эйлера, является сильно аддитивной арифметической функцией. Чтобы определить, существует ли у неё предельное распределение, применим теорему Эрдёша–Винтнера, которая требует сходимости трёх рядов для некоторого положительного действительного числа $ R $:

1. $ \sum_{|f(p)| > R} \frac{1}{p} $
2. $ \sum_{|f(p)| \leq R} \frac{f(p)^2}{p} $
3. $ \sum_{|f(p)| \leq R} \frac{f(p)}{p} $

Для нашей функции $ f(p) = \ln\left(\frac{p}{p - 1}\right) $, которая ведёт себя как $ \frac{1}{p} $ для больших $ p$:

- Ряд (a) сходится, так как существует лишь конечное число простых чисел $ p $, для которых $ f(p) > R $.
- Ряд (b) сходится, так как $ \frac{f(p)^2}{p} \approx \frac{1}{p^3}$, а $ \sum \frac{1}{p^3} $ сходится.
- Ряд (c) сходится, так как $ \frac{f(p)}{p} \approx \frac{1}{p^2} $, а $ \sum \frac{1}{p^2} $ сходится.

Таким образом, условия теоремы Эрдёша–Винтнера выполнены, и $ f(n) $ имеет предельное распределение.

Характеристическая функция предельного закона задаётся выражением:

$\phi(\tau) = \prod_p \left(1 - \frac{1}{p}\right) \left(1 + \frac{e^{i\tau f(p)}}{p - 1}\right)$

Учитывая, что $ \sum_{f(p) \neq 0} \frac{1}{p} = \infty $, предельный закон является непрерывным.

В заключение, функция $ f(n) = \ln\left(\frac{n}{\varphi(n)}\right) $ имеет непрерывное предельное распределение, c указанной характеристической функцией.

[vicvolf]

Пусть выполняются условия теоремы Эрдоша Винтнера. Тогда сильно аддитивная арифметическая функция $f(n)=\sum_{p|n}{f(p)}$ имеет предельное распределение со следующей характеристической функцией:
$\phi(t) = \prod_p \left(1 - \frac{1}{p}\right) \left(1 + \frac{e^{itf(p)}}{p - 1}\right)= \prod_p (1-\frac{1}{p}+\frac{e^{itf(p)}}{p})$. (1)

Обратим внимание, что справа в выражении (1) стоит характеристическая функция суммы независимых дискретных случайных величин $X_p$, которые принимают только два значение $X_p=f(p)$ с вероятностью $1/p$ и $X_p=0$ с вероятностью $1-1/p$. Поэтому вероятностные характеристики суммы независимых случайных величин $X_p$ совпадают с вероятностными характеристиками предельного распределения сильно аддитивной арифметической функции $f(n)=\sum_{p|n}{f(p)}$. Используем это для нахождения этих вероятностных характеристик.

Можно определить все нецентральные моменты случайной величины $X_p$:
$e[X_p^k]=0^k (1-1/p)+f^k(p)(1/p)=\frac{f^k(p)}{p}$. (2)

Например, среднее значение случайной величины $X_p$:
$a=e[X_p]=\frac{f(p)}{p}$. (3)

На основании (2) и (3) можно определить центральные моменты случайной величины $X_p$.
Например, центральный момент 2-ого порядка (дисперсия) равен:
$e[(X_p-a)^2]=f^2(p)/p-f^2(p)/p^2=\frac {f^2(p)}{p}(1- \frac{1}{p})$. (4)

Или центральный момент третьего порядка случайной величины $X_p$ равен:
$e[(X_p-a)^3=f^3(p)/p-3f^3(p)/p^2+3f^3(p)/p^3-f^3(p)/p^3=\frac{f^3(p)}{p}(1-\frac{3}{p}+\frac{2}{p^2})$. (5)

Для суммы независимых случайных величин $\sum_p {X_p}$ все нецентральные моменты на основании (2) равны:
$E[\sum_p{X_p^k}]=\sum_p{\frac{f^k(p)}{p}}$. (6)

Среднее значение $\sum_p {X_p}$ на основании (3) равно:
$A=E[\sum_p {X_p}]=\sum_p{\frac{f(p)}{p}}$. (7)

Дисперсия $\sum_p {X_p}$ на основании (4) равна:
$D[\sum_p {X_p}]=E[(\sum_p{X_p}-A)^2]=\sum_p{\frac {f^2(p)}{p}(1- \frac{1}{p})}$. (8)

Центральный момент третьего порядка $\sum_p {X_p}$ на основании (5) равен:
$E[(\sum_p{X_p}-A)^3]=\sum_p{\frac{f^3(p)}{p}(1-\frac{3}{p}+\frac{2}{p^2})}$. (9)

Таким образом, по формулам (6)-(9), определяются все моменты предельного распределения сильно аддитивной арифметической функции $f(n)=\sum_{p|n}{f(p)}$.

В качестве примера найдем среднее значение, дисперсию и третий центральный момент для сильно аддитивной арифметической функции $ f(n) = \ln\left(\frac{n}{\varphi(n)}\right) $, где $ \varphi(n) $ — функция Эйлера.

Решение выглядит следующим образом:

1. **Среднее значение (A):**
Среднее значение функции задаётся выражением:
$ A = E\left[\sum_p X_p\right] = \sum_p \frac{\ln\left(\frac{p}{p-1}\right)}{p}$

2. **Дисперсия (D):**
Дисперсия функции равна:
$ D = \sum_p \frac{\left(\ln\left(\frac{p}{p-1}\right)\right)^2}{p} \left(1 - \frac{1}{p}\right)$
Это учитывает изменчивость вкладов от каждого простого числа $ p $.

3. **Третий центральный момент:**
Третий центральный момент выражается как:
$ E\left[\left(\sum_p X_p - A\right)^3\right] = \sum_p \frac{\left(\ln\left(\frac{p}{p-1}\right)\right)^3}{p} \left(1 - \frac{3}{p} + \frac{2}{p^2}\right)$
Этот момент позволяет оценить асимметрию распределения $ f(n) $.

### Условия сходимости:
- Для больших простых чисел $ p $, $ \ln\left(\frac{p}{p-1}\right) $ приближается к $ \frac{1}{p-1} $, что примерно равно $ \frac{1}{p}$.
- Ряды для среднего значения, дисперсии и третьего центрального момента содержат члены, которые ведут себя как $\frac{1}{p^2}$, $\frac{1}{p^3}$ и т.д., что обеспечивает их сходимость.

[vicvolf]

**Доказательство нормальности распределения сильно аддитивной арифметической функции $\ln\left(\frac{n}{\varphi(n)}\right) $ с использованием характеристической функции:**

Чтобы показать, что сильно аддитивная арифметическая функция $ \ln\left(\frac{n}{\varphi(n)}\right) $ имеет нормальное распределение, используя её характеристическую функцию, выполним следующие шаги:

### 1. **Выражение функции:**
Функция $ f(n) = \ln\left(\frac{n}{\varphi(n)}\right) $ может быть записана как $f(n) = \sum_{p|n} f(p) $, где $ f(p) = \ln\left(\frac{p}{p-1}\right) $.

### 2. **Характеристическая функция:**
Характеристическая функция для $ f(n) $ задаётся выражением:
$ \phi(t) = \prod_p \left(1 - \frac{1}{p} + \frac{e^{i t f(p)}}{p}\right). $

### 3. **Аппроксимация для больших простых чисел:**
Для больших $ p $, $ f(p) = \ln\left(\frac{p}{p-1}\right) \approx \frac{1}{p-1} \approx \frac{1}{p} $. Таким образом, $ e^{i t f(p)} \approx 1 + i t f(p) - \frac{1}{2} t^2 f(p)^2 $.

### 4. **Логарифм характеристической функции:**
$ \ln \phi(t) \approx \sum_p \left( \frac{i t f(p)}{p} - \frac{1}{2} \frac{t^2 f(p)^2}{p} \right) = i t \sum_p \frac{f(p)}{p} - \frac{1}{2} t^2 \sum_p \frac{f(p)^2}{p}. $

### 5. **Экспоненцирование:**
Возводя в экспоненту обе части, получаем:
$ \phi(t) \approx \exp\left( i t \sum_p \frac{f(p)}{p} - \frac{1}{2} t^2 \sum_p \frac{f(p)^2}{p} \right). $

### 6. **Сходимость рядов:**
- Ряд $ \sum_p \frac{f(p)}{p} $ сходится, так как он ведёт себя как $ \sum_p \frac{1}{p^2} $, который сходится.
- Аналогично, ряд $ \sum_p \frac{f(p)^2}{p} $ также сходится.

### 7. **Заключение:**
Таким образом, при выполнении условий теоремы Эрдёша–Винтнера характеристическая функция $ f(n) = \ln\left(\frac{n}{\varphi(n)}\right) $ сходится к характеристической функции нормального распределения с математическим ожиданием $ \mu = \sum_p \frac{f(p)}{p} $ и дисперсией $\sigma^2 = \sum_p \frac{f(p)^2}{p} $.

[vicvolf]

Сильно аддитивные арифметические функции $ f(n) = \sum_{p|n} f(p) $ ведут себя довольно хаотично.
Для примера рассмотрим поведение одной такой функции.
Давайте вычислим значение функции $ f(n) = \sum_{p|n} \frac{1}{\ln(p)} \) для \( 2 \leq n \leq 10 $.
Здесь $ p $ — простые делители числа $ n $, а $ \ln(p) $ — натуральный логарифм простого числа $ p $.

Таблица значений
| $ n $ | Простые делители $ p $ | $ f(n) = \sum_{p|n} \frac{1}{\ln(p)} $ |
| 2 | 2 | 1.4427 |
| 3 | 3 | 0.9102 |
| 4 | 2 | 1.4427 |
| 5 | 5 | 0.6213 |
| 6 | 2, 3 | 2.3529 |
| 7 | 7 | 0.5139 |
| 8 | 2 | 1.4427 |
| 9 | 3 | 0.9102 |
| 10 | 2, 5 | 2.0640 |

Поэтому очень важно исследовать распределение этих функций.

Ниже доказано утверждение на данную тему.

Утверждение 1
Пусть $ f(n) = \sum_{p|n} f(p) $ - сильно аддитивная арифметическая функция, где:
1. $ |f(p)| \leq 1 $ для всех простых $ p $, то есть$ f(p) $ ограничена по модулю единицей.
2. $ |f(p)| $ — убывающая функция, то есть $ |f(p)| \geq |f(q)| $ для $ p \leq q $.
3. Ряд $ \sum_p \frac{|f(p)|}{p} $ сходится.

Требуется доказать, что $ f(n)$ имеет предельное нормальное распределение.

Доказательство

#### **Шаг 1: Проверка условий теоремы Эрдеша–Винтнера**

Теорема Эрдеша–Винтнера утверждает, что аддитивная функция $ f(n) $ имеет предельное распределение, если сходятся следующие три ряда:
$\sum_{|f(p)| > 1} \frac{1}{p}, \quad \sum_{|f(p)| \leq 1} \frac{f(p)}{p}, \quad \sum_{|f(p)| \leq 1} \frac{f(p)^2}{p}$.

1. **Первый ряд: $ \sum_{|f(p)| > 1} \frac{1}{p} $:**
- Поскольку $ |f(p)| \leq 1 $ для всех простых $ p $, то множество $ \{ p : |f(p)| > 1 \} $ пусто. Следовательно, ряд $ \sum_{|f(p)| > 1} \frac{1}{p} $ тривиально сходится (равен нулю).

2. **Второй ряд: $ \sum_{|f(p)| \leq 1} \frac{f(p)}{p} $:**
- По условию ряд $\sum_p \frac{f(p)}{p} $ сходится. Так как $ |f(p)| \leq 1 $, то $ \sum_{|f(p)| \leq 1} \frac{f(p)}{p} = \sum_p \frac{f(p)}{p} $, и он сходится.

3. **Третий ряд: $ \sum_{|f(p)| \leq 1} \frac{f(p)^2}{p} $:**
- Поскольку $ |f(p)| \leq 1 $, то $ f(p)^2 \leq |f(p)| $. Ряд $ \sum_p \frac{f(p)^2}{p} $ мажорируется сходящимся рядом $ \sum_p \frac{|f(p)|}{p} $, который сходится по условию. Следовательно, $ \sum_p \frac{f(p)^2}{p} $ также сходится.

Таким образом, все три ряда сходятся, и условия теоремы Эрдеша–Винтнера выполняются. Следовательно, $ f(n) $ имеет предельное распределение.

#### **Шаг 2: Проверка условия Линдберга (достаточного условия сходимости к нормальному распределению)**

Условие Линдберга гарантирует, что предельное распределение $ f(n) $ является нормальным. Оно требует, чтобы для любого $ \epsilon > 0 $ выполнялось:
$\lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} \sum_{n \leq N} \left( f(n) - \mu_N \right)^2 \cdot \mathbb{I}_{\left| f(n) - \mu_N \right| > \epsilon \sqrt{V_N}} = 0$,

где:
- $ \mu_N = \frac{1}{N} \sum_{n \leq N} f(n) $ — среднее значение $ f(n) $ для $ n \leq N $,
- $ V_N = \frac{1}{N} \sum_{n \leq N} \left( f(n) - \mu_N \right)^2 $ — дисперсия $ f(n) $ для $ n \leq N $,
- $ \mathbb{I}_{\left| f(n) - \mu_N \right| > \epsilon \sqrt{V_N}} $ — индикаторная функция.

1. **Ограниченность $ f(n) $:**
- Поскольку $ |f(p)| \leq 1 $ и $ |f(p)| $ убывает, то $f(n) = \sum_{p|n} f(p) $ ограничена. Это следует из того, что $ |f(n)| \leq \sum_{p|n} |f(p)| $, а сумма $ \sum_{p|n} |f(p)| $ ограничена, так как $ |f(p)| $ убывает и $ \sum_p |f(p)| $ сходится.

2. **Убывание $|f(p)| $:**
- Убывание $ |f(p)| $ гарантирует, что вклад больших простых делителей $ p $ в $ f(n) $ становится малым при больших $ n $. Это способствует выполнению условия Линдберга.

3. **Сходимость $ \sum_p \frac{f(p)}{p} $:**
- Сходимость этого ряда гарантирует, что $ f(n) $ не растет слишком быстро, и дисперсия $ V_N $ остается управляемой.

Таким образом, условие Линдберга выполняется.

#### **Шаг 3: Заключение**

Поскольку:
1. Условия теоремы Эрдеша–Винтнера выполняются, $ f(n) $ (сильно аддитивная арифметическая функция) имеет предельное распределение.
2. Условие Линдберга выполняется, предельное распределение является нормальным.

[vicvolf]

Немного повторюсь, чтобы показать другой подход к доказательству условия Линдберга в этом случае.

На 1-ом шаге мы доказали выполнение теоремы Эрдоша Винтнера. Тогда сильно аддитивная арифметическая функция $f(n)=\sum_{p|n}{f(p)}$ имеет предельное распределение со следующей характеристической функцией:
$\phi(t) = \prod_p \left(1 - \frac{1}{p}\right) \left(1 + \frac{e^{itf(p)}}{p - 1}\right)= \prod_p (1-\frac{1}{p}+\frac{e^{itf(p)}}{p})$. (1)

Обратим внимание, что справа в выражении (1) стоит характеристическая функция суммы независимых дискретных случайных величин $X_p$, которые принимают только два значение $X_p=f(p)$ с вероятностью $1/p$ и $X_p=0$ с вероятностью $1-1/p$. Поэтому вероятностные характеристики суммы независимых случайных величин $X_p$ совпадают с вероятностными характеристиками предельного распределения сильно аддитивной арифметической функции $f(n)=\sum_{p|n}{f(p)}$.

На 2-ом шаге проведем доказательство условия Линдберга для независимых случайных величин:
- Условие Линдберга используется для разнораспределённых независимых случайных величин $ X_p $, которые в данном случае соответствуют вкладам простых делителей $ p $ в $ f(n) $.
- В этом случае условие Линдберга требует, чтобы для любого $ \epsilon > 0 $:
$ \lim_{N \to \infty} \frac{1}{V_N} \sum_{p \leq N} \mathbb{E}\left[ X_p^2 \cdot \mathbb{I}_{\left| X_p \right| > \epsilon \sqrt{V_N}} \right] = 0$,

где $ V_N = \sum_{p \leq N} \text{Var}(X_p) $ — суммарная дисперсия.

Проверка условия Линдберга:
- Поскольку $ |f(p)| \leq 1 \) и \( |f(p)| $ убывает, случайные величины $ X_p $ ограничены.
- При $ N \to \infty $, $ \epsilon \sqrt{V_N} $ растёт, а $ |X_p| $ остаётся ограниченным. Следовательно, для достаточно больших $ N $, множество $ { p \leq N : \left| X_p \right| > \epsilon \sqrt{V_N} $ становится пустым.
- Таким образом, условие Линдберга выполняется:
$\lim_{N \to \infty} \frac{1}{V_N} \sum_{p \leq N} \mathbb{E}\left[ X_p^2 \cdot \mathbb{I}_{\left| X_p \right| > \epsilon \sqrt{V_N}} \right] = 0$.

Таким образом, $ f(n) $ имеет предельное нормальное распределение.

Проверим рассмотренные ранее примеры:

1. $ f(n) = \ln\left(\frac{n}{\varphi(n)}\right) $,
2. $ f(n) = \ln\left(\frac{\varphi(n)}{n}\right) $,

где $ \varphi(n) $ — функция Эйлера, равная количеству чисел, меньших $n$ и взаимно простых с $ n $. Проверим выполнение условий для этих функций.

### **Условия для сильно аддитивных функций**

1. **Ограниченность $ f(p) $:**
- Для простого числа $ p $, $ \varphi(p) = p - 1 $.
- Тогда:
$ f(p) = \ln\left(\frac{p}{\varphi(p)}\right) = \ln\left(\frac{p}{p - 1}\right) = \ln\left(1 + \frac{1}{p - 1}\right)$.
Поскольку $ \ln(1 + x) \leq x \) для \( x > 0 $, то:
$ f(p) = \ln\left(1 + \frac{1}{p - 1}\right) \leq \frac{1}{p - 1}$.

Таким образом, $ |f(p)| \leq \frac{1}{p - 1} $, и $ f(p) $ ограничена по модулю.

- Для второй функции:
$ f(p) = \ln\left(\frac{\varphi(p)}{p}\right) = \ln\left(\frac{p - 1}{p}\right) = \ln\left(1 - \frac{1}{p}\right)$.

Поскольку $ \ln(1 - x) \leq -x $ для $ 0 < x < 1 $, то:
$ f(p) = \ln\left(1 - \frac{1}{p}\right) \leq -\frac{1}{p}$.

Таким образом, $ |f(p)| \leq \frac{1}{p} $, и $ f(p) $ также ограничена по модулю.

2. **Убывание $ |f(p)| $:**
- Для первой функции $ f(p) = \ln\left(1 + \frac{1}{p - 1}\right) $:
- При увеличении $ p $, величина $ \frac{1}{p - 1} $ убывает, и, следовательно, $ f(p) $ убывает.
- Для второй функции $f(p) = \ln\left(1 - \frac{1}{p}\right) $:
- При увеличении $ p $, величина $ \frac{1}{p} $ убывает, и, следовательно, $ f(p) $ убывает.

3. **Сходимость ряда $\sum_p \frac{|f(p)|}{p}$

- Для первой функции:
$ \sum_p \frac{|f(p)|}{p} \leq \sum_p \frac{1}{(p - 1)p}$.

Ряд $ \sum_p \frac{1}{(p - 1)p}$ сходится, так как $ \frac{1}{(p - 1)p} \approx \frac{1}{p^2} $, а ряд $\sum_p \frac{1}{p^2} $ сходится.

- Для второй функции:
$ \sum_p \frac{|f(p)|}{p} \leq \sum_p \frac{1}{p^2}$.

Ряд $ \sum_p \frac{1}{p^2} $ также сходится.

### **Заключение**

Для обеих функций:
1. $ f(p) $ ограничена по модулю,
2. $ |f(p)| $ убывает с ростом $p $,
3. Ряд $\sum_p \frac{|f(p)|}{p} $ сходится.

[vicvolf]

mihaild в сообщении #1660203 писал(а):

Но нельзя сказать, что последовательность случайных величин $\xi_n$ сходится по распределению к нормальному с параметрами $\mathcal N(f(n), g(n))$. Просто потому что параметры распределения, к которому они сходятся, не могут зависеть от $n$.

В указанных примерах:
1. $ f(n) = \ln\left(\frac{n}{\varphi(n)}\right) $,
2. $ f(n) = \ln\left(\frac{\varphi(n)}{n}\right) $,
ряды, соответствующие параметрам предельного распределения, сходятся к конечным значениям, которые не зависят от $n$, поэтому можно сказать, что сходятся по распределению к нормальному с параметрами. Так как это не нарушает требование фиксированного предельного распределения.

[vicvolf]

Когда обычно говорят о предельном нормальном распределении аддитивных арифметических функций, то первое что вспоминают - это теорема Эрдеша-Каца https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0 ... 1%86%D0%B0
С другой стороны, обратите внимание, что для сильно аддитивной арифметической функции $\omega(n)$ ряды $\sum_p\omega(p)/p= \sum_p\omega^2(p)/p=\sum_p{1/p}}$ - расходятся.
К сожалению, редко вспоминают, что предельное нормальное распределение часто бывает у аддитивных арифметических функций $f$ в случае, когда ряды $\sum_p f(p)/p, \sum_p f^2(p)/p$ - сходятся. Этому вопросу посвящена данная работа.

В этом случае справедлива теорема Эрдеша Винтнера. Классическая теорема Эрдеша и Винтнера утверждает, что вещественная аддитивная арифметическая функция $ f $ имеет предельное распределение тогда и только тогда, когда сходятся следующие три ряда:

$\sum_{p \in \mathbb{P}} \frac{\min(1, f(p)^2)}{p}, \quad \sum_{\substack{p \in \mathbb{P} \\ |f(p)| \leq 1}} \frac{f(p)}{p}$,

где $\mathbb{P}$ обозначает множество простых чисел. Кроме того, предельный закон непрерывен тогда и только тогда, когда

$\sum_{\substack{p \in \mathbb{P} \\ f(p) \neq 0}} \frac{1}{p} = \infty$.

Покажем выполнение условий теоремы Эрдеша Винтнера в случае сходимости рядов: $\sum_p f(p)/p, \sum_p f^2(p)/p$:

- Сходимость $\sum_p \frac{f^2(p)}{p}$ обеспечивает выполнение условия $\sum_p \frac{\min(1, f(p)^2)}{p} < \infty$.
- Сходимость $\sum_p \frac{f(p)}{p}$ обеспечивает выполнение условия $\sum_{p, |f(p)| \leq 1} \frac{f(p)}{p} < \infty$.

Чтобы показать, что сходится третий ряд, гарантирующий непрерывность предельного распределения, рассмотрим условие непрерывности, связанное с теоремой Леви. В контексте теоремы Эрдёша–Винтнера и аддитивных арифметических функций, непрерывность предельного распределения гарантируется сходимостью ряда:

$\sum_{f(p) \neq 0} \frac{1}{p} = \infty$.

Это условие означает, что сумма обратных простых чисел, для которых $ f(p) \neq 0 $, должна расходиться. Теперь покажем, что это условие выполняется, если ряды $\sum_p \frac{f(p)}{p}$ и $\sum_p \frac{f^2(p)}{p}$ сходятся.

Анализ сходимости третьего ряда

1. **Сходимость $\sum_p \frac{f(p)}{p}$ и $\sum_p \frac{f^2(p)}{p}$:**
- По условию, оба ряда сходятся.
- Это означает, что $ f(p) $ убывает.
2. **Поведение $f(p)$:**
- Если $ f(p) \neq 0 $, то $ f(p) $ должно убывать быстрее, чем $ \frac{1}{\sqrt{p}} $, чтобы ряд $\sum_p \frac{f^2(p)}{p}$ сходился.
- Однако это не мешает тому, что $ f(p) \neq 0 $ для бесконечного числа простых чисел $ p $.

3. **Расходимость $\sum_{f(p) \neq 0} \frac{1}{p}$:**
- Ряд $\sum_p \frac{1}{p}$ расходится (по теореме о расходимости ряда обратных простых).
- Если $ f(p) \neq 0 $ для бесконечного числа простых чисел $ p $, то $\sum_{f(p) \neq 0} \frac{1}{p}$ также расходится, так как он содержит бесконечную подпоследовательность расходящегося ряда.