Вероятностная теория чисел

[mihaild]

vicvolf в сообщении #1660164 писал(а):

Вам задана арифметическая функция: $f(1),f(2),...,f(n)$ на интервале $[1,n]$, тогда ее математическое ожидание

Приведите/дайте ссылку на используемое Вами определение понятия "математического ожидания арифметической функции".
Пока что я вижу только "математическое ожидание арифметической функции на интервале". Которое, естественно, параметризовано и функцией, и интервалом.
Но если мы берем последовательность функций на разных интервалах, и говорим, что она в каком-то смысле к чему-то сходится, то то, к чему она сходится, уже от интервала зависеть не может. Порядок кванторов в определении предела знаете? $f_n$ сходится, если $\exists g \forall \varepsilon > 0 \exists N \forall n > N: \|f_n - g\| < \varepsilon$ (для нормированного случая, в пределе по базе аналогично). Как несложно видеть, $g$ никак от $n$ зависеть не имеет права.

Если хочется как-то расширить понятие сходимости, и сказать, например, что последовательность распределений $\mu_n(\{n\}) = 1$ сходится к дельта-распределению с ожиданием $n$, то надо явно написать такое определение.
Ну что-то вроде "последовательность с.в. $f_n$ мер называется vicvolf-сходящейся к нормальному распределению с параметрами $g(n)$, $h(n)$ если последовательность $\frac{f_n - g(n)}{h(n)}$ сходится к стандартному нормальному распределению". И дальше аккуратно проверять, какие из свойств сходимости по распределению переносятся на vicvolf-сходимость.

vicvolf в сообщении #1660164 писал(а):

Например, мат. ожидание функции Эйлера равно $E[\varphi,n]=\frac{3}{\pi^2}n+O(\ln(n))$

Это не мат. ожидание функции Эйлера, это мат. ожидание функций, получающихся ограничением функции Эйлера на интервал.

[vicvolf]

mihaild в сообщении #1660175 писал(а):

Порядок кванторов в определении предела знаете? $f_n$ сходится, если $\exists g \forall \varepsilon > 0 \exists N \forall n > N: \|f_n - g\| < \varepsilon$ (для нормированного случая, в пределе по базе аналогично). Как несложно видеть, $g$ никак от $n$ зависеть не имеет права.

Так оно и есть:

$$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\left\lvert\left\{k\leqslant n:\frac{\omega(k)-\ln\ln n}{\sqrt{\ln\ln n}}\leqslant x\right\}\right\rvert=\Phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x}\mathrm{e}^{-t^{2}/2}\mathrm{d}t.$$

Получаемый предел не зависит от $n$. Мат. ожидание и среднее квадратичное отклонение зависят от $n$, так как они разные в каждом вероятностном пространстве.

[mihaild]

vicvolf в сообщении #1660202 писал(а):

Мат. ожидание и среднее квадратичное отклонение зависят от $n$

Правильно. Поэтому можно сказать "вон та нормированная последовательность случайных величин сходится по распределению к стандартному нормальному". Но нельзя сказать, что последовательность случайных величин $\xi_n$ сходится по распределению к нормальному с параметрами $\mathcal N(f(n), g(n))$. Просто потому что параметры распределения, к которому они сходятся, не могут зависеть от $n$.

[vicvolf]

Эрдеш и Кац доказали также более общую теорему. Пусть $f(m)$ вещественная сильно аддитивная функция, для которой $|f(p)| \leq 1$ и $B(n) \to \infty$, тогда выполняется:

$$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\left\lvert\left\{m\leqslant n:\frac{f(m)-A(n)}{B(n)}\leqslant x\right\}\right\rvert=\Phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x}\mathrm{e}^{-t^{2}/2}\mathrm{d}t,$$

где $A(n)=\sum_{p \leq n}\frac{f(p)}{p}, B(n)=(\sum_{p \leq n}\frac{|f^2(p)|}{p})^{1/2}$ (см стр. 17 http://physics.gov.az/book_V/PROBABILIT ... HEORY.pdf_).
Это утверждение, как и первая теорема Эрдеша Каца, за пределами теоремы Эрдеша Винтнера, так как указанные там ряды, в данном случае, расходятся.

[vicvolf]

http://physics.gov.az/book_V/PROBABILIT ... THEORY.pdf

[drzewo]

vicvolf в сообщении #1656814 писал(а):

"Вероятностная теория чисеп" является полноправным разделом "Теории чисел"

То, что в теории чисел работают вероятностные методы -- очевидно даже и без большого кругозора. Но из этого никак не следует, что участник форума $X$ понимает как они работают, понимает, что такое теория чисел и теория вероятностей. Тут просто не надо смешивать разные вещи.

[vicvolf]

В начале тема планировалась, как анонс к вероятностной теории чисел, отсюда название темы. Я разместил в первом сообщении литературу, сказал о предмете и в качестве примера привел действительную арифметическую функцию $K(n)$, которая на указанном вероятностном пространстве может быть охарактеризована средним значением, дисперсией и функцией распределения.
Потом я подумал, что раздел дискуссионный и вынес на обсуждение вопрос, в каких случаях $K(n)$ может иметь предельное нормальное распределение. Я очень благодарен mihaild, который принимает участие в теме. Этот вопрос ранее не обсуждался, поэтому мы вступили на "не паханное минное поле". Возможны ошибки. Прошу не судить строго.
Выяснили, что в случае, когда $K(n)$ является неограниченной монотонной, то она вообще не имеет предельного распределения. Тогда я предложил рассмотреть другую арифметическую функцию - количество простых делителей натурального $n$ - $\omega(n)$. Эта арифметическая функция также является неограниченной, но не является монотонной, так как существенно колеблется около своего среднего значения. Я привел теорему Эрдеша-Каца, по которой нормализованная величина от $\omega(n)$ имеет предельным стандартное нормальное распределение.
Представляет интерес рассмотрение вопроса, в каких случаях действительная арифметическая функция имеет предельным нормальное распределение? Я думаю это может быть тогда (и этот подход вполне соответствует вероятностной теории чисел), когда действительная арифметическая функция на указанном вероятностном пространстве может быть представлена, как сумма слабо зависимых или независимых случайных величин, подпадающих под Центральную предельную теорему.

[vicvolf]

Нахождение предельного распределения $\ln(\varphi(n)/n)$:

1. **Представление $\varphi(n)/n$ через простые делители:**
- Для $n = p_1^{k_1} p_2^{k_2} \dots p_r^{k_r} $, где $ p_i $ — простые числа, имеем:
$\frac{\varphi(n)}{n} = \prod_{p \mid n} \left(1 - \frac{1}{p}\right)$
- Логарифмируя:
$ \ln\left(\frac{\varphi(n)}{n}\right) = \sum_{p \mid n} \ln\left(1 - \frac{1}{p}\right)$
- Эта сумма является аддитивной функцией, обозначенной как:
$ f(n) = \ln\left(\frac{\varphi(n)}{n}\right) = \sum_{p \mid n} f(p)$
где $ f(p) = \ln\left(1 - \frac{1}{p}\right) $.

2. **Проверка условий теоремы Эрдős–Винтнера:**
- Проверяем сходимость трех рядов для некоторого положительного $ r $:
1. $\sum_{|f(p)| > r} \frac{1}{p}$
2. $\sum_{|f(p)| \leq r} \frac{f(p)^2}{p}$
3. $\sum_{|f(p)| \leq r} \frac{f(p)}{p}$

- Для больших $ p $, $ f(p) \approx -\frac{1}{p} $. Таким образом:
- Первый ряд сходится для достаточно большого $ r$
- Второй ряд $\sum_{p} \frac{1}{p^3}$ сходится.
- Третий ряд $\sum_{p} \frac{1}{p^2}$ сходится.

3. **Характеристическая функция:**
- Характеристическая функция имеет вид:
$ \phi(\tau) = \prod_p \left[1 - \frac{1}{p} + \frac{1}{p} e^{i\tau f(p)}\right]$
- Приближая для больших $ p $:
$ e^{i\tau f(p)} \approx (1 - 1/p)^{i\tau} \approx e^{-i\tau/p}$
- Следовательно:
$ \phi(\tau) \approx \prod_p \left(1 - \frac{i\tau}{p^2}\right) $
- Это предполагает форму гауссова распределения.

4. **Среднее и дисперсия:**
- Среднее и дисперсия $ f(n) $ равны:
$ \mu = \sum_p \frac{\ln(1 - 1/p)}{p} \approx -\sum_p \frac{1}{p^2} $
$ \sigma^2 = \sum_p \frac{(\ln(1 - 1/p))^2}{p^2} (1 - 1/p) \approx \sum_p \frac{1}{p^3} $
- Эти суммы сходятся к известным константам, связанным с дзета-функцией римана.

[vicvolf]

Функция $ f(n) = \ln\left(\frac{n}{\varphi(n)}\right) $, где $ \varphi(n) $ — функция Эйлера, является сильно аддитивной арифметической функцией. Чтобы определить, существует ли у неё предельное распределение, применим теорему Эрдёша–Винтнера, которая требует сходимости трёх рядов для некоторого положительного действительного числа $ R $:

1. $ \sum_{|f(p)| > R} \frac{1}{p} $
2. $ \sum_{|f(p)| \leq R} \frac{f(p)^2}{p} $
3. $ \sum_{|f(p)| \leq R} \frac{f(p)}{p} $

Для нашей функции $ f(p) = \ln\left(\frac{p}{p - 1}\right) $, которая ведёт себя как $ \frac{1}{p} $ для больших $ p$:

- Ряд (a) сходится, так как существует лишь конечное число простых чисел $ p $, для которых $ f(p) > R $.
- Ряд (b) сходится, так как $ \frac{f(p)^2}{p} \approx \frac{1}{p^3}$, а $ \sum \frac{1}{p^3} $ сходится.
- Ряд (c) сходится, так как $ \frac{f(p)}{p} \approx \frac{1}{p^2} $, а $ \sum \frac{1}{p^2} $ сходится.

Таким образом, условия теоремы Эрдёша–Винтнера выполнены, и $ f(n) $ имеет предельное распределение.

Характеристическая функция предельного закона задаётся выражением:

$\phi(\tau) = \prod_p \left(1 - \frac{1}{p}\right) \left(1 + \frac{e^{i\tau f(p)}}{p - 1}\right)$

Учитывая, что $ \sum_{f(p) \neq 0} \frac{1}{p} = \infty $, предельный закон является непрерывным.

В заключение, функция $ f(n) = \ln\left(\frac{n}{\varphi(n)}\right) $ имеет непрерывное предельное распределение, c указанной характеристической функцией.

[vicvolf]

Пусть выполняются условия теоремы Эрдоша Винтнера. Тогда сильно аддитивная арифметическая функция $f(n)=\sum_{p|n}{f(p)}$ имеет предельное распределение со следующей характеристической функцией:
$\phi(t) = \prod_p \left(1 - \frac{1}{p}\right) \left(1 + \frac{e^{itf(p)}}{p - 1}\right)= \prod_p (1-\frac{1}{p}+\frac{e^{itf(p)}}{p})$. (1)

Обратим внимание, что справа в выражении (1) стоит характеристическая функция суммы независимых дискретных случайных величин $X_p$, которые принимают только два значение $X_p=f(p)$ с вероятностью $1/p$ и $X_p=0$ с вероятностью $1-1/p$. Поэтому вероятностные характеристики суммы независимых случайных величин $X_p$ совпадают с вероятностными характеристиками предельного распределения сильно аддитивной арифметической функции $f(n)=\sum_{p|n}{f(p)}$. Используем это для нахождения этих вероятностных характеристик.

Можно определить все нецентральные моменты случайной величины $X_p$:
$e[X_p^k]=0^k (1-1/p)+f^k(p)(1/p)=\frac{f^k(p)}{p}$. (2)

Например, среднее значение случайной величины $X_p$:
$a=e[X_p]=\frac{f(p)}{p}$. (3)

На основании (2) и (3) можно определить центральные моменты случайной величины $X_p$.
Например, центральный момент 2-ого порядка (дисперсия) равен:
$e[(X_p-a)^2]=f^2(p)/p-f^2(p)/p^2=\frac {f^2(p)}{p}(1- \frac{1}{p})$. (4)

Или центральный момент третьего порядка случайной величины $X_p$ равен:
$e[(X_p-a)^3=f^3(p)/p-3f^3(p)/p^2+3f^3(p)/p^3-f^3(p)/p^3=\frac{f^3(p)}{p}(1-\frac{3}{p}+\frac{2}{p^2})$. (5)

Для суммы независимых случайных величин $\sum_p {X_p}$ все нецентральные моменты на основании (2) равны:
$E[\sum_p{X_p^k}]=\sum_p{\frac{f^k(p)}{p}}$. (6)

Среднее значение $\sum_p {X_p}$ на основании (3) равно:
$A=E[\sum_p {X_p}]=\sum_p{\frac{f(p)}{p}}$. (7)

Дисперсия $\sum_p {X_p}$ на основании (4) равна:
$D[\sum_p {X_p}]=E[(\sum_p{X_p}-A)^2]=\sum_p{\frac {f^2(p)}{p}(1- \frac{1}{p})}$. (8)

Центральный момент третьего порядка $\sum_p {X_p}$ на основании (5) равен:
$E[(\sum_p{X_p}-A)^3]=\sum_p{\frac{f^3(p)}{p}(1-\frac{3}{p}+\frac{2}{p^2})}$. (9)

Таким образом, по формулам (6)-(9), определяются все моменты предельного распределения сильно аддитивной арифметической функции $f(n)=\sum_{p|n}{f(p)}$.

В качестве примера найдем среднее значение, дисперсию и третий центральный момент для сильно аддитивной арифметической функции $ f(n) = \ln\left(\frac{n}{\varphi(n)}\right) $, где $ \varphi(n) $ — функция Эйлера.

Решение выглядит следующим образом:

1. **Среднее значение (A):**
Среднее значение функции задаётся выражением:
$ A = E\left[\sum_p X_p\right] = \sum_p \frac{\ln\left(\frac{p}{p-1}\right)}{p}$

2. **Дисперсия (D):**
Дисперсия функции равна:
$ D = \sum_p \frac{\left(\ln\left(\frac{p}{p-1}\right)\right)^2}{p} \left(1 - \frac{1}{p}\right)$
Это учитывает изменчивость вкладов от каждого простого числа $ p $.

3. **Третий центральный момент:**
Третий центральный момент выражается как:
$ E\left[\left(\sum_p X_p - A\right)^3\right] = \sum_p \frac{\left(\ln\left(\frac{p}{p-1}\right)\right)^3}{p} \left(1 - \frac{3}{p} + \frac{2}{p^2}\right)$
Этот момент позволяет оценить асимметрию распределения $ f(n) $.

### Условия сходимости:
- Для больших простых чисел $ p $, $ \ln\left(\frac{p}{p-1}\right) $ приближается к $ \frac{1}{p-1} $, что примерно равно $ \frac{1}{p}$.
- Ряды для среднего значения, дисперсии и третьего центрального момента содержат члены, которые ведут себя как $\frac{1}{p^2}$, $\frac{1}{p^3}$ и т.д., что обеспечивает их сходимость.

[vicvolf]

**Доказательство нормальности распределения сильно аддитивной арифметической функции $\ln\left(\frac{n}{\varphi(n)}\right) $ с использованием характеристической функции:**

Чтобы показать, что сильно аддитивная арифметическая функция $ \ln\left(\frac{n}{\varphi(n)}\right) $ имеет нормальное распределение, используя её характеристическую функцию, выполним следующие шаги:

### 1. **Выражение функции:**
Функция $ f(n) = \ln\left(\frac{n}{\varphi(n)}\right) $ может быть записана как $f(n) = \sum_{p|n} f(p) $, где $ f(p) = \ln\left(\frac{p}{p-1}\right) $.

### 2. **Характеристическая функция:**
Характеристическая функция для $ f(n) $ задаётся выражением:
$ \phi(t) = \prod_p \left(1 - \frac{1}{p} + \frac{e^{i t f(p)}}{p}\right). $

### 3. **Аппроксимация для больших простых чисел:**
Для больших $ p $, $ f(p) = \ln\left(\frac{p}{p-1}\right) \approx \frac{1}{p-1} \approx \frac{1}{p} $. Таким образом, $ e^{i t f(p)} \approx 1 + i t f(p) - \frac{1}{2} t^2 f(p)^2 $.

### 4. **Логарифм характеристической функции:**
$ \ln \phi(t) \approx \sum_p \left( \frac{i t f(p)}{p} - \frac{1}{2} \frac{t^2 f(p)^2}{p} \right) = i t \sum_p \frac{f(p)}{p} - \frac{1}{2} t^2 \sum_p \frac{f(p)^2}{p}. $

### 5. **Экспоненцирование:**
Возводя в экспоненту обе части, получаем:
$ \phi(t) \approx \exp\left( i t \sum_p \frac{f(p)}{p} - \frac{1}{2} t^2 \sum_p \frac{f(p)^2}{p} \right). $

### 6. **Сходимость рядов:**
- Ряд $ \sum_p \frac{f(p)}{p} $ сходится, так как он ведёт себя как $ \sum_p \frac{1}{p^2} $, который сходится.
- Аналогично, ряд $ \sum_p \frac{f(p)^2}{p} $ также сходится.

### 7. **Заключение:**
Таким образом, при выполнении условий теоремы Эрдёша–Винтнера характеристическая функция $ f(n) = \ln\left(\frac{n}{\varphi(n)}\right) $ сходится к характеристической функции нормального распределения с математическим ожиданием $ \mu = \sum_p \frac{f(p)}{p} $ и дисперсией $\sigma^2 = \sum_p \frac{f(p)^2}{p} $.